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代数学総合スレッド part3

1 :132人目の素数さん:2005/05/17(火) 06:31:46
代数に関する話題全般のスレッドです。

宿題の丸投げは止めましょう。


前スレ
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/

前々スレ
代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/

2 :132人目の素数さん:2005/05/17(火) 06:48:04
自然法則が多様体のトポロジーなら、新しい発見は出し尽くしたのだろうか?

3 :132人目の素数さん:2005/05/17(火) 16:32:48
スレ立て早すぎ埋めるな

4 :サムエル・ワンジル:2005/05/19(木) 11:58:44
              ,. −===ー- 、_ _
           ,. ' ´            丶、
         ,.r'   /             \
        ,ィ//l /              ヽ `、   
       /ミ///  /    /   n     ヽ ヽ ',
       /ミ///:  / / //  / l l  .l l  } i l  ヽ
       lミlトl=l:: / / //  / / l   | l  l l l   l   /
       j==|=l: :/ / // / / l  l |  | l |   |  <  世界最速!サムエル・ワンジル様が4様をゲットだあぁぁぁ!!!
      《(@)}ノ: |//‐/‐!/l/!/ /  //l|__/ / / l  l   \
       lー'lξソ_,.r==ト`i! リ /イ/三レ'l|/ / l |  l
       l:: |ξ ヽ {:':::::リ `    ' ,.イ:':::::} ヾレi l l  |
       |:: lξ iヘ,. ''=‐'       !;;__ノ ハリ | l _|
       l:: |:ξt6l ///    ,   /// シ´〉 / /l |
       |_:: l::ξlート、     ‘      /-'l //::l| l 
       |:: !::ξl:::l::::ヽ、   ‐‐    ィ':::::ノ //::::|l /
       `ィ!|:: l::::|:::::}. ` 、__ ,. イ:::::}::::/ //::::/!/
        i!ヽ、|::::ト、:j      |;;;;l;;/;;/ /'´ー.'|/
      _   ー`ノ       l\__//,_
      /:::::\―/        ` `ー-〒コ ト、
     ノ:::::::::::::`ヽ、_, ―‐、,,,  ,.ー−‐l::l Y::ヽ、
   ,.-'::::,へ、::::::::::::`ヽ,_          /:/  l::::::::ヽ=、
   /::::::/ : :`ヽ、::::::::`ヾ、、      /:/__|::::::::::i:::〕〕、
  ./::::::/ :  :   `ヽ、:::::::ヽ,`ヽ、  / ̄`ヽヽ\::::::l|:::|: :ヽ
 /::::::/   :    :  `ヽ、::::`ヽ,-‐'‐‐==、 l:::|::::::\i!::l : `、
 |:::::/   :   :      `ヽ:::::⊂ニニニ、ー |::|:::::::::::\l : : :ヽ
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5 :132人目の素数さん:2005/05/23(月) 22:00:56
Uを単元群とするとき、a+nZ∈U(Z/nZ)⇒gcd(a,n)=1
を証明するために、その対偶 「gcd(a,n)≠1⇒a+nZがU(Z/nZ)
の元でない」を証明しようとしているのですが、どのように示せばいいのか
よく分かりません。途中までは証明方法を考えてみたのですが、このような
方法で合っているのでしょうか?下に書いておきます。
gcd(a,n)=d (d≧2)とすると
ax+ny=d (∃x,∃y∈Z)
Zは単項イデアル環であるから
aZ+nZ=kZ (∃k∈Z) k>0とする
ax+ny∈aZ+nZ=kZ
∴ax+ny=kt (∃t∈Z)

このようにしたのですが、とりあえずこのようなやり方で合っているのですか?
宜しくお願いします。

6 :132人目の素数さん:2005/05/23(月) 22:02:51
ま た お ま え か

7 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 08:32:21
>>5は含まれていない事は自明
Q E D

8 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 08:32:35
>>5についてですが、Z/nZ={0,1,2,・・・n−1}
でgcd(a,n)=dとして 2≦d≦n−1とすると,
ax+ny=d (∃x,∃y∈Z)となるのですが、
ここからどのように a+nZがU(Z/nZ)の元でないことが
分かるのですか?

9 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 08:54:25
d は n を割り切るだろ。

10 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 09:03:50
わからないならn=100ぐらいまで調べてみろ

11 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 14:30:23
>>8

式の意味するところを、普通の言葉で表現してみればわかる。

12 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 15:50:01
小学生だったころ>>5が成り立つことに気づいた。


13 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 22:20:28
多項式の既約性の判定ってどこまで研究されてんの?

14 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 22:22:48
>>13
係数環(体)はZ(Q)でいいの?

15 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 22:28:53
ちなみにあたえられたZ係数の多項式がZ[t]で既約か可約かを判定する
アルゴリズムは存在する。なんかの本にのってた。簡単。

16 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 22:52:40
>>15
n次式はn+1箇所の自然数における値で一意的に定まるから、n+1
個の自然数を任意に取って、fにそれらを代入したときの値の約数を値
に持つ多項式は有限個しかない。これらが整数係数でfを割り切るかど
うかをしらみつぶしに確かめればよい。

17 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 22:54:34
一応より一般のK[X,Y,Z,,,]のKは体の方が都合がいいかも でもZ[X]での既約性の判定あるんだ?しらんかった

18 :132人目の素数さん:2005/05/24(火) 22:59:51
>>9
ということはnはdの整数倍だからn=dt(t∈Z)とおける
から ax+ny=n/t (∃x,∃y∈Z)
a+nZがU(Z/nZ)の元でないことを示すには
(a+nZ)(b+nZ)=1+nZ,つまりab+nZ=1+nZ
を満たすbが存在しない
つまりab−1∈nZを満たすbが存在しないことを示せばいいと
思うのですが、ab−1=nk(∃b,∃k∈Z)とすると
ab−nk=1よりdsb−dtk=1 
よってd(sb−tk)=1でd≧2でs,b,t,kは整数だから
不適だということで良いのですか?


19 :132人目の素数さん:2005/05/25(水) 13:18:11
ラグランジュやルフィニが、アーベルやガロア以前に方程式の研究から
群論の芽生えとなるような研究をしていたそうですが、
どんな感じだったのか知る方法はありますか?
(論文とか、本とか)

20 :132人目の素数さん:2005/05/25(水) 13:25:16
イカサマ賭博師カルダーノがポーカーをしていたとき、かき集めたチップを思って考えた。
「そういえば・・・これ」

21 :132人目の素数さん:2005/05/25(水) 15:08:30
会話形式の厚めの本があったな。
タイトル忘れたけど。


22 :132人目の素数さん:2005/05/25(水) 15:10:34
>>21
もっとくわしく!

23 :132人目の素数さん:2005/05/25(水) 17:29:07
21じゃないけどたぶん↓これのことを言ってるんだろう。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/476870011X/qid=1117009545/sr=8-10/ref=sr_8_xs_ap_i10_xgl14/250-8549353-3329066

今確認したら四方堂にあるな。


24 :132人目の素数さん:2005/05/25(水) 18:59:38
ラグランジュって言い難い名前だよね〜
ルジャンドルと何となくかぶってるし。

25 :132人目の素数さん:2005/05/26(木) 08:04:04
ホモロジー代数の良書教えてください。
河田を読んだのですが、層とスペクトル系列のありがたみがいまいち分かりませんでした。

26 :132人目の素数さん:2005/05/26(木) 09:38:01
>>25
tohoku

27 :132人目の素数さん:2005/05/26(木) 11:29:18
大学の授業で環RとRの部分集合Iに対して,IがRのイデアルであること
の定義を(@)I+I=I,−I=I (A)RI=I,IR=I
と教わったのですが,例えば(@)のI+I=Iというのは∀x∈I,∀y∈I
⇒x+y∈Iという意味だと思うのですが、I+I=Iと書かれている以上は
Iの任意の元を2つとってくるとその和はI全体に写っているということなの
ですか?つまり∀a∈Iに対して,∃x,∃y∈I,x+y=a のことで
すか?

28 :132人目の素数さん:2005/05/26(木) 13:00:29
>>27
その通り。
まあx=a,y=0とすればいいわけで。

29 :132人目の素数さん:2005/05/26(木) 13:14:47
>>25
スペクトル系列に関しては代数幾何スレに今、俺が書いてる
ものが参考になるだろう。まだ始まったばかりで長くなる予定。

30 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 21:46:47
Rを可換環,IをRのイデアルとするとき「R/Iが体⇒IはRの極大イデアル」
であることを示そうとしているのですが、途中で行き止まってしまいました。

R/Iは体だから
 ∀a+I≠I (a∈R) に対し
(a+I)(b+I)=1+I (∃b∈R)
1+I=ab+I
⇔1−ab∈I
よって 1−ab=α (∃α∈I)
1=α+ab
IがRの極大イデアルではない、即ちI⊂≠J⊂≠RとなるイデアルJが
存在すると仮定する。

 背理法で示せばいいとは思うのですが、ここからどのように示せば良いの
ですか?
よろしくお願いします。

31 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 22:18:19
>>30

I⊂≠J⊂ R なるイデアルJが存在するとする。
R/I は体だから、0≠ j ∈ J/I ⊂ R/I は R/I において逆元 J’ を持つ。
つまり 1 ∈ J/I 則ち J/I =R/I よって J = R

省略があるかも。

32 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 23:25:00
>>30
>>31と同じだけどaをa∈J−Iととれば>>30から1∈J。


33 :132人目の素数さん:2005/05/30(月) 08:41:11
>>31
ありがとうございます。1∈J/Iというのはどのようなことから分かるのですか?

