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コホモロジー消滅定理

1 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 20:23:44
秋月先生の文章より:多様体の理論において,如何にこれが扇の要の役割を演ずるかは
次節において紹介することとしよう。前人未到の,広い領域を,探りに探り,
こういう焦点にしぼり上げて完結する。これこそ数学者の真の創作なのであり、小平君の偉業を
ひたすらわれわれは讃歎いたしたい。
讃歎するだけでなく、様々なタイプのコホモロジー消滅定理とその応用について大いに語りませんか

2 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 20:37:48
のんびりと 2 ゲト

3 :1:2005/08/17(水) 00:15:35
兄弟スレ

因数定理
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123685632/
正弦定理
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123596880/
余弦定理
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123684065/
三平方の定理について
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122122884/
フェルマーの小定理
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122114224/
ロピタルの定理
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1110518324/

4 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 00:50:26
消滅サイクルについては?

5 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 07:13:26
>>3
嘘付け
全然関係ないスレばかり

6 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 11:09:16
いや
ひとつだけ関連性がある
それは


糞スレ


であることである。

7 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 11:09:44
>>4
特定のコホモロジー類の消滅をいうものも
コホモロジー消滅定理の一種です。

8 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 11:12:16
ホモ

9 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 12:03:31
とりあえず,初学者向けに定番教科書をいくつか挙げてもらえると
助かります。特にgagaさんに。

10 :小平の消滅定理:2005/08/17(水) 12:09:24
> 岡潔について語るスレ 2
> 250 名前:gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 11:46:25
> 素晴らしい。 どうもありがとうございます。
> 私を消滅させるほど強烈な書き込みを期待しています。

貴方が消滅される前に、
Kodaira Vanishing Theoerm 等のように名前が付いている消滅定理を全て述べてみなさい。


11 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 12:59:03
>>9
1.小林昭七著 複素幾何1、2 (岩波講座現代数学の基礎) 合本が9月に刊行される予定
2.R.O.Wells Jr 著  Differential analysis on complex manifolds Springer GTM
3.秋月康夫著 輓近代数学の展望 ダイヤモンド社 (多分絶版)
4.前原和寿著 ーーー(タイトルは忘れた) 上智大学講義録
5.川又雄二郎著 代数多様体論 共立講座 21世紀の数学
6.小木曽啓示著 代数曲線論 講座数学の考え方 朝倉書店
7.中野茂男著 多変数函数論ー微分幾何的アプローチ 数理科学ライブラリー 朝倉書店
8.P.A.Griffiths and J.Harris 著 Principles of algebraic geometry Wiley-Interscience Series of Texts
とくに1と8は必見です。
>>10
Kodaira-Nakano Vanishing
Akizuki-Nakano Vanishing
Kawamata-Vieweg --
Demailly's L^2 ---
Grauert-Riemenschneider ---
Ramanujam ----
Kobayashi-Ochiai ----
Girbau----
Hartshorn -----
Norimatsu ----
Bott ----
Nadel ----
これで全部ではないと思いますが、とりあえず思いつくまま並べてみました。

12 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 13:09:50
>>10
すみません。Matsushima-Murakami Vanishing を忘れていました。

13 :Kodaira:2005/08/17(水) 13:13:49
>>11

小平邦彦 著: 複素多様体論 (岩波書店)
堀川穎二 著: 複素代数幾何学入門 (岩波書店)
宮岡正宜 著: 代数幾何学 (裳華房)

Ohsawa Vanishing Theorem は有りませんか?


14 :大学3年:2005/08/17(水) 13:22:16
>> 1.小林昭七著 複素幾何1、2 (岩波講座現代数学の基礎) 合本が9月に刊行される予定
>> 8.P.A.Griffiths and J.Harris 著 Principles of algebraic geometry Wiley-Interscience Series of Texts
1と8が必見とのことなのですぐに手に入る1を始めてみようかと思っています。
Complex Analysis (Ahlfors)は読み終わりましたが可換環論はあまり進んでやってません。
まだ無理ですか?

15 :Kodaira:2005/08/17(水) 13:29:29
>>14
> 可換環論はあまり進んでやってません。

リード著: 可換環論 (岩波書店)

訳本ですが定評がありますね。


16 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 13:38:49
>>13
それらしいのが前原さんの講究録にあったと思うのですが。

17 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 13:39:33
可換環論に関してはしっかりやるべしという人と代数幾何の準備と
割り切って深入りするなという人がいる。深入りするなというのは
重要だが証明がややっこしい定理の証明をどこまで読むかということ
だと思う。なんでもかんでもちゃんと読めれば理想だが目的は代数幾何
ということを忘れてはいけないという意味で俺は後者に一票。

