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数理論理学 基礎

1 :132人目の素数さん:02/10/21 23:33
数理論理学のうち、基礎的な部分の話題を扱います。

主なテーマは、古典命題論理と、1階古典述語論理。
シンタクスとセマンティクス、証明図、代数モデル、等。

また、それらの発展として、様相論理・直観主義論理を含む
非古典論理、2階述語論理などの話題もアリですが、あくまで
基礎ですので、大部分の数理論理学者が異を唱えない範囲に
とどめるようにしてください。

話題の多少の逸脱は構いませんが、極度に哲学的な議論や、
人物・立場の批評、数学史考証、罵り合いなどは、各自判断の上
別スレにお回りくださるようお願いします。

2 :1:02/10/21 23:33
関連スレ

より高度な話題はこちら
基礎論なぜなにスレッド その{φ,{φ}}
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014140987/

日常語との差異を考察
数学で用いられる日本語表現
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1020836761/

濃度とか順序とか超限なんちゃらとか
:::集合の本質とは何か:::
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1005480805/

らむだ、こんびねーた(今のところ糞スレ)
λの世界
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026997804/

数理論理学で有名な教授(dat逝)
http://cheese.2ch.net/math/kako/1007/10075/1007564373.html

3 :132人目の素数さん:02/10/21 23:55
基礎というのは入門レベルという意味だよね?

4 :1:02/10/21 23:59
>>3
そうです。すみません。
>>1の内容にある「基礎」という部分は、全て「入門」に
置き換えて解釈して頂いて結構です。

5 :132人目の素数さん:02/10/22 00:52
「数学基礎概説」(大芝)vs「証明論入門」(外史&八杉)

先に読むべきはどっちでしょっかー?

6 :加護天使 ◆j/LLggzims :02/10/22 02:09
>>5
”林晋 数理論理学 コロナ社”のほうがよさそう。

7 :132人目の素数さん:02/10/22 04:16
>>1
お勧めの本教えれ

8 :O ◆UZLwofAcnQ :02/10/22 12:21
ゼミで個人で服部なんとかの放送大学用教材読んでます。
14章くらいあるんだけど7章の構造んとこで詰まってる。

9 :O ◆UZLwofAcnQ :02/10/22 12:23
質問です。ゲーデルの一階述語論理の完全性定理って
トートロジーと一階述語論理の知識だけで理解できますか?

10 :132人目の素数さん:02/10/22 12:29
>>1

M_SHIRAISHI先生のHP↓

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html

で「決まり」だろが、ヴァーカ。

11 :132人目の素数さん:02/10/22 12:54
>>10
真面目にやろうとしてる人たちの邪魔するなよ(w

12 :132人目の素数さん:02/10/22 12:58
スレスト希望( ̄ー ̄)ニヤリッ

13 :132人目の素数さん:02/10/22 13:14
>>10は他のスレ逝け

14 :10:02/10/22 13:24
>>11

まじめな話だ、ヴァーカ!!!

テメエら、大恥かきたいか!!!

15 :10:02/10/22 13:59
>>10
>>14
の言う通りだよ。 M_SHIRAISHI氏のHPは、そのタイトルのでかいのに
驚かされるが、内容よく読んでみると、真剣そのもので、タイトルは
内容をそのまま反映してるよ。
これの英語版が準備中のようだけど、それが出来上がったら、世界中の
注目を浴びることになる可能性、大きいと思うな、俺。



16 :132人目の素数さん:02/10/22 14:31
>>10=>>14=>>15
ジサクジエンするなら名前くらい書きかえようね。

17 :15:02/10/22 14:43
>>16
ジョークの分からない人がそんなこと書いてくるの待ってたんよ〜ん。

>>14 の次に出してるのに、自作自演だったら、「二重カキコ」で
投稿はリジェクトされるはずじゃあなぁ〜い?(w


18 :16:02/10/22 14:52
???

19 :16:02/10/22 14:55
???

