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院試問題解きます 2005夏

54 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 21:43:33
院試の数学質問なのですが、お力をお貸しください。

(1) 複素関数F(z)が単連結領域D内で正則であるとき、D内の任意の単純閉曲線Cに対して

                ∫c F(z)dz = 0 (2.1)

が成立する。また、F(z)がD内および正方向に取られた単純閉曲線C上で正則であるとき、C内部の任意の点Zoに対して

                ∫c F(z)/(z-zo)dz = 2πiF(zo)      (2.2)

が成立する。被積分関数F(z)/(z-zo)およびFig.2.1に示す経路に対して(2.1)式を適応することにより公式(2.2)を導け。

_____←____
/              /
/ D   /
                           / ______   ↑
                           l l l   /
C↓ l l__________ /
                           l ↑ __________
                           l   l______l      /
                           l            / 
                          ―――→――――
                             Fig.2.1

図がへたくそですいません。

(2) f(z) =( ze^(iz) ) / ( z^2 + a^2 ) ( a > 0 ) とする。f(z)を部分分数を用いてf(z)≡ f1(z) + f2(z)の形に表すとき、f1(z), f2(z)を求めよ。
                         


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