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院試問題解きます 2005夏

190 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 22:39:25
確率の問題多いな。
F(λ)=√(π/2)・2/√(2π)∫[0,∞]e^(-λt)e^(-t^2/2)dt=∫[0,∞]e^(-λt)e^(-t^2/2)dt
λで微分して
F’(λ)=∫[0,∞](-t)e^(-λt)e^(-t^2/2)dt
∴F’(λ)-λF(λ)
=e^(λ^2/2)∫[0,∞](-t-λ)e^(-(λ+t)^2/2)dt
=e^(λ^2/2)∫[λ^2/2,∞]e^(-u)(-du)
=e^(λ^2/2)[e^(-u)]_λ^2/2^∞
=-1
もちろん項別微分できるかどうかとかのチェックとかもしないといかんけど。

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