20 :132人目の素数さん:02/10/22 15:00
恥ずかしい10のいるスレはここですか?

21 :132人目の素数さん:02/10/22 15:00
>>17
御意。
# でも、わざと人を嵌めるってのは、チミも「人が悪い」ねっ!

22 :132人目の素数さん:02/10/22 15:04
>>21
おいおい。納得するなよ。
投稿時間の差をみてみれ。第一二重カキコじゃねえじゃねえか。

23 :132人目の素数さん:02/10/22 15:05
????

24 :132人目の素数さん:02/10/22 15:06
>>22
>>21も10だと思われ。

25 :132人目の素数さん:02/10/22 15:09
>>22>>21>>10 って、どういうこと????

26 :132人目の素数さん:02/10/22 15:13
なーんつーか、俺、こんがらがってきた。 
もう、ここ来るのよそっと。

27 :132人目の素数さん:02/10/22 15:17
これこそ論地学の問題です。

28 :132人目の素数さん:02/10/22 15:17
2ch初心者でもない限り、こんがらがるほどでも

29 :132人目の素数さん:02/10/22 15:29
結局論理ネタって荒れるのね(トホホ
GやMシラのいない世界

30 :132人目の素数さん:02/10/22 15:33
俺、「ならば」の問題で悩んだくちの一人なんだけど、M_SHIRAISHI氏の
HPでは(ある意味で)この問題が鮮やかに「解決」されているのは事実
だよなー。 本当のところ、数理論理学は今後どうなっていくんだろう?


31 :132人目の素数さん:02/10/22 15:37
どう悩んだの?
どう「解決」されたの?
おせ〜て。


32 :132人目の素数さん:02/10/22 15:39
>>30
その意味からして、 >>14>>10 が逝っているのは、本当にその通りだと、漏れには思えるが・・・。



33 :132人目の素数さん:02/10/22 15:44
>>31
ひとにたずねるより、自分でM_SHIRAISHI氏の
http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
読んでみろつーの! 

あれ読むのって、けっこう骨おれるけどな(w

34 :132人目の素数さん:02/10/22 15:45
読みたくないからきいたのに。。。

35 :132人目の素数さん:02/10/22 15:50
>>34
「ラクしよう」と思うんだったら、論理学なんか勉強すんな、アホ!!!

36 :O ◆UZLwofAcnQ :02/10/22 16:41
誰も>>9に答えられない(ワラ

37 :132人目の素数さん:02/10/22 16:47
>「ラクしよう」と思うんだったら、論理学なんか勉強すんな、アホ!!!
なんでそんなにイライラしてるの?

38 :132人目の素数さん:02/10/22 17:01
>>9
特に専門的な知識は必要ないと思います。
私が完全性定理を習ったのも、大学2年の時の
予備知識を仮定しない論理学の授業で、ヘンキンの証明を教わりました。
ただ、モデルについてちゃんと理解してないと大変かもしれません。
完全性定理は、実質的にはモデルの存在定理ですし。
今思えば、その時は私はモデルというものがよく分かってなかったので
完全性定理もよく理解できていませんでした。

39 :O ◆UZLwofAcnQ :02/10/22 17:07
>>38
ありがとうございます。
ヘンキンの証明というものはわかりませんが、
「モデル」について理解しないとだめなのですね。
今、ゲーデルの原論文を読むように先生に誘導wされていて、
とりあえず一階述語の完全性定理なら楽かなと思い読んでいます。
専攻も¬(数学∨論理学)な阿呆ですが頑張ります。

40 :132人目の素数さん:02/10/22 18:25
Wangのアルゴリズムについて書いてある本ってあったっけ?

41 :132人目の素数さん:02/10/22 18:26

どうして 偽⇒偽 偽⇒真 を真と定義するの?


