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面白い問題おしえて〜な 十問目

1 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 02:35:12
面白い問題、教えてください

2 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 02:35:56
過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

3 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 03:41:50
3を三つ使って式を作り、その答えをできるだけ大きくしてください。


3+33=

ガイシュツ?

4 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 04:07:41
3^(33)はどう? 3/(3-3)=∞では?

5 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 09:54:18
>3
などって・・・つかっていいシンボルをキチンと規程しないと問題にならん。

6 :竜太:2005/05/31(火) 09:54:39
アホが1匹釣れたw

7 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 12:58:27
3次元空間にn(>=3)個の点がありこの中から任意の3点を
選ぶと二等辺三角形になる。nの最大値を求めよ。
 
↑これ解いて。

8 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 13:52:12
>>3
3+∞

9 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 13:54:19
>>8
ネ申

10 :竜太:2005/05/31(火) 18:40:42
前レスの998と
>>6
俺の名前使ってひどい事言うなよ!!

11 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 21:01:56
ある正の整数がある。下記の操作をしたとき、どのような正の数でも操作が停止することを証明せよ。
・1なら操作を停止する。
・偶数なら2分の1にする
・奇数なら3倍して+1する。
例)
3→10→5→16→8→4→2→1



12 :竜太:2005/05/31(火) 21:57:54
>>10
アホが1匹釣れたw

13 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 00:28:22
>>11
コラッツ予想
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072595845/

↑でどうぞ
ただし今、基地外が降臨中

14 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 01:09:42
977 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/05/25(水) 18:48:18
△ABCはAB=ACたる二等辺三角形である。
Cから辺ABに垂線を下し,その足をMとし,Mから辺BCに垂線を下し,その足をNとする。
MN=3,AN=4のとき,ABの長さはいくらか。


未解決

15 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 18:22:18
各点の座標を
A=(u,v), B=(b,0), C=(c,0), M=(0,m), N=(0,0)
とおく.ただし u^2+v^2=AN^2=4^2, m=NM=3.

t=(v-m)/uとすると直線MBとMCは次のようにあらわされる
直線MB: y=tx+m, 直線MC: y=-(x/t)+m
したがって,b=-(m/t),c=mt=-m^2/b と書ける.

△ABCがAB=ACなる二等辺三角形である条件は
u = (b+c)/2 = (b-m^2/b)/2 ∴ -2bu + b^2 = m^2

すると
AB^2 = (u-b)^2 + v^2
= (u^2 + v^2) + (-2ub + b^2)
= AN^2 + AM^2
= 25

よってAB=5.


16 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 18:57:08
>>15
すげっっっ。
図形って座標入れちゃうと補助線とかなしに機械的に解けるって先生に言われたんですけど、こういうことなんですね。
でも幾何の味わいが薄れるみたいでちょっとタブーな気もしますー。
国公立の二次で平面幾何とか三角比があんまり出題されないのはこういうことがあるからですか?

17 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 23:20:56
>>15
そして暇だな

18 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 23:26:01
幾何のいやらしさは、もっと不定点が増えて次々と必殺技(=定理)を繰り出す
証明にある。

19 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 23:39:51
∀n,m a[n]+a[m]≧a[n+m]を満たす正の実数列a[1],a[2],a[3],…は
lim[n→∞]a[n]/n=inf{a[n]/n}を満たす事を証明せよ。(infは下限を表す)

20 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 23:55:51
>>19
>lim[n→∞]a[n]/n=inf{a[n]/n}を満たす事を証明せよ。(infは下限を表す)
 
なんでこんなまわりくどい設問なん?収束することを示せでいいじゃん。
結構有名なんだなこれ。

21 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 01:46:06
>>14
>>15お見事
おくればせながら>>14の別解
BCの中点をHとする
AB^2 = AH^2 + BH^2
4^2 = AH^2 + NH^2
上の式から下の式を引くと
AB^2 - 4^2 = BH^2 - NH^2 = (BH + NH )(BH - NH)
NはBC上にあるのでBH - NH > 0であり、
右辺は BN * CN(=CN * BN)に等しい
一方△BMN ∽ △MCNであるので
BN / 3 = 3/ CN よって BN * CN = 3^2
AB^2 - 4^2 = 3^2
∴AB = 5


22 :未解決:2005/06/02(木) 03:26:42
自然数 n が次の性質を満たすとき、nを「良い数」と呼ぶことにする。

性質:nをいくつかの正整数の和にうまく分割すると、それらの逆数の和を1にできる。
    すなわち n=a1+a2+‥‥+ak 、 (1/a1)+(1/a2)+‥‥+(1/ak)=1 とできる。

例1:9は良い数である。9=3+3+3 であり、1/3+1/3+1/3=1。
例2:10は良い数ではない。実際どのような分割に対しても、逆数の和が1にはならない。
例3:11は良い数である。11=2+3+6、1/2+1/3+1/6=1。

問題:良くない数は高々有限個であることを示し、その最大値を求めよ。

23 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 07:36:42
>>22
突っ込んでやれ

「良くない数」が定義されてないので回答不能

24 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 09:30:23
>>23
突っ込んでやれ

アンケートじゃないので「回答」などいらぬ

25 :22:2005/06/02(木) 10:21:14
訂正。10は良い数でした。10=4+4+2。

>>23
良くない数:=自然数であって良い数ではない数

26 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 13:13:41
>>22 すげー汚いし、有限性だけだけど

n が十分大きいとき、n を分割して逆数の和を 1 にするアルゴリズムを示す

(1) n≡0 (mod 2) なら a_1=8、そうでなければ a_1=9+72 として、
n_1=n-a_1 とする。n_1≡0 (mod 2) は明らか。
(2) n_1≡0 (mod 4) なら a_2=8、そうでなければ a_2=10+40 として、
n_2=n_1-a_2 とする。n_2≡0 (mod 4) は明らか。
(3) n_2≡0 (mod 8) なら a_3=8、そうでなければ a_3=12+24 として、
n_3=n_2-a_3 とする。n_3≡0 (mod 8) は明らか。
(4) n_3=8(29+n_4) と分割する。
任意の自然数は4個の(0を含む)平方数の和で表せるので、
n_4 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 とする。
(5) b_1〜b_4 に 0 が k 個 (0≦k≦3) 含まれているとする。
n_5=29-k, n_6=n_4+k とする。n_3=8(n_5+n_6)、
n_6 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2 (c_i > 0) となる。

以上で n = a_1 + a_2 + a_3 + 8n_5 + 8Σc_i^2 と分割できた。

(6) a_1,a_2,a_3 は分割して逆数の和を 1/8 にできる。
(7) 26≦n_5≦29 で、26〜29 は良い数。
(26=4+4+6+6+6, 27=3+6+6+6+6, 28=4+4+4+8+8, 29=2+3+12+12)
n_5 = Σk_i, Σ1/k_i = 1 とできるので、
8n_5 = Σ8k_i, Σ1/(8k_i) = 1/8 のように
8n_5 を分割して逆数の和を 1/8 にできる。
(8) 8c_i^2 を c_i 個の 8c_i に分割すれば、逆数の和を 1/8 にできる。

以上で a_1, a_2, a_3, 8n_5, 8c_i (1≦i≦4) をそれぞれ分割して、
逆数の和を 1/8 にできたので、
n を分割して逆数の和を 1 にできる。

27 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 03:54:35
>>22
>>26の議論で、400以上の良くない数は存在しないことがわかる
もう少し修正すれば、上限を 250 程度まで下げられる

適当にプログラム書いて調べてみたら、
(完全探索じゃないし、あまりチェックしてないけど)
↓以外は良い数みたい

2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23,24,30,31,32,33,37,39,43,57

あとは 57 が本当に良くない数かどうか調べなきゃならない

28 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 04:10:38
33=3+3+9+9+9
57=3+9+9+9+9+9+9
だった

2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23,24,30,31,32,37,39,43

29 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 04:39:48
あわわ…
24=2+4+6+12
30=2+3+10+15
31=2+4+5+20
32=2+3+9+18
37=2+3+8+24
39=2+6+6+10+15
43=3+6+6+8+8+12

残り
2,3,5,6,7,8,12,13,14,15,19,21,23

30 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 05:48:06
24以下の数は4個以下の数の組合せで表される。

4個以下の組み合わせをリストアップ。
(1)(2,2)(2,3,6)(2,4,4)(3,3,3)
(2,3,7,42)(2,3,8,24)(2,3,9,18)(2,3,10,15)(2,3,12,12)
(2,4,5,20)(2,4,6,12)(2,4,8,8)(2,5,5,10)(2,6,6,6)
(3,3,4,12)(3,3,6,6)(3,4,4,6)(4,4,4,4)

和が24以下になるのは和が1,4,9,10,11,16,17,18,20,22,24の時。
>>29の残りと合わせて全部。

31 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 09:06:11
>>27
>>26の議論で、400以上の良くない数は存在しないことがわかる
>もう少し修正すれば、上限を 250 程度まで下げられる
 
ここわからんあげ。ホントにこれで400以上の良くない数は存在しないことが
しめせてるの?