34 :132人目の素数さん:2005/05/30(月) 15:59:32
>>33

R/I は体だから j 0≠ j ∈ J/I ⊂ R/I は R/I において逆元 j’ を持つ。
j の代表元は ∈ J 、J はイデアル故 jj’ ( =1 ∈ R/I ) の代表元 ∈ J 、
即ち、 J = R

35 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 09:52:17
今代数の最前線っていうと何やってるの?

36 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 10:18:49
現在、三次方程式を出題して解きあう競技がブームです。

37 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 10:35:29
7.博士号を取得しても職がなく、借金(奨学金)を返すことさえできない

もし、真剣に研究者を目指して、20代のすべてを研究に捧げ、それなりの成果をあげた
にも関わらず、7.のような状態に陥ったとしても、決して希望を捨てないで欲しい。
統計を取ったことはないが、このような状況での自殺者が結構いるのではないかと思う。
この状況は、1990年前後の受験戦争よりも、はるかに厳しい生きるか死ぬかの戦争で
ある。しかし、「勝ち負け」にこだわりすぎて、本当に死なないで欲しい。
(2004年12月14日の日記より)
http://www.geocities.jp/arachan4553/Report/Ph.D.htm

38 :132人目の素数さん:2005/05/31(火) 10:36:04
実は、現在の日本で30代半ば以降になって経済的・精神的余裕が得られた独身男性にとって、
結婚相手は選り取り見取りの状況である。なぜなら、現在20代の女性の結婚願望が高まって
いる上、外国人(中国人、フィリピン人等)の美女達は、このような日本人男性と結婚した
がっているからである。40代や50代でも、20代の美女と結婚することは珍しくない。ITの
普及等で出会いの機会が拡大した現在、30代半ば以降の独身男性の中には、このような状況を
楽しんでいる輩が少なくない。(2005年1月8日の日記)
http://www.geocities.jp/arachan4553/Report/Ph.D.htm

財団法人の研究所に就職した同期のD君だけどね。
今日の日記に書いた女性を手込めにして楽しんで
いる輩も、実はD君を念頭に置いている。
2005年1月8日 (土) 01時36分28秒
http://geocities.yahoo.co.jp/gb/sign_view?member=arachan4553

39 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 21:28:59
F_2=Z/2Z={0,1}
F_2[x]を2元体F_2上の多項式とするとき
4元体F_4=F_2[x]/(x^2+x+1)F_2[x] を求める問題なのです
が、ヒントの所に計算方法として、2=0,x^2+x+1=0
即ち x^2=−x−1,またx^2=x+1 と書かれているのですが、
なぜx^2=x+1となるのかよく分かりません。x^2−x−1=0
のことだと思うのですが、なぜx^2−x−1を0として計算して良いのです
か?
よろしくお願いします。

40 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 21:33:14
群環体、イデアル、単項イデアル、整域・・・などが異常にわかりやすい参考書知ってる方いらっしゃいましたら
教えてください。

41 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 21:45:44
>>39
>4元体F_4=F_2[x]/(x^2+x+1)F_2[x] を求める問題なのです
 
F_4とF_2[x]/(x^2+x+1)F_2[x]が同型であることをしめすって問題?
なら
 
x^2+x+1がF_2[x]で既約なので一般論からもでるけどL=F_2[x]/(x^2+x+1)F_2[x]
が4つしか元ないから逆元の存在をしめす方針かな?
ならx+(x^2+x+1)F_2[x]を(つまりxを代表元とする類を)yであらわすとして
LはK=F_2上の基底として1,yがとれる。(実際Lの元がこの2つの元のK線形結合でかけるのは
簡単にしめせる。)よってLの0でない元は1,y,y+1の3つしかない。全部に逆元があることを
しめせばよい。最初の元(正確には1+(x^2+x+1)F_2[x])は単位元なのでよい。
y(y+1)=-1=1(F_2は標数2)なのでy,y+1は互いの逆元になっている。
 
ちなみに
 
>なぜx^2−x−1を0として計算して良いのです
>か?
 
F_2上の多項式だからx^2−x−1とx^2+x+1はF_2(x)の元として等しい。


42 :禿藁:2005/06/02(木) 21:31:38
【ついに立つ】上野健爾スレッド【親玉・本丸】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117714255

43 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 22:15:10
>>40
松村の「代数学」
朝倉書店から出てる「環と体」なんてのも良さそうだった
あとM.ArtinのAlgebraもわかりやすいと言う評判(厚いけどね)

44 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 03:43:42
>>43
今読んでるのですが、松阪の代数系入門なんかはどうですか?

というか、杉浦の解析入門みたいな超定番の入門の本って何ですか?

45 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 06:36:45
ブリブリ

46 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 16:11:52
Kを体,f(X)をK上既約なモニック多項式とするとき
K[x]/f(X)K[x] は体であることの証明で
∀g(X)+f(X)K[x]≠f(X)K[x] をK[X]/f(X)K(X)
の元とすると,
f(X)の約数は1またはf(X)のいずれかであるから
gcd(g(X),f(X))=1またはf(X)
・・・・・
このように書かれているのですが、2とか3とかはf(X)の約数ではない
のですか?
f(X)=2・(1/2)f(X)とはなぜ考えられないのですか?

47 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 16:40:13
>>44
>代数系入門
定番でしょ

48 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 17:04:09
>>46

無意味だから。基礎体 K の元は約数、因数の対象とはしない。
その部分を簡明に扱うためモニックを対象にしている。

49 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 22:17:21
4年前ぐらいにあったwell-definedスレより

>Gを群、Hをその部分群とする。a,b∈G、*はGの演算、b^(-1)は逆元
>a*b^(-1)∈Hのときa〜bとすると、この関係〜は同値関係になる。
>この同値関係による商集合をG/Hするとき、Gの演算から誘導される演算が
>G/Hでwell-definedであるためには、HがGの正規部分群であることが必要十分。
>つまり、Hが正規部分群でない部分群だとすると、誘導される演算はG/Hでwell-definedではない。

>G/Hでwell-definedであるためには、HがGの正規部分群であることが必要十分。
>つまり、Hが正規部分群でない部分群だとすると、誘導される演算はG/Hでwell-definedではない。

ここは何で?
aH=Haとして[x*y]=xH*yH=xHyH=xyHH=xyH=[xy]が関係してる?
(まず何で自分の見るwell-definedスレは荒れているんだろう?)

50 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 22:43:44
>>49
xHyH:=xyH (つまり類xHと類yHの積を類xyHと定める。)がwell-definedであるためには
この右辺が左辺のx,yの選択によらないことが必要十分。つまり
xH=zH、yH=wH⇒xyH=zwH (∀x,y,z,w)
がいえることが必要十分。これを仮定するとHが正規部分群になる。
実際g∈G、h∈Hを任意にえらぶとき
x=gh、y=g^(-1)、z=g、w=g^(-1)とさだめるとxH=zH、yH=wHなので仮定より
xyH=zwHであるがxyH=ghg^(-1)H、zwH=Hなのでghg^(-1)∈H。
逆にHが正規部分群なら上記定義はwell-defined。それはxH=Hxが任意のxについて
成立することから容易。

51 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 21:12:51
どなたかこれわかりませんか?
x^3y^3=17
(x、yは正の有理数)

52 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 21:15:40
↑間違えました
(x^3)+(y^3)=17
(x、yは正の有理数)です

53 :132人目の素数さん:2005/06/13(月) 22:30:44
ついでに
(x^3)-(y^3)=17
(x、yは正の有理数)もどう?

(x=18/7,y=1/7)

54 :132人目の素数さん:2005/06/14(火) 16:08:39
K:代数体でK→Cの体準同型の数は[K:Q]となるというのがわかりません。

55 :132人目の素数さん:2005/06/14(火) 16:52:28
>>54

準同型は単射になるのは解るか?

56 :132人目の素数さん:2005/06/14(火) 18:14:47
>55 わかります、そもそも疑問なんですが、代数体がガロア拡大になってなかったら、自己同型の数は拡大次数以上だと思ってました

57 :132人目の素数さん:2005/06/14(火) 18:47:13
>>56

自己同型はどのような物になるか?
K→C 或はその Image(体) がどんな物かを考えろ。

58 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 09:17:13
KがQ上の多元環だったらKからCへのQ−準同型の個数はどうなる?
これが難しいならKを可換としてもいい。

59 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 16:16:56
多様体・イデアル・グレーブナ基底を勉強しようと思うんですが、
いいテキストや参考書を教えて下さい

出来たら難易度
初心者向け:
比較的普通:
レベル高い:
の3段階でお願いします

60 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 17:03:19
つ【ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/】『代数』
ただしグレブナー基底のことについては分からず、許せ

61 :132人目の素数さん:2005/06/19(日) 14:30:56
Rが整域ならば,R[x]も整域であることの証明ですが,
0≠∀f∈R[x],0≠∀g∈R[x]に対して,
f=a_0+a_1x+a_2x^2+・・・・+a_nx^n (a_n≠0)
g=b_0+b_1x+b_2x^2+・・・・+b_mx^m (b_m≠0)
とすると
(f・gの最高次係数)=a_n・b_m≠0 (∵0≠a_n∈R,0≠b_m∈R
でRは整域だからa_n・b_m≠0)
よってf・g≠0だからR[x]は整域である。
このように考えたのですが、正しいでしょうか?