42 :132人目の素数さん:02/10/22 18:32
>>41
定義しなくてもいいんじゃねぇの?自分で相応の体系を作れれば

43 :132人目の素数さん:02/10/22 18:40
>41
ハイチュー律、逆は真ならず、推移律を満たそうとすると
必然的にそう定義せざるをえなくなる。
「論理学をつくる」(戸田山)参照

44 :41:02/10/22 19:00
早速レスくれてありがとーございます。
よく解らないけど、今度その本を見てみます。

45 :132人目の素数さん:02/10/22 21:13
>>39
ゲーデルのオリジナル論文にヘンキンの定理は出てこない。

ゲーデルのオリジナルに近い完全性定理の証明は「現代論理学入門」に
のってたはず。

モデルの存在定理に関わる面白い定理があるので、ゲーデルのオリジナルに
こだわらず標準的な教科書で勉強することをすすめる。

46 :132人目の素数さん:02/10/22 21:17
ちなみに,ヘンキンによる証明は松本和夫の『数理論理学』にも載ってる.

47 :132人目の素数さん:02/10/22 21:19
>>30
relevant logic でぐぐれ。べつに「ならば」をめぐって研究してるのは御大だけではない。
ちゃんとオーソライズされた研究なんぞいくらでもあるぞ。

#御大はあんなものはだめといってるけどな(笑)

日本ではあまり知られてないだけ。

48 :132人目の素数さん:02/10/22 21:26
「ならば」ってさぁ、単なる2変数の論理記号なんじゃないの?
他にそういう論理記号の関数作ればそれでOKじゃないの?

49 :132人目の素数さん:02/10/22 21:57
>>48
それがどんなにめんどくさいことかよく認識しろよ(苦笑)

50 :132人目の素数さん:02/10/22 23:14
そういや非古典論理の和書って少ないね。
だから>>30みたいな意見が出るんだろうか。

51 :132人目の素数さん:02/10/22 23:30
教養としてのサナチョバ[論理形式とは何か]

1 :謎の覆面仮面 :02/09/18 18:43
<厨房による厨房のための哲学教養講座シリーズその1>

 [論理形式とは何か]

http://academy.2ch.net/test/read.cgi/philo/1032342220/-100

52 :132人目の素数さん:02/10/23 00:35
「PならばQ」が、Pが偽のとき真だ、という事実は「矛盾した理論では任意
の命題が真」という事実に帰着される。これは直観主義論理でも正しい推論
だが、それすら認めないのは最小論理と呼ばれる。

53 :132人目の素数さん:02/10/23 01:01
>>52
「矛盾した理論では任意の命題が真」を認めないというだけでは
最小論理の特徴づけにはならない。他にもいろんな体系で成り立た
ないよん。

最小論理は、排中律とかほぼほとんどの否定の性質といわれるものが
成立しないからにゃあ。(だから最小なんだけど)

54 :132人目の素数さん:02/10/23 01:04
>>50
そういうことなんだろな。せいぜい、直観主義論理、最小論理、量子論理と
様相論理(K, S4, S5あたりで、S3, S3.5, S3.4, D とかはでてこない。)、ファジー論理ぐらい
かな?

55 :52:02/10/23 07:19
53氏のツッコミがあったので正確に述べると、¬PをP⇒⊥で定義して¬を基本論理
記号からはずし、ゲンツェンタイプのNJで記述された直観主義論理の推論規則から
(⊥消去)を除いた推論体系が最小論理

56 :132人目の素数さん:02/10/23 07:38
入門レベルのスレだってことをお忘れなく

57 :132人目の素数さん:02/10/23 09:43
話題は古典論理限定にしたほうがいいんじゃない?

58 :132人目の素数さん:02/10/23 10:46
>>57
それでは入門にすらならないと思われ(笑)日本語の教科書レベルの
話ならここのほうが良いような。最小論理なら難しい話じゃないし、
初等教科書レベルの話でしょう。

話が難しくなってきたころ合いを見計らって元祖へ誘導でよいのでは
ないかと。


59 :132人目の素数さん:02/10/23 11:09
>それでは入門にすらならないと思われ(笑)
そんなことはないんじゃない?
>>40>>48を見るまでもなく、古典論理もよくわかってない人は大勢いるでしょ。

話題の限定は1に決めてもらうのがいいのではないかと。

60 :132人目の素数さん:02/10/23 11:32
入門レベルの知識を既知としているのか?