32 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 09:20:50
>>22
平方数はつねによい数じゃないの?
n^2=n+n+・・・+n、1=1/n+1/n+・・・+1/n

33 :32:2005/06/03(金) 09:29:49
しまった。問題よみまちがった。良くない数が有限であることを示せか。
>>27でしめせてる。orz

34 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 09:35:58
そうだ >>32 が全て正しい。”良い数”は無限に存在する。

35 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 09:49:32
>>31
>>26のアルゴリズムが動くには、(4)のところで
n_3 ≧ 8(29+1) = 240
であればよい。
n_3 = n - (a_1 + a_2 + a_3),
a_1 + a_2 + a_3 ≦ 81 + 50 + 36 = 167
だから、n ≧ 240 + 167 = 407 であれば十分。

あと、26〜29 が4個の連続する良い数であることを
使っていて、これは 24〜27 に置き換えられるから、
そのときは n ≧ 8(27+1) + 167 = 391 であれば十分。
つまり、391以上の良くない数は存在しない。

(5)の書き方おかしかったけど、
これは、4個の0を含む平方数の和だと具合が悪いから、
4個の0でない平方数の和になるように、
29 のほうから必要なぶんだけ(k個の)1をもらって来て、
b_i=0 のところを 1 で埋めてる。

4平方数の定理はこのへん
ttp://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node40.html

36 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 20:51:52
щ(゚Д゚щ)カモォォォン オモシロイノ カモォォォン (屮゚Д゚)屮 オモシロイノ カモーン アゲ

37 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 22:15:31
>>22の「良い数」の定義を
「いくつかの正整数の和」から「いくつかの互いに異なる正整数の和」にするとどうなるか

38 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 23:19:19
各階が2.5mの高さの33階建てのマンションの高さを求めよ。


39 :39:2005/06/04(土) 05:00:20
3 = √9


40 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 22:30:10
>>22をちょい一般化して
 
正の有理数rに対し自然数nが次の条件をみたすときrに関してよいと呼ぶとする。
 
 ある正の整数 a1、・・・、ak が存在して n=蚤i、r=1/ai
 
正の有理数rを任意に固定するときrに関して良くない自然数は有限個しかないことを示せ。
 
>>37
わからん。ヒントおながいします。

41 :132人目の素数さん:2005/06/05(日) 06:24:05
>>31 >>35
上限を落として 56 以上の良くない数が存在しないことが言える。

n = 6a + b (a>0, b∈{30,33,35,50,52,55}) と分割する。
a を4個以下の正の平方数の和で表せば、
6a を分割して逆数の和を 1/6,2/6,3/6,4/6 のいずれかにできる。
b を分割して逆数の和を 2/6,3/6,4/6,5/6 のいずれにもできる(*)ので、
結局 n を分割して逆数の和を 1 にできる。

(*)
30 = 6+12+12 = 3+9+18 = 3+9+9+9 = 2+8+8+12
33 = 6+9+18 = 6+9+9+9 = 3+6+12+12 = 2+6+10+15
35 = 5+15+15 = 3+8+24 = 4+4+9+18 = 2+6+9+18
50 = 10+10+15+15 = 5+5+20+20 = 4+6+8+16+16 = 2+12+12+12+12
52 = 4+24+24 = 3+7+42 = 3+10+12+12+15 = 2+10+10+15+15
55 = 6+7+42 = 5+5+15+30 = 3+4+24+24 = 2+4+21+28

42 :132人目の素数さん:2005/06/12(日) 16:47:42
定規のみを用いて、成す角が1/2005度以下である2本の直線を引くことはできるか。

…微妙な問題なので、あまり深入りしないで下さい。

43 :132人目の素数さん:2005/06/12(日) 17:27:49
できると思う

44 :132人目の素数さん:2005/06/13(月) 22:06:03
半径が10、18、35の三つの円があり、それぞれは他の二つと外側で接している。
この状態の三つの円を内側に含み、全てと接する円の半径はいくらか?

45 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 02:21:28
age

46 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 20:50:15
>>37
やっとできた・・・一週間かかった。
 
補題1
 
長さ12の3つの正の整数列a1i,a2i,a3iがあって以下をみたす。
・蚤1i=蚤2i=蚤3i=203904。
・1/(a1i)=(1/2)1/(a2i)=(1/3)1/(a3i)=256/3289
・aijの2'部分はすべて相異なる。特に
 aij2^u=akl2^v⇒u=v、i=k、j=l。
・aijは9の倍数であるか5の倍数。
・aijは15の倍数でない。
・aijは7の倍数でない。
(ここで正の整数nの2'部分とは2と互いに素なnの約数のなかで最大のものである。)
 
証明)
a1=(45 1035 99 55 117 65 6435 1287 715 148005 29601 16445)
a2=(9 207 495 55 585 65 6435 1287 715 148005 29601 16445)
a3=(5 115 495 99 585 117 6435 1287 715 148005 29601 16445)
とおけばよい。

47 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 20:50:36
補題2
 
任意の整数nについて長さ18の整数列aiが存在し以下をみたす。
・巴i2^(i-1)≡n (mod 203904)。
・bi=49 or 6。
 
証明)
まず203904=2^7・3^2・59なので(203904,43)=1。よって整数mを
43m+6(2^18-1)≡n (mod 203904)、0≦m<203904となるようにとれる。
mの2進展開をm=把i2^(i-1) (i:1〜18)とするときbi=43ci+6と定める。
明らかにbi=49 or 6。さらに
巴i2^(i-1)=(43ci+6)2^(i-1)=43m+6(2^18-1)≡n (mod 203904)。
 
補題3
 
任意の正の整数nについて長さがN=[log(2)n+1](=2進展開したときの桁数)の
数列ciが存在して以下を満たす。
・把i2^(i-1)=n。
・ci=1,3。
・ciの第N項は1。
 
証明)nの2進展開の桁数に関する帰納法。nの2進展開が1桁のときはn=1なのであきらか。
N桁未満で成立すると仮定してnがN桁の整数とする。nが2べきならあきらか。
nが2べきでないとする。n-2^Nは正の整数だから帰納法の仮定を適用して
長さMがN-1以下の数列diを
・播i2^(i-1)=n-2^N
・di=1,3
・diの第M項は1
と選ぶ。M=N-1ならaiをci=di(i<N)、cN=1とさだめればよい。M<N-1のときは
ci=di(i<M)、cM=3、ci=1(i>M)と定めればよい。

48 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 20:50:58
補題4
 
任意の正の整数nに対して正の整数の列diが存在し以下を満たす。
・diはすべて相異なる。
・播i=203904n。
・1/di=512/3289。
・diは9の倍数であるか5の倍数。
・diは15の倍数でない。
・diは7の倍数でない。
 
証明)a1i、a2i、a3iを補題1において構成した数列とする。
nにたいして補題3を適用してciを補題3でのべられた条件をみたすようにとる。
その長さをNとおく。長さ12Nの2重数列eij(1≦i≦N,1≦j≦12)を以下のようにさだめる。
eij=a1j2^(i-1) (if ci=1、i≠N)、eij=a3j2^(i-1) (if ci=3)、eNj=a2j2^(N-1)
この2重列eijを適当にならべてdiとする。これが要求された条件を満たすことは容易。
 
補題5
 
任意の整数nに対し正の整数列eiが存在し以下を満たす。
・eiはすべて相異なる。
・覇i≡n (mod 203904)、覇i≦49(2^18-1)。
・1/(ei)=1/6。
・eiの2'部分は3か7か21。
 
証明)biを補題2において構成した列とする。その長さをNとして
2重列fij(1≦i≦N,j=1,2)を以下でさだめる。
fi1=42・2^(i-1)、fi2=7・2^(i-1) (if bi=49)、fi1=6・2^(i-1)、fi2=0 (if bi=6)
fijの0でない項をならべたものをeiとすれば要求された条件をみたす。

49 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 20:51:33
補題6
長さ10の正の整数の列fiが存在して以下をみたす。
・fiはすべて相異なる。
・杷i=3696。
・1/fi=1-512/3289-1/6。
・fiは9の倍数でも5の倍数でもないか、15の倍数であるか、7の倍数である。
・fiの2'部分は3でも7でも21でもない。
 
証明)
fiを以下のように定めればよい。
fi=(92, 77, 1380, 420, 910, 345, 105, 91, 35, 70, 13, 156, 2)

定理7
 
49(2^18-1)+3696より大きい任意の整数nに対してxiが存在し以下を満たす。
・xiはすべて相異なる。
・肺i=n。
・1/xi=1。
 
証明)補題4、補題5、補題6より容易。

50 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 21:09:29
問題
 
任意の正の有理数aに対して相異なる正の整数x1・・・xnで1/xi=aを満たすものが
存在することを示せ。

51 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 21:26:10
>>46-49
うおお、すげえ
証明理解するのに1週間かかりそう

52 :132人目の素数さん:2005/06/16(木) 02:18:09
>>50の類題 良問なので貼っておこう

224 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/06/15(水) 01:16:23
自然数を並べ替えた数列{x(i)}で、
任意の自然数mに対して、あるnが存在して、
Σ[i=1,n]{1/x(i)}=m
をみたすものが存在することを示せ。

53 :42:2005/06/16(木) 06:46:18
一応、答えを書いておきます。
異なるn本の直線を適当に引く。引き出し原理から、この中のある2本は成す角が180/n度以下となる。
よって、n=180*2005とすればよい。

…が、しかし、どの2本が該当する2本なのかは特定できません。特定できないのに作図したと言えるのかは
よく分からないので、問題文は「引けるか」という表現にしました。が、特定できないのに「引ける」と
言えるのかも結局 微妙な気が…