62 :132人目の素数さん:2005/06/19(日) 14:43:19
>>61
ちょっと変

f≠0だから、あるkが存在して、a_k≠0
g≠0だから、あるlが存在して、b_l≠0

a_kx^k*b_lx^lであとは同じ議論

63 :62:2005/06/19(日) 14:52:19
ごめんなさい 俺が間違えてた


無視してくり

64 :132人目の素数さん:2005/06/19(日) 15:20:18
>>61
そうすると>>61の証明法で正しいですか?

65 :132人目の素数さん:2005/06/19(日) 15:29:28
>>64
おっけーい!!

66 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 05:02:19
未知数について。

未知数として与えられた x などの文字は様々に値を変える数である と見なされて変数と呼ばれる。あるいは特定の値を持つわけではない という意味で不定元などともいう
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

数学の方程式などで、値がまだわかっていない数。ふつうx・y・zなどで表す。「―を求める」
ttp://dic.yahoo.co.jp/bin/dsearch?p=%A4%DF%A4%C1%A4%B9%A4%A6&stype=1&dtype=0&dname=0na

これって両立するの?

67 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 05:40:31
別にどっちも間違ってないと思うが.
厳密な定義があるわけじゃないし.

68 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:06:24
んー、でも
「特定の値をもつわけではない」と
「値がまだわかっていない」というのは明らかに矛盾する気がするんだが・・・
後者は値が「わかってない」だけで特定の値が存在すると考えてるんじゃ?

69 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:09:59
「特定の値を持つわけではない」の変数のことであって
未知数のことをさして言っているわけじゃないから.

xはある特定の値の筈なんだけど,それを敢えて動かして
考えてみよう,ということでしょ.あまり細かい事いってもしょうがないけど.

70 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:17:37
ん、それも考えた。
未知数というのはあくまで値が未知である数の事で方程式を解けばその値が求められる、
ただし値の代入などを利用し、変数とみなして解を考えることもできる―みたいな。

だけど
「文字 x を含む論理式 P(x) に対し、x に値の代入を行ったとき P(x) が命題になるならば、論理式 P(x) は変項 x に関する命題関数であるという。

命題関数 P(x) が等式で与えられているとき、その命題関数 P(x) のことを方程式と呼び、変項 x を変数、P(x) が真となる代入 x を方程式の解と呼ぶ。」
これを見て思考がバグった。それともこの「変項x」は未知数とは考えないの?

71 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:25:43
「未知数と解」が
「ある条件を満たす未知の定数とその正体」、なのか
「変数と関係式を成り立たせる代入」なのか
それともその両方どっちでもいいのか。
中学・高校の教科書・参考書だと前者みたいな書かれ方が圧倒的なんだが(未知数と変数
は完全に区別されて書かれている)大学レベルの代数学の参考書見るとどれも「未知数は
変数、解は式を成り立たせる代入」みたいな事がかかれててこんがらがってます。
両方をうまく説明した文献がほしい物理学科一年生。

72 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:28:41
なぜ?普段やっていることを厳密に書いただけなのに.
「変項」は述語論理の用語で,厳密な定義があるけど,
「未知数」は単に数学を考えるときに便利な用語というだけ.
頭の中では変項variable xを未知数unknownと考えているけど,
別に「未知数」の定義がなくたって,形式的に数学を書き下すことは出来る.

73 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:31:14
>>71
どっちかがもう一方よりまずいようなことは
ないと思うけどなあ

74 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 06:59:06
<<「変項」は述語論理の用語で,厳密な定義があるけど,
<<「未知数」は単に数学を考えるときに便利な用語というだけ.

なるほど、知らなかった有難う調べてみます。

<<どっちかがもう一方よりまずいようなことは

あ、いや、式だけをみれば勿論そうなんだけど。
ただもっと具体的な例で・・・そうだな、
「ある自然数xを4倍して3を引くと17になった」ということを
4x-3=17
と表したとき、xは「ある自然数」―「ある条件を満たす未知の定数」として与えられてるのに、
それを「変数」と考え(られ)るのがよく解らなくて・・・
文字同士の関係式、例えば
x=y+1
なんかは純粋にxとyを何数と捉えるかで解釈が変えられる(片方を定数、もう片方を未知数と見て解くとか、両方変数と見て関数とみなすとか)のが解るんだけど、上の例みたいな場合は
xは未知の定数としか解釈できないんじゃないのかな、と。

75 :66:2005/06/23(木) 07:04:44
なんというか、文字その物の立場というか。
こういう考え方は数学的じゃないのかもしれないけど。
解の持つ意味というか・・・
解が「方程式を正しく満たす未知数の値」であるのは解るんだけど、
その未知数が元々その方程式を満たす物(未知の定数)として考えられている場合と、
単に変数で解は方程式を満たす変数の値、と考える場合で同じ「未知数」という言葉を使う
のがなんとなく釈然としなかったというか。


76 :132人目の素数さん:2005/06/23(木) 11:44:07
方程式P(x)のxには何を代入してもいいんだよ。
単に真理値がfalseになるだけ。
Pはxが取りうる領域(実数とか)から{true,false}への写像であって
方程式P(x)の解とは{x|P(x)=true}のこと。

77 :66:2005/06/23(木) 13:09:07
<<方程式P(x)のxには何を代入してもいいんだよ。
<<単に真理値がfalseになるだけ。

方程式単独だと解るんですが・・・
だけど文章題への適用を考えるときに「このxはどういう意味で使われてるのか」と
いうことを考えるとどうしてもこんがらがる・・・
未知数xその物が{x|P(x)=true}という定義を与えられていないのに(つまりfalseと
なるxについても考えうるのに)何故「ある条件を満たす数」とか「ある方程式の解」
とかを未知数として置けるのか、と。

いや、あー・・・、方程式を命題関数として捉える立場の場合、その命題が
真であるか偽であるかは言明されてない(未知数の値によって真とも偽ともなる)
のに、文章題などでは方程式中の未知数が方程式を満たす、つまり命題が
真となる、ということを前提として議論を進めてるような書き方をされてる感じが
するんです。
「ある数xから3をひくと5になる。xを求めよ」
「x-3=5」
とおいた場合−

ああ、xをどういう立場の数として用いるかは関係ないのか?
「ある文字について方程式をたて解を出す」というプロセスの中には
その文字がどういう値ならば方程式を満たすかということしか意味と
して含まれず、もともとxがどういう風に定義されていたかは関係ない?

78 :66:2005/06/23(木) 13:10:05
だから「ある条件を満たす未知の定数」を未知数として方程式を立て、
解をその定数の値と解釈することも、
「ある条件を満たす場合の変数の値」を導出するために変数を未知数と
してその条件を表す方程式を立て、解を「その場合の変数の値」と解釈
することもできる?

ある文字を未知数として方程式を立てそれを解くという行為は方程式を
満たす未知数の値を導出するという以上の意味は持たず、解として与え
られた値が文脈上どういう意味を持つかなど関係ない・・・?

でもそうだとすると・・・ああそうか、xが本来どういう値を持つと
考えられているかということとxにどんな値を代入すると命題が
真となるかということは別の問題なんだ。
xがある方程式を成り立たせる未知の定数として与えられた場合、
その方程式の解を導出するとそれがそのまま「未知の定数xの値」と
なっているだけで、「ある文字を未知数と見て」「方程式を解く」際には
未知数は変数とも定数とも扱える、とことなのかな・・・?

79 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 15:27:46
試験の文章題では暗黙のうちに方程式には解があると仮定されてるからね。
ってかこの辺の話題は代数学とはちょっと違うから、続けるんなら
数理論理学系のスレに移ったほうがいい。

80 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 15:53:27
こういうこと気にしないといけないのは超準解析くらいで
普通は曖昧な把握でも別に困ることはないと思う.

81 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 00:36:36
次の問題を考えてみたのですが、合っているかどうか分からないので
判定よろしくお願いします。
(問)mとnの最小公倍数をlとする。(m,n:正の整数)
mZ∩nZ=lZ が成立することを証明せよ。
(答案)a∈mZ∩nZとすると,
a∈mZより a=ms(∃s∈Z)
a∈nZより a=nt(∃t∈Z)
よってaはmとnの公倍数であるから,最小公倍数の倍数である。
∴a=lk(∃k∈Z) 即ちa∈lZ
∴mZ∩nZ⊂lZ ・・・・・(1)
a∈lZとすると,
lはmとnの最小公倍数だから
l=ms=nt (∃s∈Z,∃t∈Z)
a∈lZ=msZより a∈msk(∃k∈Z)
よって a∈mZ
また a∈lZ=ntZより
a=ntb(∃b∈Z)
よって a∈nZ
∴mZ∩nZ⊃lZ ・・・・・(2)
(1),(2)より mZ∩nZ=lZ

このように考えたのですが,この証明に何か不備は無いでしょうか?
よろしくお願いします。

82 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 00:41:46
別に不備はないと思う.
まあ明らかといえば明らかだけど.