それとも論理学の本はいっさい読んだことがない
あるいは読み始めたばかりの人を対象とするのか?

明確にしたほうがいい。

61 :132人目の素数さん:02/10/23 13:01
まずは、エムシラの新論理学とやらをコテンパンにしてから。
その程度のことができなれば論理学を語る資格はない。

62 :132人目の素数さん:02/10/23 13:09
基礎論関連スレってどれを見ても同じ(w

エムシラ、シンゴ、クロッキの話
あとは説明にも会話にもならない知識のひけらかし


63 :132人目の素数さん:02/10/23 13:10
人生ネタがぬけてるぞ。

64 :132人目の素数さん:02/10/23 13:40
何でもいいけど知識ひけらかしは他のスレでおながいしますよ。ええ。
例えば学歴板とか、ペット大好きとか。

65 :132人目の素数さん:02/10/23 16:08
>>61
>まずは、エムシラの新論理学とやらをコテンパンにしてから
そんなことしようとしたら返、り討ちにされそ。 俺らのレベルでは。(^^;)

66 :132人目の素数さん:02/10/23 16:15
>>65
そだな。「とんでも旗本の筆頭マツシン痰」が、御大の逆鱗に触れて、叩き殺されたってのは、有名な話だもんなー。

67 :132人目の素数さん:02/10/23 16:40
誰かエムシラの論理改革をコテンパンにしてくれ.

68 :132人目の素数さん:02/10/23 17:45
もう、「違う宇宙に棲んでる者同士」という認識でいいんじゃない?
はっきり言って罵倒合戦には飽き飽き。
どうせ「議論」にすらなっていないんだから、他でやってくれよ。

69 :132人目の素数さん:02/10/23 18:03
>>59
>話題の限定は1に決めてもらうのがいいのではないかと。

それならもう1に非古典論理も簡単なのはありってかいてあるやん。

70 :132人目の素数さん:02/10/23 18:18
>>59
>>40>>48を見るまでもなく、古典論理もよくわかってない人は大勢いるでしょ。

もちろん、そういうふつうの質問はめいんでしょ。で、初心者が初等教科書を読んでの
疑問もここで吸収するのが趣旨なら、簡単な非古典論理の話題もここであつかった方が
といいたかったわけで。

簡単な非古典論理の話をして「論理革命」への免疫をつけるのも初心者には
親切なような気がする今日この頃。

71 :132人目の素数さん:02/10/23 18:19
特定人物ネタはよそでやっとくれ。

>人物・立場の批評、罵り合いなどは
>別スレにお回りくださるようお願いします。

72 :132人目の素数さん:02/10/23 18:38
簡単な非古典論理の話をして、「論理革命がなぜ必要なのか」の道案内をするのも
初心者には親切なような気がする今日この頃。

73 :132人目の素数さん:02/10/23 18:42

このスレは、「荒らされる宿命にあるのか」って感じが・・・。

74 :132人目の素数さん:02/10/23 18:44
fjでも2ちゃんねるでもある程度の期間以上エムシラと他のやつらとの
やりとりをみたことがあれば一目瞭然なんだが、エムシラはfjでもここ
でもコテンパンにされているのよ、既に、激しく。
ただ、彼にその事実を認識させるのが恐ろしく困難なだけで…。

75 :132人目の素数さん:02/10/23 20:15
>>74
論理革命はなしにしようよう。

76 :132人目の素数さん:02/10/23 21:34
>73
てゆーか、論理&基礎論ネタは荒らされる
Gと白石が死ぬまでは駄目だね

77 :132人目の素数さん:02/10/23 23:28
「エムシラ」「Dr.G」「論理改革」等々の文字列を含むレスは、
(たとえどんなに有意義っぽいレスであっても)このスレでは放置する
(或いは上の文面を引用する)、とかいう決まりにすればどうだろう? ダメ?