P.S. 俺はマクドナルドの本で可換環論やりました。

18 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 13:55:26
>>14
> まだ無理ですか?
とりあえず始めてしまえ。知らないことが出てきたらその都度調べれば
いいと思う。森重文なんか大学1回生でWeilのFoundationsを読んでたと
いう話だぞ。

19 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 13:56:00
>>14>>17
あなた達と同じ段階で私がやった可換環論は、永田先生の可換体論(自主ゼミ)。
この本で問題を解くのが面白くなり、もっと解きたくなって可換環論を読みかけたけど
途中で沈没。今その本を開いてみると70ページの問題に3つ?マークがついている。
Noether環や局所環についてはあとから必要に応じてブルバキの英訳で読みました。

20 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 13:56:55
松ちゃんの可換環論でしょ。

21 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 14:03:37
永田雅宜 可換環論 紀伊国屋書店
は強烈に難しかった。可換体論に比べて教科書としての評価が劣るのは
難しすぎるせい。

22 :Kodaira:2005/08/17(水) 14:08:37
>>19
> ブルバキの英訳で読みました。

ブルバキの 『 可換環論 』 の改訂版が出版されなかった理由を御存知でしょうか?
ブルバキ編集委員の一人に尋ねたところ次のような返事がありました :

それは松村の二冊の本があるから必要ないのだと。

H. Matsumura : Commutative algebra (Benjamin)
松村英之著: 可換環論 (共立出版)  後に、ケンブリッチ大学より英訳された。


23 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 14:11:18
Griffiths and Harrisってムズイんですけど。
最初のイントロでつまずきました。特に代数トポロジーの
サイクルの交点数で。これを扱ってる代数トポロジーの本って
あまりない。それに部分多様体がサイクルになるって厳密な証明を
見たことないし。

24 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/17(水) 14:41:22
>>22
十分うなずけますね。私の自慢は松村先生の集中講義の単位をレポートの提出でせしめたことです。
そのレポート課題が解けるまで、下宿の窓の外を白雲がどれだけ通り過ぎていったことか!
>>23
直感的な事柄をformalizeするときに気になることは
1) 直感を忠実に形式化しているか
2) 形式化された結果が論理的に矛盾なく成立しているか
ですが、
3) 直感を矛盾なく形式化しているか
は多分ムズラの卵です。
部分多様体がサイクルになることについてですが、フルトンの本はどうですか?
(絶対の自信はないけど)

25 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 14:43:20
Bourbakiは基礎部分を学ぶにはいいんでは?
SerreのLocal Algebraは松村に書いてないTorを使った
交点数の定義を扱っていて貴重な本。

26 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 15:39:39
1年か2年くらい前の数セミで桂先生が「もし今自分がゼロから代数幾何
の勉強を始めるとしたらどういうコースでやるか」という記事を書いて
いてとてもおもしろかった。

27 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 16:13:00
>>26

多分、複素幾何を抽象代数幾何より前にやるということでは?

28 :26:2005/08/17(水) 16:33:01
>>27
手元にその数セミがないのでうる覚えで書きます。

代数幾何に入門するには複素幾何から入るコースと代数(可換環)から
入るコースの二つがあってそれぞれにいい教科書がある。前者は
Griffiths & Harrisで後者はHartshornのGTMのやつとMunfordのRed book
である。とりあえずこの3冊のうち1冊でも読めれば入門には成功したと思ってよい。

なんかこんな話でした。他にも手元に置いておくべき可換環の良書と
上の3冊に続いて大学院で読むべき本も紹介されてました。当時の自分は
これを読んでまずHartshornを早く終わらせようと心に誓ったのを
覚えています。大学院で読むべき本は当時の自分のレベルに合ってなかった
ので記憶してませんがアーベル多様体の本1冊と川又先生の本が1冊入って
たのは覚えています。

29 :26:2005/08/17(水) 16:34:14
×Munford
○Mumford
スペルミス

30 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/19(金) 12:17:10
>>14>>26-28
話が可換環論に流れたのでついつきあってしまいましたが、
AhlforsのComplex Analysisを読まれたのなら, 上の1と並行して
Lectures on quasiconformal mappings や 
Conformal invariants ---- topics in geometric function theory
も覗いてみたら? (小林先生の研究領域に近い)
また、多変数函数論(または代数幾何)を本格的に勉強したいなら、8と並行して
O.Forster の Lectures on Riemann surfaces にも
目を通しておかれると良いと思います。



31 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/20(土) 11:10:59
故・西野先生は、「多変数函数論はアーベルの定理を良く理解してからでないと」
ともおっしゃっていました。勿論これとは別に、「多変数函数論を必要とする
面白い研究対象を見つけてからでないと」という考え方もあるでしょう。

32 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 11:26:36
>>26
> 1年か2年くらい前の数セミで桂先生が「もし今自分がゼロから代数幾何
> の勉強を始めるとしたらどういうコースでやるか」という記事を書いて
> いてとてもおもしろかった。


これは「数学の楽しみ 7」にある「代数幾何の教科書をめぐって」ではないのかな?
手元にあるのだけど、1998年だから数年前ではない。

別で数セミでもあったのかしら?

