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院試問題解きます 2005夏

97 :132人目の素数さん:2005/08/13(土) 01:10:50
∫[0,∞](sinx/x)dx=π/2をだしたいなら>>54の問題文の誘導どうりやればいいんじゃないの?
留数定理を証明せよって部分はまあどうでもいいとして
f(z)=zexp(iz)/(z^2+a^2)を部分分数分解してres(ai,f)=exp(-a)/2だから
I(a)=∫[-∞,∞]f(z)dz=2πi・res(ai,f)=πiexp(-a)。∴lim[a→0]I(a)=π―(1)。
一方で∫[-∞,∞]f(z)dzでz→-zと置換するとI(a)=∫[∞,-∞]f(-z)(-dz)=-∫[-∞,∞]exp(-iz)/(z^2+a^2)dz
よって2I(a)=∫[-∞,∞]z(exp(iz)+exp(-iz))/(z^2+a^2)dz=2i∫[-∞,∞]zsinz/(z^2+a^2)dz。
よって単調収束定理からlim[a→0]I(a)=i∫[-∞,∞]sinz/zdz―(2)。
(1)(2)より∫[0,∞](sinx/x)dx=π/2。
>>54の誘導どうりにやれば原点を回避する路をとる必要はないはずだしそのために分母にaがついてると思う。
たぶん原点を回避する積分路をつかう解答もあるとおもうけどそれと>>54の誘導はなんか話があわんような。

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