78 :132人目の素数さん:02/10/23 23:33
しかし、こんなことから話し合わなければならない数理論理学っていったい、、、(トホホ

79 :132人目の素数さん:02/10/24 00:53
>Gと白石が死ぬまでは駄目だね
Gのほうなら、もうだいぶ前に死んでしまってるけど・・・。

80 :132人目の素数さん:02/10/24 01:52
こんなことから話し合わなければならない数理論理学って、さすがにスバラシイ。

81 :132人目の素数さん:02/10/24 02:40
昔、天文学で、天動説が地動説に取って代わられようとしていたのと同じようなことが、
今、論理学の世界でおきつつあるのかも。
ここ、数年、目が離せないなぁー、ワクワク、ゾクゾク。



82 :132人目の素数さん:02/10/24 02:41
>>81
ンナワケネーww

83 :132人目の素数さん:02/10/24 07:47
>Gのほうなら、もうだいぶ前に死んでしまってるけど・・・。
白石なら、最初から死んでしまっているけど・・・。

84 :132人目の素数さん:02/10/24 07:52
>>82

「ンナワケネー」のかどうかは、数年のうちに分かることじゃない。

85 :1:02/10/24 07:54
>>57

話題を古典論理に限定する必要はありません。

>>58

賛成。ただ昔の教科書は不親切なのでその点は真似なさらないように。

>>59

古典論理を理解するために、非古典論理を除く必要はないでしょう。
いまここで私が決めました。もう文句はないですね。

86 :1:02/10/24 07:56
>>60

既知概念はないとします。
しかし、それは教科書で語られることを排除することにはなりません。
ここでカキコする人は、簡潔に解説をお願いします。
それができない場合には、書きこみをご遠慮いたします。
ここのスレッドの目的に反するからです。

87 :132人目の素数さん:02/10/24 07:57
>>83
>白石なら、最初から死んでしまっているけど
それって、どこの“白石”のこと? 
M_SHIRAISHI氏なら、目下、fj で「大活躍」中だけど。

88 :1:02/10/24 07:58
>>61

ここではその話題は遠慮してください。
特定人物に対する論評も避けてください。


89 :1:02/10/24 07:59
>>87

数学と全く無関係な話題は他所でお願いします。

90 :132人目の素数さん:02/10/24 08:02
>それができない場合には、書きこみをご遠慮いたします。

君が遠慮してどうする(w

91 :132人目の素数さん:02/10/24 08:07
>>90

書きこみをご遠慮ください。


92 :1:02/10/24 08:07
>>91は1の書きこみです。

93 :132人目の素数さん:02/10/24 08:49
2chでスレを管理しようとする>>1はアフォですか?

94 :132人目の素数さん:02/10/24 10:23
1はトリプ付けるべし

95 :132人目の素数さん:02/10/24 14:21
>>93
>2chでスレを管理しようとする>>1はアフォですか?
阿呆ですけど、何か?

96 :132人目の素数さん:02/10/24 14:43
いっそのこと、>>1も今井のように自分で板作れば?

97 :132人目の素数さん:02/10/24 15:39
質問。古典論理って何

98 :132人目の素数さん:02/10/24 15:59
>97
誤解を恐れずに簡単に言ってしまえば
君が数学の問題を考える時に使っているであろう論理を
整理してまとめたもの。

、、、というのは乱暴であろうか(w

99 :132人目の素数さん:02/10/24 16:58
乱暴ってゆうか、わかんないと思うw

100 :132人目の素数さん:02/10/24 17:26
何となく98,99が同一人物に見えた。
レスが似てるからどうなんだ?といわれると返答に困るけど。

101 :132人目の素数さん:02/10/24 22:08
>>98
>君が数学の問題を考える時に使っているであろう論理を整理してまとめたもの
なーんつーのが、“古典論理”に対しての「典型的な誤解」!