83 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 01:50:53
L,Kを体として[L:K]=nならば、あるLの元a_1,a_2,,,a_nで、 L=Ka_1+・・+Ka_nと表せるというのがわかりません、乗法に関する逆元はこのような形をとるって所がピンときません

84 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 08:39:26
>>82
答案4行目の「aはmとnの公倍数であるから,最小公倍数の倍数である。」
という部分は,証明せずにすぐ言い切っても良いのですか?

85 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 09:02:23
自分で証明できて,明らかだと思うのなら
言い切ってもいいんじゃない?

86 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 09:08:42
>>84

不安を感じたら、その証明を付けてみれば良い。
答案の表現は、明らかに見えない形ではある。最小性がどこから出るか
を整理せよ。

87 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 09:14:55
>>83
体って何か知ってる?w

88 :風あざみ:2005/06/28(火) 01:17:54
>>84
もし必要なら
m、nの公倍数aが最小公倍数lの倍数であることの証明

証明
aをlで割って、商をq、余りをrとする。
a=l*q+r (0≦r<l)
ここで0<r<lと仮定する
r=a-l*q=m*{(a/m)-(l/m)*q}=n*{(a/n)-(l/n)*q}だからrもaとbの公倍数である。
ところが、0<r<lだから、lがaとbの正の公倍数のうち最小であるという仮定に反する。
よってr=0となる。

よってaはlで割り切れる。
証明ここまで

89 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 14:05:23
>>88
ありがとうございます。

90 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 18:21:07
日本数学会が「間違い理論」に代数学賞を献上!

藤原一宏氏の業績
>谷山ー志村予想についてのワイルズの結果をヒルベルト・モジュラー形式に拡張することを試み、
>これについても著しい結果を出している。とくに、テーラー・ワイルズの方法を公理化した可換
>環論的手法は強力であり、すでに多くの研究者によて利用されている。藤原氏のこの方面の研究は
>ヒルベルト・モジュラー形式に止まらず、多変数の保型形式の理論に大きな影響を与えつつある。
http://www.math.wani.osaka-u.ac.jp/group/numberth/algebra/daisugakusho.html#fujiwara

91 :132人目の素数さん:2005/06/29(水) 08:28:39
ωをx^2+x+1=0の1つの解とするとき
U(Z[ω])に属する元をすべて求めよ。ただしZ[ω]={x+yω|x,y∈Z}⊂C,
Uは単元群を表すものとする。
この問題についてですが,どのように考えていけば良いのでしょうか?
(x+yω)(x´+y´ω)=1としてx,x´,y,y´が整数となるような
組を見つけていけば良いのですか?

92 :132人目の素数さん:2005/06/29(水) 14:21:55
>91 ノルムが1となるものを探す

93 :93:2005/06/29(水) 18:39:25
√9=3


94 :132人目の素数さん:2005/06/29(水) 23:13:41
・F(i):体 (i∈I)
・R:F(i)の直積 (i∈I)
・a=a(i)∈R (i∈I) に対して Z(a)={i∈I|a(i)=0}
・m⊂R 極大イデアル          
とする。このとき
U(m)={Z(a)|a∈m} がI上の極大フィルターになることを示せ。

代数に強い方どうかご教授ください。よろしくお願いします。

95 :GreatFixer ◆king.VNj/w :2005/06/29(水) 23:15:57
Re:>>94 F とか I とかを説明しようとしないあなたが大好きです。

96 :132人目の素数さん:2005/06/29(水) 23:51:38
>>95
FのフィルターXに対してI(X)={a|Z(a)∈X}とさだめる。
StepI) IのフィルターXに対してU(I(X))=Xをしめす。
X⊂U(I(X))はXの元Sに対しZ(a)=Sとなるaをとれば(かならずとれることは容易)
a∈I(X)。よってS∈U(I(X))である。逆にS∈U(I(X))をとる。定義からS=Z(a)、a∈I(X)
なるaがとれる。このときa∈I(X)からZ(a)=T∈Xである。よってS=Z(a)=TよりS∈U(I(X))。
StepII) I(X)はイデアルであることを示す。実際a∈I(X)、b∈RとするとZ(a)⊂Z(ab)、
Z(a)∈X、XはフィルターだからZ(ab)∈X。さらにa,b∈I(X)とするとZ(a)∩Z(b)⊂Z(a+b)
であるからやはりZ(a+b)∈X。
StepIII) I(X)がプロパーイデアルでないならXは空集合を含むフィルターであることをしめす。
実際1∈I(X)ならφ=Z(1)∈Xだからである。
以上から主張をしめす。mを極大イデアル、U(m)⊂Xをフィルターで空集合を含まないとする。
このときm⊂I(U(m))⊂I(X)。mの極大性からI(X)=mであるかI(X)はプロパーイデアルでない。
しかしStepIIIと仮定からそれはない。よってI(X)=m。
よってStepIよりX=U(I(X))=U(m)。これでU(m)の極大性がいえた。

97 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 01:49:10
>>94
体の超積は特別なものではなくて、ありふれたものであるということだが、
どこの問題だろう。

98 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 03:05:55
>>96
はそれであってるのか?体とか直積とかa(i)=0の条件を使ってないみたい
だけど。最後U(m)をフィルターとするっていうのもいきなり言っちゃって
いいのかな?


99 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 04:02:46
>>98
うん。"U(m)⊂Xをフィルターで空集合を含まないとする"で体であることを使うはず。

100 :96:2005/06/30(木) 04:43:11
>>98
いや、この証明は問題の一番むずかしいU(m)が空集合をふくまないフィルターのなかで
包含関係の意味で極大フィルターであることをしめしただけ
でこれで>>95の解答全部だとはいってないよ。この部分だけで>>96みたいに
長くなっちゃうから。空集合をふくまないフィルターになることとかはそれほど難しくないし。
体の直積であることなんかはmがプロパーイデアルのときU(m)が空集合をふくまない
ことの証明の部分でつかう。
その部分を証明するならU(m)が空集合をふくめばa∈mでZ(a)=φとなるものが
あるけどそのときa(i)はすべて0でないのでa(i)はすべて可逆(∵体だから)
よってa自身Rの可逆元でありよってmがプロパーなイデアルにならない。
対偶をとればmがプロパーなイデアルならつねにU(m)は空集合を含まない。
でもこれをいいだすとフィルターになってることとかも全部書かないといけなくなるけど
そんなのまんどくさいだけでできるだろと思った。
  
ちなみにもし体の直積じゃないとたとえばI={i}(1元集合)、F(i)=Z(整数環)とすると
R=Zになってm=2ZのときU(m)={φ、{i}}となって空集合を含んでしまう。
つまり体の直積じゃないとU(m)が空集合をふくまないフィルターになることが
ありうる。

101 :98:2005/06/30(木) 05:05:58
>>100の最後の2行
つまり体の直積じゃないとU(m)が空集合を含むフィルターになることが
ありうる。
でつ。

102 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 06:03:33
皆さんレスありがとうございます。特に丁寧に解説してくださった96,100
さん大変参考になりました。証明の流れは理解できたのですが難しくない
と書かれている「空集合をふくまないフィルターになること」の証明も恥
ずかしながらよくわかりません。お手数ですがどうかご教授お願いします。
この証明と上に書いていただいた2つを合わせれば問いは示せたことにな
るのでしょうか?

103 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 06:04:59
・F(i):体 (i∈I)
・R:F(i)の直積 (i∈I)
・a=a(i)∈R (i∈I) に対して Z(a)={i∈I|a(i)=0}
・m⊂R 極大イデアル          
とする。このとき
U(m)={Z(a)|a∈m} がI上の極大フィルターになることを示せ。

a,b in U(m)->a and b in U(m)
c in I, a<c<I->c in U(m)
φ<>U(m)
IU(m)=U(m)I=U(m) or I

104 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 06:08:04
>>102
フィルターになることの証明はせんとだめだろ?
つまりmがイデアルのとき
(i)X∈U(m),X⊂Y⇒Y∈U(m)
(ii)X,Y∈U(m)⇒X∩Y∈U(m)
は示さないと。

105 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 06:21:44
具体的にはどのようにやればよいのでしょうか。。。

106 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 06:58:52
具体的には
a∈m、Z(a)⊂Y⇒∃b∈m、Z(a)=Y
a,b∈m⇒∃c∈m、Z(c)=Z(a)∩Z(b)
(i)はr(i)=0 (if i∈Y) =1 (otherwise) でさだめられるRの元をrをとるとき
b=arとおけばb∈mでZ(b)=Yとなることからわかる。
(ii)は各i についてa(i)=b(i)=0のときはr(i)=s(i)=1、そうでないときは
r(i)a(i)+s(i)b(i)≠0となるr(i)、s(i)をえらぶ。具体的にはa(i)≠0のときは
r(i)=1,b(i)=0、a(i)=0、b(i)≠0のときはr(i)=s(i)=1とすればいい。
そこでc=ra+sbでさだめる。あきらかにc∈m。
a(i)=b(i)=0⇒c(i)=0。a(i)≠0 or b(i)≠0⇒c(i)≠0ゆえZ(c)=Z(a)∩Z(b)。

107 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 10:54:53
>>92
(x+yω)・(x´+y´ω)のノルムが1となるような整数x,y,x´,y´
の組を見つければ良いということですか?