54 :132人目の素数さん:2005/06/16(木) 11:17:35
>>53
てきとうに引いたんじゃ平行になってるかもしんないじゃんかよ。
平行でない保証はどうやってするんだ?
それとも平行な確率は0だとでも言うのか?
まさか平行なら角度は0だから1/2005度以下だとか言うんじゃないだろうな。

55 :541:2005/06/16(木) 11:23:34
いやまあどの2直線も平行でない作図の方法は簡単に見つかるだろうけどな。

56 :132人目の素数さん:2005/06/16(木) 11:23:49
>>54
(1)まず適当に1本引き、その上に点Pを取る。
(2)直線上にない1点を取り、そことPを通る直線を引く。
(3)どの直線上にもない1点を取り、そことPを通る直線を引く。
以下(3)の繰り返し。

57 :42:2005/06/16(木) 15:41:11
>>54
ん?平行でない保証は要りませんよ。平行なら成す角は0度ではありませんか?そしてこれは1/2005度以下です。


58 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 08:19:18
>>52
>>50の結果をみとめれば簡単。
x(i),i(k)を帰納的に以下のようにさだめる。
(I)x(1)=1、i(1)=1。
(II)x(i)、i(k) (i≦i(k)、k≦K)が
 (i)納i≦i(k)]x(i)=K
 (ii)i(k) (1≦k≦i(K))は狭義単調増大、x(i) (1≦i≦i(K))はすべて相異なる自然数で
   そのなかに1〜Kがすべて入っている。
となるようにさだめられたときi(K)とx(i)(i(K)+1≦i≦i(K+1)を以下のようにさだめる。
まずK+1がx(i) (1≦i≦i(K))のなかにはいっているときj=i(K)、r=0、そうでないときは
j=i(K)+1、r=1/x(i(K))とする。整数mをx(i) (1≦i≦j)のいづれよりもおおきい整数とする。
>>50をみとめているので(1-r)/m=納1≦l≦L]y(l)となる正の整数の有限列がとれる。
そこでi(K+1)=j+L、x(j+l)=my(l)とさだめる。するとi(k) (1≦k≦K+1)、x(i) (1≦i≦i(K+1))
も(I)(II)をみたす。

59 :47:2005/06/17(金) 08:22:18
>>47の補題3まずかった。証明したかったのは
各桁が1か3である2進展開みたいなもんで最高位が1であるものがとれる
といいたかった。まあそのようによんでちょ。

60 :132人目の素数さん:2005/06/18(土) 18:06:25
age

61 :132人目の素数さん:2005/06/20(月) 17:36:47
>>59
補題3が後でどう使われてるかまだ良く見てないから、
見当違いかもしれないけど、
把i2^(i-1) は 2k+1 か 2k+3 になるから、
偶数はできなくない?


62 :132人目の素数さん:2005/06/20(月) 19:45:16
>>50
高校時代に頑張って解いたな。当時の証明を引っ張り出してみたが、えらい分かりにくいので整理した。

まず、次の主張を証明する。
f:N→Nはf(n+1)−f(n)≧n+2 (n∈N)を満たす。X1={a} (2≦a∈N),X(n+1)=f(Xn)∪(1+Xn)とおくとき、
#Xn=2^(n−1)となる(元が全て異なるという意味)。…(i)

補題1:minX(n+1)=min(1+Xn)<minf(Xn)
x=minXn≧2とおくと、min(1+Xn)=1+x,minf(Xn)=f(x) このときf(x)≧f(x−1)+x+1≧f(1)+x+1≧x+2>x+1
=min(1+Xn)よりmin(1+Xn)<minf(Xn)また、X(n+1)=f(Xn)∪(1+Xn)であるから、minX(n+1)=min(1+Xn)

補題2:dn=minXnとおくとdn=a+n−1
d1=aは明らか。また、Lem1よりd(n+1)=min{dn+1,f(dn)}=dn+1 (n≧1)よってdn=a+n−1

(i)の証明:n=1のときは明らか。n=k (k≧1)のとき成り立つとすると、n=k+1のとき、#X(k+1)=#(1+Xk)∪f(Xk)
≦#(1+Xk)+#f(Xk)=2^(k−1)+2^(k−1)=2^k よって、等号が成り立つこと、すなわち(1+Xk)∩f(Xk)=φが成り
立つことを示せばよい。x∈(1+Xk)∩f(Xk)とすると、x=1+y=f(z) (y,z∈Xk)が成り立つ。まず、x=1+yより
x−1=y∈Xk=X(n−1)である。そこで、N∋m<nを、x−m∈X(n−m)を満たす最大の自然数とする。m=n−1のときは
x−m=aであるからx=m+a=a+n−1=dn=minXn<minf(X(n−1))=minf(Xk)(補題1より)となって、x∈f(Xk)に矛盾。
m≦n−2のときは、x−m∈f(X(n−m−1))である。なぜなら、もし そうでないとするとx−m∈(1+X(n−m−1))つまり
x−(m+1)∈X(n−m−1)となり、mの最大性に矛盾するから。さて、x−m∈f(X(n−m−1))よりx−m=f(p) とおける。
よってm=x−f(p)=f(z)−f(p)ここで、m>0であるから、f(z)>f(p) fは狭義単調増加よりz>pよってz≧p+1よって
m=f(z)−f(p)≧f(p+1)−f(p)≧p+2よってp+2≦m≦n−2=k−1よってf(dk)≧f(dk−1)+dk+1=f(a+k−2)+a+k
≧f(a+p+1)+a+k>f(p)+m=x 従って、やはりx<minf(Xk)となり、x∈f(Xk)に矛盾。以上より、(1+Xk)∩f(Xk)=φ
であることが分かり、数学的帰納法から(i)は成り立つ。

63 :132人目の素数さん:2005/06/20(月) 19:46:28
次に、f:N∋n→n(n+1)∈N とする。X1={a} (2≦a∈N),X(n+1)=(1+Xn)∪f(Xn)とおく。次の2つが成り立つ。

I Xnの元の逆数の総和は1/aになる。
1/x+1/f(x)=1/xであるから、Σ[x∈X(n+1)]1/x=Σ[x∈Xn](1/(x+1)+1/f(x))=Σ[x∈Xn]1/x=…=Σ[x∈X1]1/x=1/a

II #Xn=2^(n−1) (n≧1)である。(Xnの元は全て異なるという意味)
f(n+1)−f(n)=2(n+2)≧n+2より、(i)から明らか。

さて、IIより、任意のn∈Nに対して1/a=Σ[x∈Xn]1/x は異なる1/xの和になっている。正の有理数b/aに対して、まず
b/a=1/a+…+1/aと分解する。初めの1/aは1/a=Σ[x∈X1]1/xと分解し、次の1/aは1/a=Σ[x∈Xn]1/x (maxX1<minXnと
なるnを持って来る)と分解し、これを次々行うことでb/aは異なる1/xの有限個の和になることが言える。従って、任意の
有理数b/aは異なる有限個の1/xの和で表せる。

64 :132人目の素数さん:2005/06/22(水) 01:29:08
>>37
4731203 以上の整数は >>37 の意味で良い数と言える
(>>46-49見た後知恵 + PCで探索)

集合 S,T,U,C を
S={3,5,7,9,11,15,42,45,110}, T={3,5,7,9,11,26,33,42,45,143},
U={1,2,3,6}, C={3,114,247} とする。
Σ[x∈S]x = 247, Σ[x∈T]x = 324, Σ[x∈S]1/x = Σ[x∈T]1/x = 1,
Σ[x∈U]x = 12, Σ[x∈U]1/x = 2, Σ[x∈C]x = 364, Σ[x∈C]1/x = 9/26。

n を 4731203(=52*2^13+4305219) 以上の勝手な整数とする。
n = 52*2^p + m + 4305219 (p≧13, 0≦m<52*2^p) と書ける。
gcd(4*246,13*323)=1 なので、中国剰余定理より、適当な整数 a,b により
m + 4*246*13*323 = 4*246a + 13*323b (a≧0, 0≦b<4*246) とできる。
以上から n = 4(13*2^p-1+246a) + 13(13*2^10-1+323b) + 364 と書ける。
p≧13, m<52*2^p から a<2^p を言うのは簡単。

0≦k≦p-1 に対して
A[k] = { 4*2^k*x | x∈S } (a の2進展開に 2^k が現れるとき),
A[k] = {4*2^k} (それ以外)、A[p] = { 4*2^p*x | x∈U } とする。
A[k] (0≦k≦p) が全て互いに素であることはすぐ分かる。
A = ∪[k=0,p] A[k] とすれば、
Σ[x∈A]x = 4(13*2^p-1+246a), Σ[x∈A]1/x = 1/2。

同様に、0≦k≦9 に対して
B[k] = { 13*2^k*x | x∈T } (b の2進展開に 2^k が現れるとき),
B[k] = {13*2^k} (それ以外)、B[10] = { 13*2^10*x | x∈U } として、
B = ∪[k=0,10] B[k] とすれば、
Σ[x∈B]x = 13(13*2^10-1+323b), Σ[x∈B]1/x = 2/13。

A,B,C が互いに素であることはすぐ分かる。
X = A∪B∪C とすれば、Σ[x∈X]x = n, Σ[x∈X]1/x = 1。

65 :132人目の素数さん:2005/06/22(水) 02:10:45
age

66 :132人目の素数さん:2005/06/22(水) 14:09:39
>>44の問題に関連してこんな定理みつけた。なんかいかにも
初等幾何でありそうな定理なんだけど。もしかして有名だったりとか?
 