102 :識者:02/10/24 22:15
"古典論理"と呼ばれているものは、フレーゲに始まり、ラッセル、ヒルベルトと受け継がれた
論理学理論で、ゲンツェンのLK(エル・カー)と同値とみなされているもののこと。

103 :132人目の素数さん:02/10/24 22:35
>>102
もっと平易に、直観的な説明をしてくれ。

104 :132人目の素数さん:02/10/24 22:44
フレーゲがなんたら、なんてゴタク並べるくらいなら、
「古典論理」=「LKで証明可能な論理式全体」
でいいじゃん。

尤も、これは「古典論理の定義を述べよ」という試験問題に
対する答えであって、初心者がこんな説明でわかるわけがないけど。

105 :132人目の素数さん:02/10/24 22:49
白石美帆

106 :132人目の素数さん:02/10/24 22:53
演繹論理の推論図の仮定の除去が分かりません。

107 :132人目の素数さん:02/10/24 23:01
論理学理論
この回文初めて見たYO

108 :132人目の素数さん:02/10/24 23:03
>「古典論理」=「LKで証明可能な論理式全体」

違うんでない?

109 :132人目の素数さん:02/10/24 23:10
ではLKとは?
ってことになっちゃうわけで、そういう答えでは
厨房は納得して帰ってくれないのです。


110 :厨房:02/10/24 23:45
納得出来ないから変えれないモナー

111 :132人目の素数さん :02/10/25 01:16
数理論理学とは違うかもしれないけれど、
マグロウヒル大学演習とかってやつで、論理学T、Uってあるじゃん??
あれで勉強するのはどう?
やっぱちゃんとした数学書で勉強したほうがいい??

112 :132人目の素数さん:02/10/25 10:19
マグロウヒルってなんか馴染めない。あれがアメリカンスタイル?

113 :132人目の素数さん:02/10/25 14:58
古典論理は、「ならば」の推移律とウィークニング、それと二重否定の除去を
認める形の論理体系、かな。

114 :132人目の素数さん:02/10/25 15:27
LKってエルケーって読んだら笑われるの?

115 :132人目の素数さん:02/10/25 16:54
エルカー
いるかー

116 :132人目の素数さん:02/10/25 21:04
じゃLJはなんて読むのよ


117 :132人目の素数さん:02/10/25 21:50
エルジャー

118 :132人目の素数さん:02/10/25 21:53
ワラタ

119 :132人目の素数さん:02/10/26 04:12
>>114
別に笑われることもないと思う。環境にもよるかもしれないが。

120 :132人目の素数さん:02/10/26 06:11
エルヨット

121 :132人目の素数さん:02/10/27 19:07
エルよど号

122 :132人目の素数さん:02/10/28 03:38
このスレ終了。

123 :厨房:02/10/28 04:59
とりあえず論理革命について教えてくれ

124 :132人目の素数さん:02/10/28 17:39
論理革命とはエムシラによって唱えられている呪文。

エムシラがケンブリッジで授業を聴いた可能性があると思われる
Susan Haack の本で、古典論理以外の可能性について述べた一文
があり、非古典論理の研究をする人のいう、まあ普通のことが
書いてある。これを拡大解釈し、二階のベン図という、ロンドンの
二階のだてバスのイメージをおった子供だましをかかげ、HPと
Internet の掲示板でのみの活動により、常に 4,5 年後をめどに
起きるはずである革命についての呪文。この呪文によって拘束を
受けているものが、2人存在し、一人はエムシラであり、もうひ
とりはマツシンといわれているものである。詳しいことはネット
数学者のスレッド参照のこと。

125 :132人目の素数さん:02/10/28 22:46
>>124=マツシン

126 :厨房:02/10/28 22:51
マツシンのオジンのことは、どーでもいいのだ。

127 :132人目の素数さん:02/10/28 22:52
このスレッドは終了しました。

128 :厨房:02/10/29 07:34
終了を定義して下さい

129 :132人目の素数さん:02/10/29 11:52
>>128
終了=「発言番号が1000に達し、なおかつ、次スレが建たないこと」を十分条件とする状態。

130 :132人目の素数さん:02/10/29 12:55
>>111
あれは多分普通に数学をするときに必要な部分の話が載ってる本だから、
他の教科書を読む前にこなしておくって位置づけではないのかなあ??