108 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 15:18:47
>>92
ありがとうございます。解決しました。
それともう一つ質問があるのですが、U(Z[√2])は無限群となることを
示せという問題について、元の数が無限個あるということを示せば良いと
思うのですが、x+y√2(x,y∈Z)で逆元をもつようなものが
無限個あることはどのように示せば良いのですか?
よろしくお願いします。

109 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 16:48:04
>>108
N(√2+1)=1なんだから(√2+1)^kは全部ノルム1でノルム1の元が無限にあるべ。

110 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 17:40:37
数学板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、 ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、 腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、 病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、蚊、掃き溜め、汚物、 糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、 悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、豚野郎、畜生、鬼畜、悪鬼、邪気、邪鬼、クレイジー、 ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、ボッコ、ろくでなし、ヒ素、青酸、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、 発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト 、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡(旧姓:宅間)守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ(旧:オウム真理教)、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、奥田碩、おおさか人、上新庄、あう使い、放射性廃棄物、割れたコップ、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの11歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10!
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ

111 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 18:49:28
>>109
N(√2+1)=-1

112 :112:2005/06/30(木) 21:03:47
1+1=2


113 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 22:30:19
今日発売の「Modern Algebra」(ファン・デル・ウ゛ェルデン著)って買いだよね?まだ注文してないんだけど

114 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 22:45:16
今日発売って何のこと?
かなり大昔に出てたはずだが

115 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 23:00:23
「Algebra」と内容一緒?そのタイトルでペーパーバック版が今日発売だと思ったが

116 :132人目の素数さん:2005/06/30(木) 23:12:30
あ〜、スマソ。本屋では普通に売ってるのか。 モダンってタイトルについたのがアマゾンで今日から発送可能だったんで

117 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 00:00:24
>>109
N(√2+1)って何のことですか?

118 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 00:05:03
Modern Algebraはコストパフォーマンスはかなりいいね.
Doverのペーパーバックは一般的にいって安いけど.

119 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 01:47:59
ウェーバーの代数学の邦訳はどこかにないものか。原著の著作権は切れてるし。

120 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 03:04:46
邦訳はない。俺は原著は本とPDFの両方持っている。
今でも、いろいろ使える本だよな。

121 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 04:10:20
>>119
翻訳のコピーが出回っているのを目撃したことある。
出版予定はないらしいけど。津田塾か東京女子大だかの
元教授の翻訳だった気がする。

122 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 09:41:16
SpringerがWeberの翻訳出せばいいんだよな。英語本の翻訳する
余裕があるなら。

123 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 13:01:07
英語本ってWeberの?

124 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 13:53:52
>>123
逆に聞くけど、英語本のWeberってどういう意味じゃ?
英語版のWeberならまだわかるけど、そんなのあったとして翻訳する
意味あるのか? 翻訳の翻訳なんて危なっかしいだろ。

125 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 15:30:04
いや>>122に英語本って書いてあるから.

126 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 18:42:36
>>108についてよろしくお願いします。出来るだけ詳しめに教えて頂ければ
ありがたいです。

127 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 18:43:47
>>125
英語本というと英語で書かれた本ということだと思うが。
なにもWeberの代数学の英語訳(そんなものがあるとは疑わしいが)
とは限らん。ちなみにシュプリンガー東京は最近、英語本
(つまり英語で書かれた数学の本)の翻訳をかなり出してる。

128 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 18:56:40
つまらないことだけど、念のために。。。
Weberの『代数学』(Lehrbuch der Algebra)に英訳本はない。
あるのは日本語訳のみ。この日本語訳をシュプリンガーあたりが
出版してくれるとうれしい!

129 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 19:05:56
>>128
追加:日本語訳があるのは第3巻だけではないかと思う。
ぼくが目撃したのは等分方程式とか変換方程式の部分だった。

130 :テスト期間中高2:2005/07/01(金) 19:26:56
x2+2x-1を複素数の範囲で因数分解せよ。
って問題なんですケド・・・



131 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 20:40:13
↑その問題まだ未解決だよ。今何年だっけ

132 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 20:45:17
x^2+2x-1=(a+bi)^2+2(a+bi)-1=(a^2-b^2+2a-1)+(2ab+2b)i=0

133 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 20:47:47
x2+2x-1=2x+2x-1=4x-1

134 :テスト期間中高2:2005/07/01(金) 21:00:42
>>131
すみません・・・問題間違えました。。

「x^2+2x-1をハミルトンの4元数の範囲で因数分解せよ」

でした。。

135 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:02:49
x^2+2x-1=(ai+bj+ck+dw)^2+2(ai+bj+ck+dw)-1=0

136 :テスト期間中高2:2005/07/01(金) 21:04:14
>>131
すみません!!また間違えました・・・

「x^2+2x-1をケーリーの8元数の範囲で因数分解せよ」

でした。申し訳ありません。。

137 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:08:20
x^2+2x-1を有理数で積分してくれ

138 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:09:20
ハミルトンの4元数の範囲では、複素数の範囲でとくのと同じ。
体だから。
ケーリーの8元数の定義を忘れた。

139 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:11:08
可換じゃなくても多項式環って定義できるんだっけ?

140 :テスト期間中高2:2005/07/01(金) 21:11:42
>>131
また問題見間違えてました・・
今度こそこれで合ってます。

「x^2+2x-1を任意の数体上で因数分解せよ」

お願いします。

141 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:17:44
>>134

問題に間違いが無いなら、
x^2 + 2x - 1 = ( x+1+√2 )( x+1-√2 )

これで答えになっている。これだけでは愛想が足りないので、おまけを。
x^2 + 2x + 2 = ( x+1+r )( x+1-r ) ;r=ai+bj+ck;a^2+b^2+c^2=1

142 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:37:31
>>140
こいつからかってんだろう

143 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 21:56:34
x^2+2x-1を因数分解するな

144 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:05:32
x^2+2x-1を因数分解しないで標準形にして

145 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:14:43
x^2+2x-1を素因数分解しましょう

146 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:19:47
x^2+2x-1を事情聴取せよ。

147 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:21:26
x^2+2x-1をサイバー攻撃せよ!

148 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:22:26
x^2+2x-1を靖国神社に合祀せよ!

149 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:23:27
x^2+2x-1を一括返還せよ!

150 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 22:32:55
x^2+2x-1は会議室で解ける問題じゃない

151 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 23:21:32
x^2+2x-1に直交なベースはなに

152 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 01:01:36
x^2+2x-1の多様性と普遍性の探求拠点を形成せよ!

153 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 01:03:11
x^2+2x-1を神奈川県警海老名署は通り魔による傷害事件として捜査している。

154 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 01:04:03
x^2+2x-1の在庫状況は大企業で四期ぶりに減少。

155 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 01:05:50
x^2+2x-1の特異な精神状態を解明するため簡易鑑定を検討している。

156 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 03:45:17
x^2+2x-1のサミットへの正式な参加問題に関する協議は見送られた。

157 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 07:03:31
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1475374

158 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 20:48:12
もうこの話題はここで終了ということで.
面白い体とかで議論するなら別かも知れないけど.

159 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 06:17:44
G:有限群
Gの表現が既約表現の直和になる(完全可約)
⇔G-加群Vの任意の部分G-加群Wに対して V=W(+)W' となるVの部分G-加群W'が存在する

上の二つの同値性の証明を教えてください。よろしくお願いします。


160 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 07:24:39
V=G+G,W+W=W
V=W+(V-W)
V-W=W^

161 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 19:04:38
>>159
任意の表現Vと真部分表現W⊂Vについてべつの部分表現U≠0を
U∩W=0となるようにとれることをしめす。V=(+)Viを直既約分解とする。
すべてのiについてVi⊂WならWが真部分表現であることに反するゆえ
そうでないiがみつかる。このときVi∩W≠Vi。よってViの既約性よりVi∩W=0。
つぎにW'をW'∩W=0なるVの部分表現のなかで極大であるものととる。
Zornの補題より必ず存在。W(+)W'=Vでなければすでにしめしたとおり
W(+)W'∩U=0なるU≠0がとれるがW''=W'+UはW''∩W=0となるゆえW'の極大性に反する。
よってW(+)W'=V。

162 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 19:34:03
Q[X,Y]において,素イデアルであるが,極大イデアルでないようなイデアル
の例をつくれという問題なのですが,どのような例があるのでしょうか?

163 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 19:36:21
>>162
0

164 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 19:52:09
任意の表現Vと真部分表現W⊂Vについてべつの部分表現U≠0を
U∩W=0となるようにとれることをしめす。

V=(+)Viを直既約分解とする。

すべてのiについてVi⊂WならWが真部分表現である
ことに反するゆえそうでないiがみつかる。

このときVi∩W≠Vi。

よってViの既約性よりVi∩W=0。

つぎにW'をW'∩W=0なるVの部分表現のなかで極大であるものととる。

Zornの補題より必ず存在。

W(+)W'=VでなければすでにしめしたとおりW(+)W'∩U=0なるU≠0がとれる
がW''=W'+UはW''∩W=0となるゆえW'の極大性に反する。

よってW(+)W'=V。



165 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 19:59:34
161,164さん、ご回答ありがとうございます。
←の証明はどのようにすればいいのでしょうか?
証明しなくてもいいほど単純なことなんですかね??

166 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 20:27:17
>>165
単純加群だから単純


167 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 21:49:11
G-加群Vの任意の部分G-加群Wに対して V=W(+)W' となるVの部分G-加群W'が存在する

Vの任意の部分G-加群WはVの直和因子である
って言ってる意味一緒ですかね?