定理 半径Ra,Rb,Rcの円Ca,Cb,Ccが互いに外接をしておりその中心をA,B,Cとする。
    円Ca,Cb,Ccすべてに接する円の小さいほう(2つある)の半径をR、
    三角形ABCの内接円の半径をIとするとき次が成立
 
      1/R=1/Ra+1/Rb+1/Rc+2/I
 
ちなみにCa,Cb,Ccすべてと接する円C'がもう一つあってそいつの半径R'は
1/R'=|1/Ra+1/Rb+1/Rc-2/I|になるようだ。(C'はCa,Cb,Ccすべてと内接するときと
外接するときがあってそれぞれの場合で絶対値の中の符号がきまる。)
いまんとこ複素座標とって円円対応の原理とかつかって力技で証明した。
できた形みるとなんかいかにもスパっとしめせそうな悪寒なんだけど・・・

67 :66:2005/06/22(水) 16:07:45
いま検索してみたらどうもデカルトの円定理とかいうやつらしい。
>>44の問題解くには>>66の“ちなみに〜”の部分を使うんだけどそれはデカルトの円定理
とはいわないようだ。まあオレの証明だと±をちょっと替えて場合分け一回やるだけなんだけど。
ぐぐっても証明みつからんということはそんなズバット瞬殺するような方法はないんだろうな。

68 :50:2005/06/22(水) 21:31:49
せっかくなのでオレが用意してた解答かいときます。
有理数rが調和的というのをr=1/aiとなる相異なる正の整数があるときと
さだめておく。
(StepI) r=a/bが0<r<1でbが奇数とあらわせられるならrは調和的。
(証明)2^n≡1 (mod b)なるnをもってくる。2^n-1=bkとなる正の整数をとる。
このときr=ak/bk=ak/(bk+1)+ak/((bk)(bk+1))=ak/(2^n)+ak/((bk)(2^n))
akの2進展開をak=盃i2^(i-1)とするとak<bk<2^nその桁数はn以下。
つまりi≧nならui=0。よって
ak/(2^n)+ak/((bk)(2^n))=盃i/(2^(n-i-1))+盃i/((bk)(2^(n-i-1)))
の左辺の分母はすべて正の整数。相異なることは用意。
(StepII)r=a/b、b奇数とあらわせられる正の有理数rは調和的。
(証明)納i≦N]1/(2i-1)≦r<納i≦N+1]1/(2i-1)となるNをとる。
s=r-納i≦N]1/(2i-1)とおくときs≦1/3。よって2sは1未満であり
容易に2s=c/d、d:奇数とあらわせられることがわかるのでStepIにより
2s=1/aiなる相異なる正の整数aiをとれる。よってこのとき
r=納i≦N]1/(2i-1)+1/(2ai)となるのでrは調和的。
(StepII)すべての正の有理数は調和的。
(証明)r=a/(b・2^n)、b:奇数となる正の整数a,bと非負整数nをとる。
StepIIよりa/b=1/aiとなる相ことなる正の整数aiをとってくる。
するとr=1/(ai2^n)。

69 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 21:43:39
>>37解決したみたいなんだけどせっかくだし
だれか>>37の意味での“最大のよくない数”計算してみてくれん?

70 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 22:51:19
>>69
>>37 の意味での良くない数リスト
(探索範囲 n≦2000。自信ないから、誰か追試頼む)

2,3,5,6,7,8,9,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,23,25,26,27,28,
33,34,35,36,39,40,41,42,44,47,48,49,51,56,58,63,68,70,77

71 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 23:04:56
訂正 やっぱいきなりバグってた

2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,25,26,27,28,29,
33,34,35,36,39,40,41,42,44,46,47,48,49,51,56,58,63,68,70,72,77

72 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 23:46:20
>>70-71
乙。いまんとこの最良評価4731203未満まではまだまだ差があるけどいけそう?

73 :132人目の素数さん:2005/06/24(金) 21:40:25
>>72
ちょっと卑怯だけど、下の補題(PCで確認した)を認めれば、
n≧155 なら n は >>37 の意味で良い数。

補題) 155≦n≦822 のとき n を 4 の倍数でない相異なる
自然数に分割してその逆数の和を 1 にできる

定理) n≧155 のとき n は >>37 の意味で良い数

まず n≧718 とする。
n = a[0] + 4b, a[0]∈{8,27,29,34} とできる。

155(4^(p-1)-1)/3 + 4*4^(p-1) ≦ b < 155(4^p-1)/3 + 4*4^p となる p(≧2) を選び、
c = b - {155(4^(p-1)-1)/3 + 4*4^(p-1)} とすれば、0≦c<167*4^(p-1) なので
c = Σ[k=1,p-1] c[k]*4^(k-1) (0≦c[k]<4*167) とできる。
a[k]=c[k]+155 (1≦k≦p-1), a[p]=4 とすれば結局
n = Σ[k=0,p] a[k]*4^k (155≦a[k]≦822=4*167-1+155 for 1≦k≦p-1)
と書ける。

a[0] を分割して逆数の和を 2/3 にできる
(8=2+6, 27=2+10+15, 29=2+9+18, 34=3+6+10+15)。
補題より、1≦k≦p-1 に対して、a[k]*4^k を分割して逆数の和を 1/4^k にできる。
a[p]*4^p を 4^p+3*4^p と分割すれば、逆数の和を 1/(3*4^(p-1)) にできる。
a[k]*4^k (0≦k≦p) は全て 4^k の倍数であって、
4^(k+1) の倍数でない自然数に分割されたので、
分割されてできた自然数には重複がない。
以上から、n(≧718) を相異なる自然数に分割して逆数の和を
2/3 + (Σ[k=1,p-1]1/4^k) + 1/(3*4^(p-1) = 1 にできる。

補題より、明らかに 155≦n≦717 の n は良い数なので、
上と併せて n≧155 のとき n は良い数。

74 :132人目の素数さん:2005/06/24(金) 23:41:16
>>73
>a[p]*4^p を 4^p+3*4^p と分割すれば、逆数の和を 1/(3*4^(p-1)) にできる。
 
これおかしくね?4^p=4^(p-1)+3・4^(p-1)と分割すると逆数和は
1/4^(p-1)+1/(3・4^(p-1))=(4/3)(1/4^(p-1))=1/(3・4^(p-2)
じゃね?

75 :132人目の素数さん:2005/06/25(土) 00:14:18
>>74
>a[p]=4 とすれば

例)
n=743
a[0]=27, p=2, b=179, c=8, c[1]=8, a[1]=163, a[p]=a[2]=4

743 = 27 + 4*163 + 4^2*4
= (2+10+15) + 4(2+6+9+10+15+22+99) + 4^2(1+3)
= 2+10+15 + 8+24+36+40+60+88+396 + 16+48

76 :132人目の素数さん:2005/06/25(土) 00:29:34
>>75
ああ、なるほどわかった。
>n = Σ[k=0,p] a[k]*4^k (155≦a[k]≦822=4*167-1+155 for 1≦k≦p-1)
この後ろの部分の条件でa[p]はまえの構成で4ときまってるんだな。
でその4を1+3と分割すると。ならあとは全部あってる気配が。
ということは結局+>>71で完全に終了?すばらしい。

77 :132人目の素数さん:2005/06/25(土) 01:12:57
>>76
>>70 とかもっと上のほうでミスってるのも自分だから、
プログラムに頼ってる部分はあまり…

しかしこの問題は>>37のオリジナル?

(あと、見ればわかるとおり>>73>>46-49の、
無限に大きくなる部分を等比数列に押し込むって
アイデアを借用してる)


78 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 10:54:14
1, 2, 3, .... , 19 の数字から任意に異なる 7 個の数を取ると、
そのうちから異なる 2 個からなる組を適当に 2 個選んで、
各組の数の和が等しくなるようにすることができる。

79 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 01:51:06
     .┌━┐    ┌━┐
      ┃┌╋──╋┐┃
      └╋┘    └╋┘
        ┃ ・   ・  ┃        ┌━━┐
    ●━╋┐    ┌╂━━━━╂┐  ┃
    └━┷┴━━╂┘        └╋━┘
同じスレにはコピペ ┌╋┐        ┌╋┐
できるけど、違う  ┃└╋╋━━╋╋┘┃
スレにはコピペでき ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
ない不思議コピペ ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
           └━┘┘   └└━┘


80 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 07:32:44
     .┌━┐    ┌━┐
      ┃┌╋──╋┐┃
      └╋┘    └╋┘
        ┃ ・   ・  ┃        ┌━━┐
    ●━╋┐    ┌╂━━━━╂┐  ┃
    └━┷┴━━╂┘        └╋━┘
同じスレにはコピペ ┌╋┐        ┌╋┐
できるけど、違う  ┃└╋╋━━╋╋┘┃
スレにはコピペでき ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
ない不思議コピペ ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
           └━┘┘   └└━┘

81 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 20:55:42
>>78
> 異なる 2 個からなる組を適当に 2 個選んで、
ここの意味がとりにくいけど、
S⊆{1,2,…,19} かつ |S|=7 である集合 S が与えられたとき、
S から相異なる4個の要素 a,b,c,d を取り出して、a+b=c+d とできる
って意味?
でも、そうだとしたら、
S = {1,2,3,5,9,14,19}
が反例になってると思う。

82 :78:2005/06/29(水) 21:37:33
おっと、反例があったか。
では R の部分集合 X で、任意の 0 でない実数 a が a = b - c, b, c ∈ X として一意にかけるような X はあるか?