33 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 11:58:35
>>30
O. Forsterってどの先生に聞いても推奨しますね。GTMにしては薄くて
すぐ読めそうだったので私もだいぶ前に読み始めましたが
Chapter 3: Non-Compact Riemann Surfacesに入るところで中断して
しまってます。今日から再開しよっと。

34 :33:2005/08/20(土) 12:05:59
「どの先生」というのは補足するとどの専門の先生もという意味です。
私は中村周先生が講義で話しておられたので読み始めたのですが
数論の友人もちょうど読んでいていっしょに勉強しました。その
友人も講義で先生が推奨してたので始めたとのこと。多分その先生は
織田先生かと。

35 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 12:52:06
>>30 >>33
O.Forster ``Lectures on Riemann surfaces''
http://print.google.com/print?id=iDYBTCVCO_IC&dq=%22Lectures+on+Riemann+surfaces%22&oi=print&pg=PP8&sig=atgyUEmkTW9mVw5xm8quje66V5U


36 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 15:56:07
>>10
Kodaira-Nakano Vanishing
Akizuki-Nakano Vanishing
Kawamata-Vieweg --
Demailly's L^2 ---
Grauert-Riemenschneider ---
Ramanujam ----
Kobayashi-Ochiai ----
Girbau----
Hartshorn -----
Norimatsu ----
Bott ----
Nadel ----

Do not forget SERRE VANISHING!!!


37 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 17:51:44
Vanishing Cycleは数論幾何の人から注目されているね。

38 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/22(月) 17:14:47
>>36
Esnault-Viehwegの本に出ている最初の消滅定理ですね。
この定理は昔は
「射影空間の基本定理」と呼ばれていて、わたしも
レポートにそう書いたことがあります。でも言われてみると確かに
Serre Vanishingですね。

39 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 17:43:50
Grothendieckの消滅定理は?
ネーター空間において、その次元を超えるとコホモロジーが消えるという。

40 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/22(月) 17:56:54
>>39
感謝。
今晩家に返ってから
Hartshornで確かめます。

41 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/23(火) 10:08:55
>>39
Dolbeault-Grothendiechの補題の方が
Vanishing Theoremの名にふさわしい気がします。

42 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 10:42:57
>>41
複素幾何的には>>39はつまらないのかもしれませんね。

ただ、>>39とSerreのGAGAを組み合わせるとC上の完備な代数多様体
(または代数スキーム)の解析的連接層のコホモロジーがその多様体の
次元を超えたところで消えることになるのかな(自信ないですが)。
これが正しいとして、これって複素幾何的にはトリビアルなのかな?

43 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/23(火) 11:09:23
>>42
これが複素幾何的にトリビアルかどうかは
n次元解析空間上の解析的連接層のコホモロジーがn+1次以上で消えることが
トリビアルかどうかという問題です。
多分これはトリビアルではなくて、Andreotti-Grauertによる
複素化されたMorse理論の系として初めて理解できることでしょう。
もし簡単な別証があれば教えてください。


44 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 09:10:36
Hartshorneの教科書の付録によると>>42はSerreのGAGAからすぐには出ない
ようですね。
SerreのGAGAをC上の固有(proper)な代数スキーム(特に完備な代数多様体)
に拡張したのはGrothendieckのSGA1だそうです。
なお、射影多様体での>>42の主張はO(n)のコホモロジーの公式からすぐ出るので
>>39のGrothendieckの定理は必要ないです。

45 :132人目の素数さん:2005/08/25(木) 17:13:44
45546

46 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 02:27:54
age

47 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 03:51:41
シゲさんも読んだGAGA

48 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 06:10:01
Vesentini vanishing,
Kollar vanishing,
Manivel vanishing,
Griffiths vanishing,
Fujita vanishing,
Le Potier vanishing,
Generic vanishing, tenomo nakattake?!

Reference(Lazarsfeld, Positivity in Alg. geometry))

49 :gaga ◆P2bEA4mHeU :2005/08/31(水) 09:32:22
>>48
ありがとうございます。
Lazarsfeldの本によるとまだ挙がっていなかったのは
Bogomolov vanishing
Demailly vanishing
Fujita vanishing
generic vanishing
Griffiths vanishing
Kollar vanishing
Le Potier vanishing
Manivel vanishing
Miyaoka vanishing
Nakano vanishing(=Kodaira-Nakano vanishing)
です。References を見ると
Mustata vanishing
というのもあるみたいです。
ところでVesentini vanishing の出典は?


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