168 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 22:04:34
>>167
それはさすがに一緒の意味じゃね?

169 :169:2005/07/03(日) 22:21:57
√(169) = 13


170 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 22:29:52
ありがとうございます!もう一つ意見聞かせてください!

G:有限群 V:G-加群 このとき
V=W(1)(+)W(2)(+)・・・(+)W(K) と分解される。
(各W(i)(1≦i≦k)はVの既約部分G-加群)
この分解は一意であることを示せ。

これってどう証明したらいいかわかりますか?
V=V(1)(+)V(2)(+)・・・(+)V(r) V=V'(1)(+)V'(2)(+)・・・(+)V'(s)
のように二通りに表して r=s V(1)=V'(1)・・・V(r)=V'(s)
を帰納法で証明する方法でいいんですかね?

171 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 22:39:13
>>170
同型の意味をのぞいて一意じゃないと反例があるからだめ。
同型の意味をのぞいて一意の証明なら組成列の一意性からいえる。
つまり
0⊂V(1)⊂V(1)(+)V(2)⊂・・・⊂V(1)(+)・・・V(s)=V
の組成因子がV(1)、・・・V(s)になる。有限の長さをもつ加群の組成因子は
同型の意味をのぞいて一意。

172 :132人目の素数さん:2005/07/05(火) 15:54:28
>コネも作れない、一発凄い仕事もできないじゃあ
>論文10本一流誌3本崩れで終わっちゃうよ、今は。

崩れ博士・PD研究スレッド PART2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1115731497/848

173 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 04:17:48
代数体は有限生成Z加群である事ってどうやったら示せますか?

174 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 04:19:07
訂正代数体の整数環です

175 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 05:35:04
示せない。
代数的数全体の体の整数環。

176 :176:2005/07/06(水) 06:05:23
1=7-6

177 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 06:27:14
>175 代数体の定義はQの有限次拡大体では?

178 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 07:12:25
>>177
だったらお前が答えてやれよ

179 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 17:42:38
>>173-174
以下設定をK⊂Lを代数体、R,SをK,Lの整数環、a∈SをL=K(a)であるものとする。
d∈Rをfの判別式とする。
このとき
(※) ∀s∈S、ds∈R[a]
とくに S⊂(1/d)R[a]であるからSはR[a]加群として有限生成。
一方R[a]はR上整であるからR加群として有限生成で結局SもR加群として
有限生成。
(※)の証明は永田先生の可換体論のP125の定理3.9.2。証明は13行ぐらい。

180 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 20:14:36
崩れ博士・PD PART3【コネの造りしもの】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1120573848/

181 :132人目の素数さん:2005/07/08(金) 23:19:23
[11158]
 nは自然数、pは素数とする。このとき次を示せ。
 p^p|n ⇒ p^(p+1)|n
 n が p^p で割りきれる ⇒ n は p^(p+1) でも割り切れる.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.5 (May 2005)
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-05-may05.pdf

deadline: September 30, 2005

n<p^2 と n≧p^2 で場合分けするらしい...

182 :132人目の素数さん:2005/07/08(金) 23:30:23
>>181

n=p^p >1 の時は?

183 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 17:17:59
>181 の言ってる意味が全くわからん、普通に違う気がするんだが

184 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 17:20:47
nじゃなくてn!だな
リンク先を確認のこと

185 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 17:54:51
グレーブナ基底を学んでいるのだけど
「Dicksonの補題」で躓いて悩んでいます

・「Dicksonの補題」が一体何を言わんとしているのか(特にこれ)
・「Dicksonの補題」がグレーブナ基底を定義する時にどういう影響を与えているのか

教科書を調べているのだけど、
説明がほとんど無くて途方にくれています

k[x,y]の時に、(x^m)*(y^n)を表現するm,nの格子図が良くあるけれど
あれを使って分かりやすく説明してくれませんか?

186 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 13:18:40
アルチン環って何ですか?

187 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 18:12:29
>186 ネーター環と双対の概念じゃね?

188 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 20:33:20
ネーター環?双対?あんまり環に詳しくないです。教えてください。

189 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 23:10:07
1+8=9

190 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 00:55:40
>>186
定義の見かけは「ネータ-環の双対」だが、実際はすべての素イデアルが
極大イデアルになるような特別なネータ-環。
体とかZ/(p^n) とか k[x]/(x^n) とか、あるいはそれらの有限個の直積とか。

ところでネーター環を知らないのにアルチン環を知りたいのは何故?

191 :186:2005/07/21(木) 14:26:30
大学の授業で先生がアルチン環のことをいってた。アルチン環は可換環?非可換環?

192 :192:2005/07/21(木) 14:44:12
1-√9=-2

193 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 15:34:43
ここで聞いても満足いく事はわかんないから、教科書読んだ方がよいょ、そしたらとりあえずどういうものかはすぐわかる

194 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 19:45:44
先生の話全然理解できてないんじゃない?
>>193に同意

195 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 21:48:04
>>191
まずは自分で調べて考えろ、クズ蟲が!

196 :186:2005/07/21(木) 21:57:49
双対は本に載ってなかった。

197 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 22:00:30
>>196
一度死ねばいい。
載っている本をさがせよ、バーカ!
晒し上げ

198 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 10:45:33
英語が読めるならWikipediaで"artinian ring"を検索すればいい。
双対はdualで検索。

199 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 10:59:51
いずれにせよ、まずはアルチン環よりネーター環勉強したほうがいいよ。

200 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 11:05:59
>>199
それは可換環の場合だろう。非可換環の場合は逆がいい。

201 :114=118で向こうの138=139:2005/07/22(金) 11:55:17
>>http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/113-118
の方などでModern Algebra (Paperback) by B. L. van der Waerdenをご購入の方

>http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1118673940/136
>136 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/07/22(金) 11:24:55
>Dover から van der Waerden の Algebra が出るっていう情報があるけど、
>amazon で検索しても出てこないね。どうなってるんだろ?買った人いる?
らしいが何かご存知の方いらっしゃいますか



と宣伝してみるテスト

202 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 11:56:17
こっちもあげよう

203 :132人目の素数さん:2005/07/24(日) 10:14:35
R=Z[√(−5)]とおく。(Z[√(−5)]=Zと√(−5)・Zの直和)
A=2R+(1+√(−5))Rとすると,このイデアルAに対して,
2R=A・Aとなることを示せという問題なのですが,
まず,2R⊂A・Aの証明をするときに
a∈2Rとすると
a=2(x+√(−5)・y) (∃x,∃y∈Z)
 =2x+2√(−5)・y
ここからどのようにa∈A・Aをいえばいいのですか?
よろしくお願いします。

204 :132人目の素数さん:2005/07/24(日) 13:36:53
>203 A・Aの定義は何?

205 :203:2005/07/24(日) 13:54:08
>>204
ワロタw

206 :132人目の素数さん:2005/07/24(日) 14:11:10
a=2(x+√(-5)y)=2*{(x-y)+{1+√(-5)}(y)}∈A・A
2,(x-y),y∈Z⊂Z[√(-5)]だから、R⊂A・A

207 :132人目の素数さん:2005/07/24(日) 20:27:26
>>206
ありがとうございます。
2*{(x−y)+{1+√(−5)}(y)}∈A・Aというのは
なぜ分かるのでしょうか?
2=2・1∈Aですが、x−y+{1+√(−5)}(y)∈Aはどのように
いえば良いのでしょうか?
x−y∈2Rをいえばよいのだと思うのですが、これはどのようにすれば
良いのでしょうか?
宜しくお願いします。

208 :132人目の素数さん:2005/07/30(土) 14:24:38
ネータ-環
恍惚環

209 :132人目の素数さん:2005/07/30(土) 14:40:21
代数オタのIQを測定します。説明は英語だけど読む必要なし。
http://www.iqtest.dk/main.swf

210 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 15:54:16
n≧1とする。f(x)=x(x−2)(x−4)・・・(x−2n+2)+2は
Q上既約であることを示せという問題なのですが、
Q上可約としてf(x)=g(x)h(x) (∃g(x),∃h(x)∈Q[x])
としたとき,ここからどのように矛盾を導けば良いのですか?
宜しくお願いします。

211 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 22:04:06
>>210
Eisenstein の既約性判定法で素数 p = 2 とする

212 :210:2005/08/03(水) 23:11:36
>>211
もうちょっと詳しくよろです

213 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 00:45:25
>>210
n=1のとき
f(x)=x+2は既約
n≧2のとき
x(x-2)・・・(x-2n+2)+2=x^n+(偶数)x^(n-1)+・・・+(偶数)x+2^n*(n-1)!(-1)^(n-1)+2
2^n*(n-1)!(-1)^(n-1)+2は偶数だが4で割り切れない。

ここでEisenstein の既約性判定法を用いる
Eisenstein の既約性判定法とは
「素数pと整数係数の多項式g(x)=(a_n)x^n+{a_(n-1)}x^(n-1)+・・・+a_1*x+a_0をとる。
a_nがpで割り切れない。a_1,・・・,a_(n-1)がpで割り切れる。a_0はpで割り切れるがp^2で割り切れない。
このとき、g(x)は既約多項式である」というものである。
p=2とすれば、まさにf(x)はEisenstein の既約性判定法の条件を満たしている。
したがって、f(x)は既約多項式である。


214 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 09:32:30
>>213
ありがとうございます。
2^n*(n−1)!(−1)^(n-1)+2とありますが,f(x)の定数項は
常に2になるのではないのでしょうか?