83 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 02:04:47
>>82
いきなりレベルアップしてきたけど、それ解けるの?

84 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 02:33:30
>>82
超限帰納法を使えば作ることができることがわかったが、
もっと構成的な方法があるのならもう少し考えてみる。

85 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 04:57:18
正の実数全体の集合をVとする。次の(i)(ii)(iii)を全て満たす集合A⊂V,B⊂Vは存在するか。
(i)A∩B=φ,A≠φ,B≠φ,A∪B=V
(ii)x,y∈Aならばx+y∈A,xy∈A
(iii)x,y∈Bならばx+y∈B,xy∈B
…俺は答えは知らない。

86 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 18:31:20
>>84
とりあえず超限帰納法を使った存在証明というのをおながいしまつ。

87 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 18:55:10
底面が楕円で頂点と底面の中心を結ぶ線が底面と垂直な楕円錘の展開図を描け

僕には分かりません

88 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 19:41:14
>>87
模型を作って展開してみよ

89 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 20:31:40
>>86
Ωを連続濃度とし、正の実数全体を整列させて {r_α} (α<Ω) とする。
実数の集合 V_α (α<Ω) を以下のように定める。

1) V_0 = 空集合
2) αが極限順序数のとき、V_α = ∪V_β (β<α)
3) α=β+1 のとき。
V_βの濃度はΩより小さいことが帰納法により証明できる。

イ) V_β中の2点で距離が r_β となるものがあれば、V_α=V_β とする。

ロ) V_β中の2点で距離が r_β となるものがないときは、
V_βに距離が r_β となるような2点 {x,y} を新たにつけ加える。

距離が r_β となるような2点 x,y で、
x,y のどちらかが、 V_βの元であるか、V_β のある点との距離が
V_β 中のある2点間の距離として実現されているような x,y の組の濃度もΩより小さい。
距離が r_β となるような2点の組全体の濃度はΩだから、上の条件を満たさないような
x,y の組が存在するので、V_α=V_β∪{x,y} と定める。

V=∪V_α (α<Ω) と定めれば、V が求める集合となる。

90 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 20:38:48
ちょっと工夫が必要だが、同じようにして次もできる。

ユークリッド平面の点集合 V で次を満たすものがある。
1) V のどの異なる3点も一直線上にはない。
2) どんな三角形に対しても、V の異なる3点を頂点とする三角形で、
与えられた三角形と合同になるものがただひとつ存在する。

91 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 20:41:16
>>89
>V_α=V_β∪{x,y}
 
とさだめたときV_αの任意の異なる4元a,b,c,dでa-b=c-dを満たすものがないことの
保証がよくわからないんだけど。

92 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 20:56:59
ごめんなさい。{x,y} の条件に次を追加する必要があった。
(*) x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない。


V_β∪{x,y}から4点 a,b,c,d を取ったとき、a-b≠c-d を示す。

a,b,c∈V_β で d=x のとき。
c,x の距離が V_β の2点 a,b の距離と一致するので、x,y の定め方に反する。

a,b の距離が r_β (=x,y の距離) となることはないので、
a,b∈V_β で c=x,d=y は起き得ない。

a,c∈V_β で b=x,d=y のとき、
a-x=c-d より a-c=x-y となるので上と同様。

a,d∈V_β で b=x,c=y のとき。(この場合が抜けていた)
a,d の中点と b,c の中点が一致してしまう。

93 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 21:15:03
>>92
今度は
V_β中の2点で距離が r_β となるものがないとき
距離が r_β となるような2点 {x,y} で
(*)x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない
を満たす {x,y} が存在することの保証がいると思うんだけど。

94 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 21:54:04
V_β の2点の中点全体の濃度もΩより小さいので、それは容易。

95 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 22:02:25
>>94
濃度に関する議論なんかでホントにいえんの?ちょっと信じられないんだけど。
詳しく解説おながいしまつ。

96 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 22:07:33
x,y の距離は r_β と決っているから、x,y の組と x,y の中点は 1対1 に対応している。

97 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 22:11:50
>>96
それはわかってるけど。それで?

98 :97:2005/07/03(日) 22:18:11
あ、いやわかったかも。なるほど。いえてるね。

99 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 01:18:58
>>85解けた人いまつか?

100 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 07:23:54
>>89
>正の実数全体を整列させて {r_α} (α<Ω) とする。
選択公理でこんなことができるってのが、
この証明がすごく直感に反する理由か…

101 :100:2005/07/04(月) 07:33:58
>>100は要するに、
α<Ω とできるところがポイントなんだなって言いたかったわけで

スレ汚しスマン

102 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 11:47:40
連続体の濃度を持つ最小の順序数(始数)が存在するということだな。
連続体仮説とは無関係。

103 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 16:32:58
age

104 :132人目の素数さん:2005/07/10(日) 23:15:27
最近はレベルが高杉でついてゆけませぬ。
もうちっと低レベルなのを頼む。

俺は初代スレから居座って、もうほとんど
持ちネタを出し尽くしてしまった。

105 :132人目の素数さん:2005/07/10(日) 23:36:28
んじゃ、かなり低レベルな問題。

一辺の長さが1の正四面体をある平面に正射影したときの、射影の面積の範囲を求めよ。
同様に、一辺の長さが1の正八面体についても検討せよ。



前半は大学入試問題。頑張れ!

106 :132人目の素数さん:2005/07/10(日) 23:40:05
もう一つ。

ある立体はどのような平面で切っても断面が円(または点or空集合)になるという。
この立体は球である事を示せ。

ある立体はどのような平面に射影しても、円(または点or空集合)になるという。
この立体は球であるといえるか?

107 :132人目の素数さん:2005/07/10(日) 23:42:09
>>106 間違った。。。


後半修正。

ある凸な立体はどのような平面に射影しても、面積が一定であるという。
この立体は球であると言えるか?

108 :132人目の素数さん:2005/07/10(日) 23:44:27
さらに訂正・・・

誤) 射影
正) 正射影

109 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 00:44:05
>>105
前半は簡単だな。
Aをひとつの頂点としてAが光源にもっとも近い場合に限定して一般性を
うしなわない。Aに隣接する3面の法線と光線のなす角をα、β、γとする。
(ただし全部0〜π/2の間とする。)このとき影の面積はcosα+cosβ+cosγ。
結局この値のとりうる範囲をもとめればよい。これは動点Pがx^2+y^2+z^2=1、x,y,z≧0を
動くときのx+y+zのとりうる値の範囲。それは1≦x+y+z≦√3。

110 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 00:57:24
>>106
こっちも前半は簡単。
断面にあらわれる円の半径の最大値をRとし、断面が半径Rになる平面αをとる。
このときの円の中心をOとする。すると半径の最大性からOをとおる任意の平面で
切ったときの円の中心は常にO。よってとくにこの立体にPが属する⇔OP≦Rが成立
するので球。

111 :132人目の素数さん:2005/07/12(火) 00:14:19
>>109
もちつけ!

正四面体をABCDとして、AB、CDの中点をそれぞれM,Nとする。
線分MNに垂直な平面に射影したら面積いくつよ?
どう見ても、1/2にならんか?

112 :132人目の素数さん:2005/07/12(火) 00:36:23
>>106
矢野健太郎の問題

113 :132人目の素数さん:2005/07/12(火) 02:14:53
>>111
ああ、正四面体か、正6面体でといてた。

114 :132人目の素数さん:2005/07/15(金) 22:41:18
age

115 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 09:01:54
オリンピックの柔道でn人がトーナメントに出場した。
決勝戦が終わるまでに何試合行われるか答えよ。
ただし、敗者復活はや、再試合はないものとする。
(一応、数学者の本に載ってた問題のうろ覚えだが)

116 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 10:38:14
>>115
算数初心者ですか? 帰ってください!
算チャレでもやってなさいってこった!

117 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 11:03:47
トンチ問題だろう・・・答えはn試合。

118 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 12:16:04
3位決定戦か。

119 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 16:21:06
3位決定戦ってもっと複雑だったような。

120 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 16:41:40
>>115
(n-1)試合

121 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 16:42:31
>>115
理由、優勝者以外が負ければいいので
優勝者以外の(n-1)が負ける試合数は(n-1)よって(n-1)試合

122 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 16:59:58
>>106
後半は昔漏れがfjに質問した事がある。
塚ちんが答えてくれた。
高校の範囲で理解できる内容ではなかった。
そのときの話では>>107は未解決問題だったと思う。

123 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 17:23:22
>>122
詳細をおながいしまつ。

124 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 18:08:40
理由もぱっとでるし、n-1と簡単に答えられる。
が、それだけでは不十分。
わざわざ「オリンピックの・・・」とか言ってるのがポイント。
決勝の前に準決勝で敗れたもの同士が3位決定戦をするので、
n<=3のとき、n-1試合。
n>3のとき、n試合。

算数レベルなんだけれど、数学を知ってるとひっかかる・・・
という意味で面白かった。

125 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 18:21:03
>>106
の後半は矢野健太郎が留学中に遭遇した問題。
立体図形 K がコンパクトなら K の二点 x, y で、 d(x, y) = [K の直径] になるように取る。
この二点を結ぶ直線を含む全ての平面への射影を考えれば容易。

126 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 20:18:47
>>117
釣れた。ついでに吊って来い!