215 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 10:16:01
>>214
君が正しい。

216 :213:2005/08/05(金) 01:44:57
その通りだw
スマソ

217 :132人目の素数さん:2005/08/06(土) 23:14:32
整域R上の1変数多項式環R[x]が単項イデアル環になるのは,Rが体になる
ときに限ることを示せという問題について質問です。
Rが体でないとすると ∃a∈R,∀a´∈R aa´≠1
ここからどのように示せばいいのですか?
宜しくお願いします。

218 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 01:23:59
(a, x) が単項イデアルでない。

219 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 10:25:49
>>218
(a,x)というのはイデアルaR[x]+xR[x]のことですか?

220 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 11:40:06
標数pの素体上の特殊線形群SL(3,F_p)={g∈M(3,F_p)|detg=1}の位数を求めたいのですが上手く行きません。
とりあえず行列と行列式を対応させてGL(3,F_p)から既約剰余類群Z/pZ−{0}への全射順同型を考えて、SL(3,F_p)がその核になるので準同型定理により
GL(3,F_p)/SL(3,F_p) 〜 (Z/pZ)x
として、|GL(3,F_p)|=|{Z/pZ}-{0}||SL(3,F_p)|
までは考えたんですけど、GLの位数がうまく求められません。どなたか宜しくお願いします。

221 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 12:13:06
>>220

I を単位元とおく。
g ∈ SL(3,F_p) について g=I+f ( 即ち f=g-I ) とおいて g^p を展開して
みれば g^p=I が判る。
g≠I ならば g^(p-1)=g^(-1) より g^(p-1)≠I よって g の位数=p

222 :221:2005/08/07(日) 12:20:28

加法を備えた行列環の中で考察できるのがミソ。

223 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 18:11:12
>>221それはSL(3,F_p)の各元の位数をしらべただけでわ?
>>220
GL(3,p)=G=X∪Y∪Zを
X={A∈G | A11≠0}、Y={A∈G | A11=0、A12≠0}、Y={A∈G | A11=0、A12=0、A13≠0}
と分解する。さらに集合X1、X2を
X1={A∈G | A11≠0、A12=A13=0}、X2={A∈G | Aii=1、Aij=0 (i≠0&i≠j)}
と定める。X1×X2→Xを(A,B)∈X1×X2にたいしAB∈Xでさだめるとこれは全単射。
よってX1の元数はX1×X2の元数にひとしくX1の元数は(p-1)・p^2×GL(2,F_p)の元数。
X2の元数はp^2。
GL(2,F_p)の元数やY,Zの元数も同様にしてもとめられるんだけど当方OCNのため
書きづらいのであとはご自分で。
たしかGL(n,F_q)の元数はqに関するわりと綺麗な多項式になるハズ。

224 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 20:41:58
>>220
#GL(n, F_p) = (p^n - 1)(p^n - p)(p^n - p^2)…(p^n - p^{n-1})
#SL(n, F_p) = #GL(n, p) / (p - 1)
確かに >>223 の方法でも正しく計算できそうだが、模範解答(?)を。

F_p 係数の n 次正方行列を考える。
これが GL(n, F_p) の元となるには列ベクトルが一次独立となることが必要十分。従って、
1 列目は零ベクトル以外のすべてのベクトル ( = p^n - 1 個) から選べる
2 列目は 1 列目で生成される空間に入らないベクトル( = p^n - p 個)
3 列目は 1, 2 列目で生成される空間に入らないベクトル( = p^n - p^2 個)
…と組み合わせ的に全部の列を決めていくことにより GL の位数が分かる。

225 :220:2005/08/08(月) 04:08:54
皆さんどうもありがとうございます。
ただ一つ分からないんですが、>>221でg^pを展開するとg^p=I+f^pになるんですが、この後どうすればg^p=Iを示せるんですか?
むしろg^p=Iとするとg^p-I=0より(g-I)^p=0になってg=Iになりませんか?

226 :221:2005/08/08(月) 18:50:11
群の位数を取り違えてすまんかった。g^p=I+f^p についても勘違いがあった。
どうかしていた様だ、鬱だ・・氏のう・・・・・。

なお、行列環には冪零元と言う物があるから
(g-I)^p=0 <==> g−I とやってはいけない。

227 :132人目の素数さん:2005/08/09(火) 10:12:50
>>219についてよろしくお願いします。

228 :132人目の素数さん:2005/08/09(火) 10:13:52
>>219
yes

229 :132人目の素数さん:2005/08/10(水) 00:06:18
>>218
aR[x]+xR[x]=f(x)R[x] と仮定して矛盾を導こうとしている
のですが、どのようにすればよいのかなかなか思いつきません。
もう少しヒントがあればよろしくお願いします。

230 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 15:51:44
>>229についてどなたか宜しくお願いします。

231 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 17:50:21
>>230

そのアプローチじゃ駄目だろう。

単項イデアル整域の0でない素イデアルは極大であることに注意する。
Rの0でない素イデアルをPとする。
PR[X]は素イデアルである。
(P, X) はPR[X]と異なる素イデアルでPR[X]を含む。
よってPR[X]が極大イデアルでないからR[X]は単項イデアル整域でない。

232 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 19:13:21
>>19
それ以前は群論に達していない。
痴漢群だった。

233 :132人目の素数さん:2005/08/12(金) 01:50:00
a∈R−{0}のときaR[x]+xR[x]=f(x)R[x]となるf(x)がある。
a∈aR[x]+xR[x]=f(x)R[x]からf(x)=b∈Rとなるbがある。
b∈f(x)R[x]=aR[x]+xR[x]からb=ac,c∈Rとなるcがある。
x∈aR[x]+xR[x]=f(x)R[x]からx=b(dx),d∈Rとなるdがある。
1=bd=acdなのでcdはaの逆元。


234 :132人目の素数さん:2005/08/12(金) 11:53:29
>>231
ありがとうございます。整域Rが体でなければR[x]は単項イデアル環でない
ことを示そうとしているのですが、Rが体でないという条件はどこで使っている
のですか?

235 :132人目の素数さん:2005/08/12(金) 12:05:10
>>234

Rが体でないということと、Rに0でない素イデアルがあるということは同値。


236 :132人目の素数さん:2005/08/13(土) 09:19:27
>>235
それはどのように証明すればいいのですか?

237 :213:2005/08/13(土) 16:06:36

>>236
Rが体なら(0)ではないイデアルIを取ったとき、I=Rとなります。

証明
I∋s≠0となるようなIの元sをとると
Rの任意の元rに対して、r={r*s^(-1)}*s∈I
よってR⊂Iとなる、当然I⊂RだからR=Iとなる。

Rが体でないときRには0以外で逆元を持たない要素aをとる
単項イデアル(a)をとると、(a)はRと(0)以外のイデアルとなる。
( イデアル(0)はaを含まず、イデアル(a)は1を含まないから! )
(a)を含む極大イデアルJを考えると、Jが問題の(0)でもRでもない素イデアルとなります。



238 :238:2005/08/14(日) 16:17:54
2^3=8


239 :132人目の素数さん:2005/08/14(日) 20:55:11
>>237
ありがとうございます。もう少し聞きたいのですが、(a)を含む極大イデアル
Jは必ず存在するといえるのですか?

240 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 01:20:50
>>239
yes

241 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 10:41:20
>>239

君、少し本(代数学または可換代数の入門書)を読んだほうがいいよ。

242 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 14:11:47
>>231
Rが整域よりR[x]も整域だがらR[x]/PR[x]が整域なので
PR[x]はR[x]の素イデアルであることは分かるのですが,PR[x]+xR[x]
がR[x]の素イデアルであることはどこから分かるのですか?同じように
R[x]/(PR[x]+xR[x])を考えればいいのですか?

243 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 16:12:02
>242 最初から違うなww受験数学じゃないんだから、やり方を覚えるなよ、、素イデアルの定義は?剰余環が聖域になる事とかいてあるのか、本当に?もし、そうならその定義をよく考え自分の中で言い換える、これが最大のヒント

244 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 17:15:39
>>243
定義は,a・b∈Iならばa∈Iまたはb∈IのときI(≠R)は
素イデアルであるということで,定理としてR/Iが整域⇔IはRの
素イデアル と書かれているのですが,この定理は使えないのですか?

245 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 18:41:31
>>242
核が PR[x] + xR[x]になるような全射準同型 R[x] → S で、
S が整域になるものを見つければよい。

246 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 20:53:46
S=R[X]-(P,X)∋a,bとすると、明らかにab∈S なんだが

247 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 09:18:26
Azumaya algebrasを東屋代数と読むのは俺だけか?

248 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 10:54:46
こういう本を数蝉があつかえばよい!
糞糞にけなして、晒し上げればよい!

249 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 13:27:42
>>242

射 R[X] → R → R/P の合成を考える

250 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 13:29:16
東屋五郎って御存命?

251 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 14:44:46
>>249
そのような全射準同型を考えれば、核がPR[x]+xR[x]になるような
ものが存在するのですか?

252 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 15:36:59
>>251

R[X] → R は、X に 0 を対応させ、R の元を動かさないもの。
R → R/P は標準射
そうすると、合成射の核は、(P, X) になる。

253 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 16:03:28
>>252
なぜ合成射の核は(P,X)になるのでしょうか?
PR[x]+xR[x]はPに写っているのですか?