127 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 20:51:03
>>119
その通り。
準決勝進出者 (4人いる) に直接負けた者 (当然何人もいる) で敗者復活戦 A,B を行ない、
その勝者が準決勝の敗者 (2人いる) と三位決定戦を行なう。

そんなことも確かめていない >124 は ry)

128 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:26:15
でも敗者復活はないって書いてあるわけだが。

129 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:30:00
敗者復活はないので一位以外は一回ずつ負けるからn−1。


130 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:30:20
銅メダルは 2 人いるのだから三位決定戦もないんじゃない?

131 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:32:44
>>128
脳内オリンピックの話をしても意味がないわけだが。

132 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:33:25
>>107

平面ならルーローの三角形はどの直線に射影しても線分の長さは一定。
ルーローの四面体もどの直線に射影しても線分の長さは一定。
と言う事は反例があるかもな。

133 :132人目の素数さん:2005/07/17(日) 10:23:09
ちなみにルーローの四面体は等幅図形じゃないヨ。

134 :132人目の素数さん:2005/07/17(日) 11:09:20
↓ルーローの四面体改良版の当幅図形
http://www.geocities.jp/technopolismars4319/quasi_Rouleau/quasirurotetragon.html


135 :132人目の素数さん:2005/07/17(日) 12:36:20
等幅かどうかが問題じゃないだろ。

136 :132人目の素数さん:2005/07/17(日) 17:56:42
>>134
あ、それ俺も見たことある。アプレットでぐりぐりまわしてみると、たしかに等幅っぽいんだけど、このページを作った人も証明はしていないみたい。
2次元の等幅図形を対称軸で回転させた回転体が、3次元で等幅になることは知られてるんだけど、それ以外にも3次元の等幅ってありえるんだろうか。
直感的には無理っぽいんだけど…

137 :132人目の素数さん:2005/07/18(月) 00:08:58
(1)円に内接する六角形の向かい合う辺を延長すると、3つの交点ができる。
その交点は、常に一直線上にあることを証明せよ。
(2)円→楕円でも成り立つ。証明せよ。

円の中心をOとして、円状の点をA, B, ,,,Fとして、交点をI,G,Hとして、
IGベクトルとIHベクトルが平行として証明しようとしたけど、無理でした。
(2)は、まったく無理。
おながいします。

138 :132人目の素数さん:2005/07/18(月) 02:42:20
>>137
(2)は、(1)の結果を用いてよいなら、
楕円を適当に伸縮して円にする一次変換を考えれば終了。

139 :132人目の素数さん:2005/07/18(月) 07:20:12
パスカルの定理orブリアンションの定理でぐぐれ
一寸眠いので、、、

140 :132人目の素数さん:2005/07/18(月) 18:41:06
age

141 :137:2005/07/18(月) 19:58:39
なんだ。もう定理になってるのか。面白いと思ったのに。。。

142 :132人目の素数さん:2005/07/18(月) 21:03:52
>>141
宿題はよそで聞け、馬鹿!

143 :132人目の素数さん:2005/07/19(火) 09:06:31
京大の過去問はおもしろいの多いよな。

144 :132人目の素数さん:2005/07/19(火) 09:15:23
Eisensteinがそのまま出た時は適当すぎだと思ったが

145 :132人目の素数さん:2005/07/19(火) 22:30:38
1辺の長さが6である正方形ABCDにおいて
対角線AC,BDの交点をOとし,Oを中心とする半径2の円Oを描く。
辺BC上に BM = [   ] となる点Mをとったところ
線分AMは円Oの円周から全体の3分の1の長さの弧を切り取った。

146 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 02:44:09
>>145
直線AMと点Oとの距離が1であることを考えると(中略)
(27-3√17)/4 かな。

147 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 03:33:43
チェスの8クイーン問題のように、
将棋盤(9x9)に龍馬を互いの利きから外して置くことを考える。
1つの盤に最大いくつの龍馬が置けるか。また、その置き方は何通りあるか。



148 :145:2005/07/20(水) 13:10:31
おいらが3日掛かって考えた問題をあっさり解かれちゃったお。
さすが数学板、クオリティたかす。

149 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 07:44:28
>>147
竜王?竜馬=馬??
八方桂?



150 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 13:33:59
>>147
竜馬=成り角とすると
(右上から左下方向の)斜めのラインは17本だから
高々17個しかおけない。
このとき左上隅付近を考えると左上隅に置くと
次のライン(左から2番目の一番上、一番左の上から2番目)
には置けない。
右下隅も同様なので、高々15個しか置けない。
で、15個は実現可能。
そのパターン数は...難しそう。

151 :ずれてない?:2005/07/21(木) 17:30:41

馬□馬□馬□馬□馬  馬□馬□馬□馬□馬  馬□馬□馬□馬□□
□□□□□□□□□  □□□□□□□□□  □□□□□□□□馬
□馬□□□□□□□  □□□□□□□□□  □馬□□□□□□□
□□□□□□□□馬  馬□□□□□□□馬  □□□□□□□□馬
□□□□□□□□□  □□□□□□□□□  □馬□□□□□□□
馬□□□□□□□馬  馬□□□馬□□□馬  □□□□□□□□馬
□□□馬□□□□□  □□□□□□□□□  □馬□□□□□□□
馬□□□□□□□馬  馬□□□□□□□馬  □□□□□□□□馬
□□馬□馬□馬□□  □□馬□馬□馬□□  馬□馬□馬□馬□□


馬□馬□馬□馬□□  馬□馬□馬□馬□□  □馬□馬□馬□馬□
□□□□□□□□馬  □□□□□□□□馬  □□□□□□□□□
□馬□□□□□□□  □□□□□□□□□  馬□馬□□□□□馬
□□□□□□□□馬  馬□□□□□□□馬  □□□□□□□□□
□□□□□□□□□  □□□馬□□□□□  □□□□□□□□馬
馬□馬□□□□□馬  馬□□□□□□□馬  □□□□□□□□□
□□□□□□□□□  □□□□□□□□□  馬□馬□□□□□馬
□□□□□□□□馬  □□□□□□□□馬  □□□□□□□□□
馬□馬□馬□馬□□  馬□馬□馬□馬□□  □馬□馬□馬□馬□


□馬□馬□馬□馬□
□□□□□□□□□
馬□□□□□□□馬
□□□□□□□□□
馬□□□馬□□□馬
□□□□□□□□□
馬□□□□□□□馬
□□□□□□□□□
□馬□馬□馬□馬□

152 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 20:58:23
正解>151
オイラが10分かけて思いついて、2時間かけて解いた問題をこうもやすやすと解かれるとは・・・。

153 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 21:42:56
>>152
手計算で求まる?

154 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 23:04:22
プログラムで解きました。
数学的にはどう解くのかなぁ・・・ってことでこちらに書きました。
>150の高々15個という持っていき方は参考になったのですが、
どうして「15個置ける」となるのかは、頭が弱いのでわかりませんでした(−−;;

155 :132人目の素数さん:2005/07/23(土) 00:22:45
8クイーンも全数探索するわけだから、
頭の中だけで言えることは >>150 くらいと思う

156 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 11:51:30
長方形の折り紙を何回か折って正五角形にする事を考える。
ただしこの時に角と角を合わせるように折る必要は無いとする。
直線に沿って折るのならそれで良いとする。

折る回数が最小になるようにするには長方形をどのような形にすればよいか。

157 :132人目の素数さん:2005/08/02(火) 03:00:32
>ただしこの時に角と角を合わせるように折る必要は無いとする。
>直線に沿って折るのならそれで良いとする。

これの意味がよくわからん
角はかならず辺の位置に重なるように折らないといけないということなのかな?

158 :132人目の素数さん:2005/08/02(火) 22:06:15
>角と角を合わせるように折る必要は無い
対角線に沿って折らなきゃいけない、って訳では無いという事です

159 :156:2005/08/03(水) 00:33:18
うーん説明しにくい。
とにかく、普通に折るんならそれで良しって事で。

160 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 00:38:47
箸袋を結んで、
2ヵ所折れば正五角形になることは分かった。


161 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 03:12:31
???
4辺を作るのに4回折ればよい。(のこる一辺は元の長方形の一辺の一部)
ってのじゃおもしろい問題ってわけじゃなさそうだしなぁ‥

折り線を決定するのに許される手順を定義してくれ

162 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 03:24:59
正方形ABCDの ADの中点をM、BCの中点をNとする。
ABをDCに重なるように折る(折り目はMNになる)
次にMNがAB(DCにも)重なるように折る。

これは折る回数は2回なのか?それとも折り目は3本になるから3回なのか?

163 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 09:19:47
161で4回、162で2回って感じに考えて下さい。
ってあんまり上手く言えない以上この問題は取り下げた方がいいですね。

自分が用意した答えを言います。
AB=1、BC=tan54゜の長方形ABCDを用意して、
1:BCがACに重なるように折り曲げる。
2:ADがACに重なるように折り曲げる。
3:ACの中点をMとし、Mを通りACに垂直な直線をlとした時に
 直線lに沿って折り曲げる。
これで3回折るだけで正五角形が出来ます。

後は2回折るだけでは直角がどうしても残る事を言えばok。

これからは分かり難い問題は絶対書かないように気をつけますから
今回の事は許してください。

164 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 20:03:50
横 7.2cm×縦 1.9cm の紙を用意する。
四隅をABCDとすると、
(1) DがBCに重なるように
(2) AもBCに重なるように
(3) 頂点Bと頂点Cが重なるように折る。
一辺 2cmの正五角形ができる。
折り目は2本。
縦横の比率は、sin 72゚ : 3+2(cos72゜)

165 :163:2005/08/04(木) 09:18:33
もうごめんなさいね。出直してきます…

166 :132人目の素数さん:2005/08/09(火) 10:26:00
【難しい問題】
1+1=2をネタにした面白い問題を作れ

167 :132人目の素数さん:2005/08/09(火) 10:37:30
>>166
他スレへ行ってくれ

168 :132人目の素数さん:2005/08/14(日) 04:59:55
r(10+2r(5))=3.804226065181
19/5
175/46


169 :132人目の素数さん:2005/08/14(日) 11:34:42
将棋のルール上存在する局面で、着手可能な手の数が最大になる局面はどういったもので、着手可能な手は何通りか。

170 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 20:32:59
盤面王2枚以外残り全部手駒(王2枚は桂馬の打ち場所確保のため2二と2八ぐらいに置いておく)
と思ったんだけど5一龍置いとくだけでも銀金角飛打ちの4手引いても14手儲けか…

171 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 21:45:58
5二飛なら飛角金銀桂香歩打ちを差し引いても29手儲けだな

172 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 23:45:34
593手という局面を作った。
歩、桂、金はどこに配置しても、損をする。
香車は最下段に置くと最大の得をする。銀は2段目に置くと最大の得をする。
飛は1段目に置くと最大の得をする。自玉は2段目に置くと最大の得をする。
角はよく分かってないです。敵玉は1段目に置くのが最小の損で済むのですが・・・うーむ。
角と敵玉のところが上手く説明できないと、ダメですね。

飛□□□□□□□□
□□玉□銀□銀銀王
□□□□角□□□□
□□□□□□□□□
□□□□□□□□□
□□□□□□□□□
□□□□□□□□□
□□□□□□□□□
□香□香□香□□□
先手の持ち駒:残り駒全部
王は敵玉ね。

173 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 23:54:08
>>170
何で儲かるの?
他の開いてるマスへの飛車の打ち込みが消えるから明らかに損のような気がするけど。

174 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 00:25:00
>>173
どっちを打っても飛車打は飛車打。


175 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 00:28:52
>>174
そっか。納得。

176 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 00:30:00
飛車二枚で他の駒を使わないと
二枚持ち駒のとき八十一通りで
一枚1一で一枚持ち駒のとき百十二通り。


177 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 00:32:11
後、成りと成らずとかも考えないとダメなのかな。

178 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 12:29:44
>>7の問題が未だに分かりませぬ

179 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 21:24:35
>>178
大丈夫だ。俺もわかめ。

180 :132人目の素数さん:2005/08/19(金) 02:15:50
>>7はおかしいだろ。
点列(1/n,0,0)、n自然数でいくらでもとれるだろ。

181 :132人目の素数さん:2005/08/19(金) 02:16:57
しまった

182 :132人目の素数さん:2005/08/19(金) 13:29:03
立方体の各面の中心に点を置いて6個かな?

183 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 23:11:02
>3次元空間にn(>=3)個の点がありこの中から任意の3点を
>>選ぶと「いずれも」二等辺三角形になる。nの最大値を求めよ。
いずれもって入れとけばわかる問題だったかも。

184 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 03:21:38
>>7
一直線上に並んだ等間隔の3点も二等辺三角形と
みなしていいなら、8点いけるかな‥。

円 x^2+y^2=1, z=0 上に正五角形状に5点を取り、
あとは原点と(0,0,1)と(0,0,-1)の3点。

一直線不可なら「あとは」以降の1つがダメになるから7点。

俺はこれが限界。もちろん証明なんて無理。

185 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/21(日) 15:06:51
s,tはともに正の実数で、s<tとする。
川には地面に対して常に一定の流れがある。川にA地点とB地点を定める。
船は流れに対して常に同じ速さで動くものとし、
ボールは流れに対して速度が0とし、A地点にあったボールはしばらくするとB地点に到達するものとする。
船がA地点からB地点までまっすぐ進むのにsだけの時間がかかり、
船がB地点からA地点までまっすぐ進むのにtだけの時間がかかる。
A地点においたボールがB地点に到達するまでの時間はいくらか?

186 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 19:55:06
船の速さをx,流れの速さをy,AB間の距離をlとおく。

(x+y)s=l
(x-y)t=l
が成り立つ。
これをlとyについて解くと
y=x(t-s)/(s+t)
l=2xst/(s+t)
これより求める時間はl/yなので
l/y=2st/(t-s)
あってるかな。

187 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 20:04:04
ひょっとして185にまじれすした俺はカコワルイですか?


188 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 20:05:07
king気取りの基地外だってわかってるんなら問題なし

189 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 20:33:19
ある星の赤道上から東へ3000km進み、
北へ3000km進んで到達した場所は
出発地点から4000kmの距離があった。
この星が球状の場合、半径はいくらか?
高校卒業してたら解けるはづ

190 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 21:42:35
2n枚のトランプがある。
これを前半と後半のn枚づつの二つの山に分け一枚ずつ互い違いに
なるようにシャッフルする。このシャッフルを
何回繰り返すと元の状態に戻るか。nの式で表せ。


191 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/21(日) 21:47:02
talk:>>186-187 問題をよく読んでみよう。地面の勾配が激しく変化するときなどを考えて、答えは不定。

192 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/21(日) 21:47:41
「地面に対して一定」なのだから。

193 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 21:51:19
>>190
A1B1A2B2 → B1A2B2A1 → A2B2A1B1
何回でも繰り返せる



194 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/21(日) 21:52:03
talk:>>189 距離はどのように測るのか?

195 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 21:53:14
片側が黒い羊の話思い出した。

196 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 22:03:13
オレも

197 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 22:15:14
>>195
もっと詳しく!

198 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/21(日) 22:23:56
talk:>>197
一匹の黒い羊を見て三人が一言。
この国には黒い羊がいます。
この国には少なくとも一匹の黒い羊がいます。
この国には少なくとも一匹の、少なくとも片側が黒い羊がいます。

199 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 22:28:39
>>189解けねえ・・・

200 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 23:27:16
>>189
12000/π?

201 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 00:05:22
>>191
地面に対して一定だから勾配の影響はない

202 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 00:28:44
>>189
>>200であってるのか?

203 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 01:04:17
>>202
>>189じゃないけどあってんじゃね?
ちなみに距離の測り方は大円コースだろ、普通は。
要は大きさがひとしいベクトルOA,OB,OCがあって、
・OA,OBの張る平面とOB,OCの張る平面が垂直
・OA,OBのなす角とOB,OCのなす角が等しい
・OA,OCのなす角はOA,OBのなす角の4/3倍
ってことでしょ。

204 :199:2005/08/22(月) 02:26:27
式は立つんだが全然解けない。本当に12000/πか?
どこで間違えたのやら・・・

205 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/22(月) 08:44:46
talk:>>201 場所によらずに一定ならそれでいいが。

206 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 13:06:02
球面三角法で>>189は解く

207 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 13:59:11
次の中で実際にあるポストは
1月・2火山・3海中

208 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 14:16:22
>>207
3.海中

今は昔、TVで見たよ。

209 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 14:41:48
あったり〜♪
今は昔ってなに?

210 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 15:52:00
c(3)(c(3),s(3),0)+s(3)(0,0,1)=(c(3)^2,c(3)s(3),s(3)).
c(3)^2=c(4).
(c(2)c(1)-s(2)s(1))^2=2c(2)^2-1.
c(2)^2(1+c(2))/2-c(2)(1-c(2)^2)+(1-c(2)^2)(1-c(2))/2=2c(2)^2-1.
2c(2)^3-2c(2)^2-3c(2)/2+3/2=0.
(c(2)-1)(2c(2)^2-3/2)=0.
c(2)=1,c(4)=1/2.


211 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 18:21:49
>>206
球面三角法とわ??age
>>207-209
な――ぜ――じゃ――??age
>>210
な――に――も――の――じゃ――??age

212 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 18:53:55
http://image.blog.livedoor.jp/thinkdeep/imgs/3/4/341da381.jpg

こいつの謎を解いてくれ
俺にはどうしても分からん・・

213 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 19:13:22
0と1の数字がランダムに並べられた十分大きな乱数表を考える。
乱数表では「・・・010101・・・」と0,1が交互に並ぶよりも
「・・・001111000・・・」のように連続して団子になっているところが多い。
このような0や1の団子の大きさが平均してどれほどかを考える。

(1)乱数表から無造作にひとつ数字を選び、その数字を含む団子の大きさを量る。
(例)…011110・・・の左から3番目の1を指定した場合、団子の大きさは4
   大きさ1の団子も考える。このように団子を選ぶとき、その大きさの期待値を求めよ。
(2)乱数表から無造作にひとつ数字を選び、その数字を含む団子の"右隣の"団子の大きさを量る。
   その期待値を求めよ。

214 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 19:14:09
>>212
直角3角形に見えて、実は斜辺が折れ曲がっている。

215 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 19:31:24
>>213
えらんだ数字とおなじ数字が右側につづく数をあたえる確率変数をR、
えらんだ数字とおなじ数字が左側につづく数をあたえる確率変数をLとおく。
P(R≧n)=(1/2)^n、P(L≧n)=(1/2)^nであるから
E(R)=P(R≧1)+P(R≧2)+P(R≧3)+・・・=1/2+1/4+1/8+・・・=1
E(L)=P(L≧1)+P(R≧2)+P(R≧3)+・・・=1/2+1/4+1/8+・・・=1
E(団子の大きさ)=E(L+1+R)=3
E(その数字を含む右隣の団子の大きさ)=E(1+R)=2
 
あってる?