254 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 16:08:06
>>253
P の元や x が R/P で 0 になることを確かめればいいだろ。
ちょっとは自分で考えないと・・・

255 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 16:45:08
だから>>241に書いたように、君はまだ代数の初歩が身についてないんだよ。
地道に初歩からやり直したほうがいい。

256 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 17:45:36
いやそんなやり方で考えると、君はますますわからなくなるだろう、、、まずは>246の考え方がベスト、結局核になるってのもそれが基になってんだし、、

257 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 19:04:55
どっちみち、勉強が足りないんだって。


258 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 19:20:06
>>231のアプローチでいくなら
 
R[x]がPIDとする。
R[x]/xR[x]≡Rは整域なのでxR[x]は素イデアル。よって仮定からxR[x]は極大イデアル。
よってR[x]/xR[x]≡Rは体。□
 
でよくね?これでも上のやりとりみてるかぎり理解できるかどうか疑問だけど。

259 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 19:44:22
>>258
エレガントだな。
その証明を見ると、Rを整域として、「R[X]のKrull次元は1⇔Rは体」って事か。

260 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 09:03:43
ラフに言って dim R[X] = dim R + 1
R がネーターならこの等式が成り立つのは確かだけど、一般の場合は
例外があるんだろうな。

261 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 03:14:00
Z/p^2×Z/p^2 の位数p^2 の巡回部分群の数っていくつですか?

262 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 10:00:13
>>231 >>233 >>235 >>237 >>245 >>246 >>249 >>252 >>254 >>258
どうもありがとうございます。ようやく「Rが体でない⇒R[x]は単項イデアル
環でない」ということが理解できました。

263 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 10:59:17
>>261
p (p + 1) 個

264 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 12:09:47
>>261
位数 p^2 の元の個数を求め、それを φ(p^2) = p^2 - p で割る。

265 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 13:53:19
>263 >264 わかりました、サンクス

266 :132人目の素数さん:2005/08/19(金) 03:25:01
「pは素数」でないときは?


267 :132人目の素数さん:2005/08/19(金) 16:21:17
pって大体素数に当てる文字だし

268 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 11:27:33
Kを体とするとき,K[x]は単項イデアル整域であることの証明を読んでいる
のですが,少し疑問に思ったことがことがあるので質問します。
証明は以下のように書かれています。
IをK[x]の任意のイデアルとする。I≠{0}としておく。
Iに含まれる0でない多項式の中で次数最小のモニック多項式をf_0(x)
とする。このとき,I=f_0(x)K[x]が成立する。
(∵)f_0(x)∈Iより,f_0(x)K[x]⊂I
∀g(x)∈I に対して
g(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
かつ degr(x)<degf_0(x)またはr=0
∴r(x)∈I
このようになっているのですが、なぜg(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
かつ degr(x)<degf_0(x)またはr=0 ということがいえる
のですか?
例えばI=xK[x]とすると f_0(x)=xで,g(x)=x^3とすると
x^3=x・x^3+(−x^4+x^3)なのでdegr(x)=deg(−x^4+x^3)
=4,degf_0(x)=deg(x)=1だからdegr(x)<degf_0(x),r=0
のどちらも成立していないように思うのですが、この記述はどういうこと
なのでしょうか?
よろしくお願いします。

269 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 11:35:12
Kが体なら多項式の剰余ができるってこと。
g(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
と書けるのはもちろん何通りもあるけどその中で
degr(x)<degf_0(x)またはr=0
を満たすようなrとgが存在する,ってこと。
多項式の剰余は中高でもお馴染み。

270 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 12:02:25
>>268
多分その証明が載っている前後にユークリッド環の話があると思うから
それをよく読んでおくように



271 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 01:45:00
>>268
何か別のものに同じ記号使ってたりしてムチャクチャだな。
たぶんあなたが写し間違えてるだけだと思うが、おそらく
「(∵)」以降は本当は次のようになってるはず。

(∵)f_0(x)∈Iより,f_0(x)K[x]⊂I
∀g(x)∈I に対して∃q(x) ∃r(x)
g(x)=f_0(x)q(x)+r(x)
かつ degr(x)<degf_0(x)またはr=0
∴r(x)=0


272 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 19:46:58
>>269
ありがとうございます。>>268でI=xK[x]のときf_0(x)=xだから
g(x)=x^2のときはg(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
かつdegr(x)<degf_0(x)またはr=0とはならないと思うのですが、
K[x]はユークリッド整域だから実際にはなっているのですか?
それとも>>268の記述が誤っているのですか?

273 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 19:50:24
>>271
再度確かめてみましたが、やはりg(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
となっています。ということは教科書が間違っているということでしょうか?

274 :132人目の素数さん:2005/08/21(日) 22:39:39
>g(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
まあこれくらいの誤植はあるだろう。
で、それは例えば>>271のように読むとしても
本来の疑問は解決していないようだね。

とりあえず多項式のことは忘れて、整数で同じ事を考えてみたらどうだい。

任意の二つの整数(今は便宜的に a>0 とする)a,bに対して
b=a*q+r 0<=r<a を満たすq,rが、ただ一組存在する。       ・・・(*)

これはいいよね? 例えば a=3,b=14 ならば 14=3*4+2 だから
q=4,r=2 となるわけだ。もちろんrの条件を無視すれば 14=3*2+8 とか
14=3*6+(-4) とか、いくらでも成り立つけど、rの条件を満たすような
q,rはたった一組しかないよ、と言っている。
で、>>268で引用している教科書も扱う対象が多項式になっただけで
全く同じことを言っている。

あなたの解釈
>このようになっているのですが、なぜg(x)=f_0(x)g(x)+r(x)
>かつ degr(x)<degf_0(x)またはr=0 ということがいえる
>のですか?
は、(*)で言うなら多分「b=a*q+r と表せば、このとき 0<=r<a となる」というものだろう。
これはもちろん間違い。

275 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 01:09:06
正規部分群は学部1年生には難しいと思う。

276 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 01:15:47
簡単だよ

277 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 03:14:42
  小 正    // ̄> ´  ̄    ̄  `ヽ  Y  ,  ´     )   大 え
  学 規    L_ /                /        ヽ  学  |
  生 部    / '                '           i 生 マ
  ま分    /                 /           く  ?  ジ
  で 群    l           ,ィ/!    /    /l/!,l     /厶,
  だ が   i   ,.lrH‐|'|     /‐!-Lハ_  l    /-!'|/l   /`'メ、_iヽ
  よ 分   l  | |_|_|_|/|    / /__!__ |/!トi   i/-- 、 レ!/   / ,-- レ、⌒Y⌒ヽ
  ね か   _ゝ|/'/⌒ヽ ヽト、|/ '/ ̄`ヾ 、ヽト、N'/⌒ヾ      ,イ ̄`ヾ,ノ!
   l ら  「  l ′ 「1       /てヽ′| | |  「L!     ' i'ひ}   リ
   ん    ヽ  | ヽ__U,      、ヽ シノ ノ! ! |ヽ_、ソ,      ヾシ _ノ _ノ
-┐ て   ,√   !            ̄   リ l   !  ̄        ̄   7/
  レ'⌒ヽ/ !    |   〈       _人__人ノ_  i  く            //!
人_,、ノL_,iノ!  /! ヽ   r─‐- 、   「      L_ヽ   r─‐- 、   u  ノ/
      /  / lト、 \ ヽ, -‐┤  ノ  キ    了\  ヽ, -‐┤     //
ハ キ  {  /   ヽ,ト、ヽ/!`hノ  )  モ    |/! 「ヽ, `ー /)   _ ‐'
ハ ャ   ヽ/   r-、‐' // / |-‐ く    |     > / / `'//-‐、    /
ハ ハ    > /\\// / /ヽ_  !   イ    (  / / //  / `ァ-‐ '
ハ ハ   / /!   ヽ    レ'/ ノ        >  ' ∠  -‐  ̄ノヽ   /
       {  i l    !    /  フ       /     -‐ / ̄/〉 〈 \ /!
       {  i l    !    /  フ       /     -‐ / ̄/〉 〈 \ /!

278 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 09:42:48
L=C(X_1,X_2,X_3)を複素数体C上の三変数有理関数体、ωを1の原始三乗根とする。
LのC上の自己同型σ、τをそれぞれ
σ(X_1)=X_2,σ(X_2)=X_3,σ(X_3)=X_1, τ(X_i)=ω^iX_i i=1,2,3
で定義する。
K={f∈L|σ(f)=τ(f)=f}とする。拡大次数[L:K]を求めよ

お願いします。

279 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 11:03:04
>>278

[L:K]=9

280 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 10:57:19
環の名前の由来が気になる

281 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 11:00:18
以前どのスレかで教えて貰った記憶があるがどこだったか、、
剰余環のf(x)だけ進むとぐるっと一周して戻ってくるイメージが
名前の由来だとかいう話だったような

282 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 12:42:12
体はドイツ語の直訳ですな。

283 :278:2005/08/27(土) 15:31:21
すいません、過程もお願いします

284 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 09:03:08
>>283

σとτの位数は両方とも3。しかも両者は可換。だからσとτで生成される
群Gは位数3の巡回群の直積。よってGの位数は9.
Kはこの群の不変体だから、L/Kはガロワ拡大でこのガロワ群はG。

285 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 10:40:00
27。


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