216 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 19:58:28
>>212
http://www.uploda.org/file/uporg175420.png

太い線で描いて、見た目を誤魔化しているところがミソ。

217 :215:2005/08/22(月) 20:00:11
あれ?
>その数字を含む団子の"右隣の"団子の大きさを
って団子のその数字から右側の部分じゃないか・・・でなおしてきまつ。

218 :215:2005/08/22(月) 20:03:32
“右隣”の団子の大きさをあたえる確率変数をXとおく。
P(X≧n)=(1/2)^(n-1)であるから
E(X)=P(X≧1)+P(X≧2)+P(X≧3)+・・・=1+1/2+1/4+・・・=2
E("右隣の"団子の大きさ)=E(X)=2
かな?

219 :213:2005/08/22(月) 20:18:56
自分の考えた答えも
(1)3
(2)2
ですのであってます。
選び方で期待値が異なるので面白いなとおもって出題しました。

220 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 23:53:35
>>212
傾き3/8と2/5の斜辺をつなげて直線になるわけないじゃん!!!って問題。

221 :189:2005/08/23(火) 00:48:56
>>200
あたりっす。やっぱ簡単でしたね。

222 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:11:56
>>221
いや結構苦労したんだが
途中
cos^2(3000/r)=cos(4000/r)となって結局cos(1000/r)=xとおいて6次方程式解いたんだが
簡単なやりかたがあるのかな?

223 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:17:52
>>221
自分が問題考えたときは、三角関数の式を色々いじってたら
3倍角の公式がでてきてちょっと面白いかもと思って書いてみた。
「球面三角法」なるものの存在はさっきこのスレ見て知ったorz

224 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:18:36
× >>221
>>222

225 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:20:50
>>223
あれ自作問題だったのか、それはすごいわ。
球面三角法は俺も知らんかった


226 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:26:56
すみません。大学生ですが質問してもいいですか?

227 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:40:38
>>226
質問は質問スレに行け!
言われないと分からんのか、馬鹿かおまえは!

228 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 01:48:32
>>227
…スレ違い失礼しました。

229 :1:2005/08/23(火) 10:53:21
てすと

230 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 11:42:10
6組のバカップルを3つのカラオケボックスに男女2人ずつ放り込む。
ムカつくので、どのバカップルも同室にならないようにしたい。
何通りの分け方があるか?ただし、部屋の区別はしない。

231 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 12:11:01
>>230
265通り。
一般にn組なら n!(Σ[k=0 to n](-1)^k/k!)通り。

232 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 12:31:50
>>231
完全順列の確率の公式ですか?
公式は正しいですが、この問題の答えはそれでいいのですか?

233 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 12:40:08
>>231
チンコ洗って出直して来い!

234 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 12:43:04
>>233
あぁ勘違い。逝ってくる。

235 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 12:49:30
900通りか。

236 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 12:54:09
>>235
違うと思います。
なんか、こっちまで自信がなくなってきました…

237 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 13:01:18
>>234
答えを書こうか?

   r;;;;;ノヾ        
   ヒ‐=r=;'     ∬   3分間待ってやるッ!
   'ヽニ/  っ━~~   
 _と~,,  ~,,,ノ_  ∀   
    ミ,,,,/~). │ ┷┳━ 
  ̄ ̄ ̄.じ'J ̄ ̄| ┃
  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ┻

238 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 13:01:30
>>235
あぁ、ごめんごめんorz
150通り?

239 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 13:09:01
>>238
正解です。

おまけ。
6組のバカップルを3つのカラオケボックスに男女2人ずつランダムに放り込むとき、
どのバカップルも同室にならない確率はいくらか? ただし、部屋の区別はしない。

240 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/23(火) 18:41:54
EをR^3の中の体積確定集合かつ有界閉集合(ジョルダン可測かつ有界閉)で内点を持つとする。
fをE上リーマン積分可能で、常に正または0となる(この条件は別にいらないが)関数とし、内点をもつ適当な閉集合F⊂Eを選ぶとF上でのfの積分が0にならないとする。
密度分布がfとなっているEの重心をgと置く。
AをR^3上の線形変換で、退化せず、特異でないものとする(つまり一対一上への写像)。
A(E)={x∈R^3|∃y∈E,x=Ay}の重心はA(g)であることを証明せよ。

241 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/23(火) 18:44:31
追加:[>>240]ではA(E)の密度分布がfAであるときの重心を求める問題。

242 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 02:40:46
>>239
1/3?

243 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 02:41:35
あ、間違えた。 3組の‥だと思ってた

244 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 03:09:52
>>243
もちろん 1/3 じゃないぞ。

   r;;;;;ノヾ        
   ヒ‐=r=;'     ∬   3分間待ってやるッ!
   'ヽニ/  っ━~~   
 _と~,,  ~,,,ノ_  ∀   
    ミ,,,,/~). │ ┷┳━ 
  ̄ ̄ ̄.じ'J ̄ ̄| ┃
  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ┻

245 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 03:15:00
1/9。


246 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 03:26:27
             (⌒).(⌒)
      (⌒) /.:/___! :| (⌒)    >>245
       }: レ;{.:〈= =j.::ト/.:/_) (⌒)    
‐ 、    ,ノ = ≡ィ=ミ ミ :/.:/:、! /.:/    よーしよし、いい子だ
`ヽヽ⌒〈: ミ ミ ミ: >べミ.ミ ミ ミ:Y.:/ /¨ヽ
   \`ヽi〜/,イフノ ミ ミ ミ ミ i/,//¨  厂 ̄ ̄ ̄`ヽ
-‐=ニ、 ヾj} 〈_ノ' ` ヾ-'⌒>'Y´/    〈 3個か !? |
-―- 、\jリ,/    / `! y<,.} j'´   =@_,厶_  _____,ノ
┤イ ト丶∨    ノ / 、},。)j/  ┌'´ ̄ ̄´  ` ̄`'┐
┬ 卜 イ ! }  // _ "¨ ン′  | 甘いの3個    〉
┬ ┤ト 」ハ{/´  fエl ,. '"|    <  ほしいのか? |
L.卜 ┬ /\.〉   iノ┴'‐--'     └、______,r‐'
\_. イ   `ー'´      
イへ./    , ---、_____ヽ丶   、__,/ ̄ ̄ ̄ ̄`'ー┐
}-‐'´    _ノ_,入_`ブ┐    \  3個…       ヽ
 ̄`7ー'7´/  ノ  jレーく__) ))   | イヤしんぼめ !! |
  {l __{ ..:\__┌<_>‐'´        \_______,/
_____ヽ __,>-‐'´ `´___ ____ ┐7
---‐'´     /___/| ̄又又>|
二ヽ ̄ヽ〜'ニ三ヾ⌒ ̄ヽ、又>'´|
  }}  └ =ニ~~}}  `ー--く_|_/
==' _ -‐ ___,ノ、二._ーァー'
___,. -一'¨¨ ̄  `'ー‐'´ ̄

247 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 03:45:00
247

248 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 04:53:08
1/15

249 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 05:11:53
>>248
馬鹿

250 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 14:42:01
次の式を満たす整数(a,b)の組をすべて求めよ
   a^2 - 2b^2 = 1

251 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 16:47:32
>>250
マルチすな、蛆虫!

252 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 02:26:47
age

253 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 02:22:32
数列{f(n)}はf(0)=0,f(1)=1,f(n+1)=f(n)+f(n−1) (n=1,2,3…)を満たす。
A={f(i)|i=0,1,2,…}とおく。以下の問いに答えよ。
(1)B={Σ[i=1〜∞]f(xi)|自然数列{xn}は有限項を除いて0}=Σ[i=1〜∞]Aとおく。B=N∪{0}を示せ。
(2)C={Σ[i=1〜∞]f(xi)|自然数列{xn}は有限項を除いて0であり、xi=xjならばxi=xj=0}
=(Aの異なる元を有限個足した数全体の集合)⊂Bとおく。C=N∪{0}を示せ。
(3)自然数mに対して、Bm={Σ[i=1〜∞]f(xi)|自然数列{xn}は、第m+1項目から全て0}
=Σ[i=1〜m]A ⊂B とおく。集合系{Bm}には極限集合が存在し、lim[m→∞]Bm=B と
なることを示せ。また、Bm=N∪{0}を満たす自然数mは存在するか?

254 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 04:10:26
age

255 :253:2005/08/31(水) 12:19:00
ちょっと表現に不都合が…
>>253に出てくる「自然数列{xn}」は、全て「非負整数列{xn}」に置き換えて下さい。

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