マグロウヒルは「集合論」しか持ってないので推測でしかないけど。

131 :132人目の素数さん:02/10/29 21:40
ーーーーーー発言番号が1000に達し、なおかつ、次スレが建たないことーーーーーーー

132 :132人目の素数さん:02/10/29 21:49
>>131
「十分条件」が抜けてるよ

133 :132人目の素数さん:02/10/30 19:03


134 :132人目の素数さん:02/10/31 01:25
このスレッドは終了いたしました。

135 :132人目の素数さん:02/10/31 03:45
このスレッドが再開したがっています。

136 :132人目の素数さん:02/10/31 10:26
テイラー展開って何に使うんですか?
実務現場での応用例教えて下さい

137 :132人目の素数さん:02/10/31 22:46
>>136
スレ違いな上にマルチぽ。こないだ問題スレで聞いた奴だと同じだろお前。

138 :132人目の素数さん:02/10/31 23:04
確かにマルチですがそれが何か?
くそスレ乱立させるやつよか、よっぽどディスク無駄使いしてないしヨロシイかと
しかもオレの場合、2つのスレに書いただけだし
そもそもマルチのどこが悪いか言ってみて下さいよ、言うほどウザイ事じゃないと思うけど
マルチするとすぐにウザイとか言う奴、条件反射的にまわりに釣られて言うのはやめて下さい

139 :132人目の素数さん:02/11/01 18:47
↑ヴァカ発見

140 :132人目の素数さん:02/11/01 18:50
137=139
見苦しいぞ。

141 :132人目の素数さん:02/11/01 20:36
>>140
確かに。

でも>>136の質問はツマラン。

142 :132人目の素数さん:02/11/01 20:41
このスレッドは終了いたしました。

143 :132人目の素数さん:02/11/02 00:19
LJ=エルヨット?


144 :132人目の素数さん:02/11/02 00:20
あと、マルチってなんですか?

145 :132人目の素数さん:02/11/02 04:20
このスレッドは終了いたすますた。

146 :132人目の素数さん:02/11/02 10:53
>>144
複数

147 :132人目の素数さん:02/11/02 11:33
終了したらしいので煽り。
スレ違いなことにはコメントしないの?>>138

148 :132人目の素数さん:02/11/04 00:28
このスレッドは終了いたすますた。

149 :132人目の素数さん:02/11/05 05:37
終了いたすますたは何故上げる(2ch七不思議の一)

150 :132人目の素数さん:02/11/10 01:19
「終了いたすますた」は、終了すたから上げる。

151 :132人目の素数さん:02/11/10 03:05
白石さんってまだお元気だったのですね。
5年くらい前から「あと数年で論理学が変わる」って逝ってません?
彼の「数年」ってどういう定義なんでしょうか。

しかしよくこんなにあからさまな自作自演ができるものだ。
まぁ彼の厚顔無恥は今始った事じゃないけど。
なーんてかまうとまた喜んじゃうんだろうな。皆さんスマソ。

152 :132人目の素数さん:02/11/10 12:19
>151
お元気、お元気!
彼の「数年」って、ってことですが、ネット数学者についてのスレッドでは
「エムシラの4,5 年後」という合成熟語として通用する言葉です。
未来はいつも4,5 年後、という説明がされており、決して来ない未来を
さす表現とされています。

153 :132人目の素数さん:02/11/11 13:18
1999年7月に大変革が起きると騒いでたノストラ厨に、
2000年あたりになってから、あれどうなったの?と訊いたよ。
どうだ俺の言ったとおり大変革が進行中だろ?
これから数年でもっと変わるぞ!
と目を輝かせてた。

154 :132人目の素数さん:02/11/13 01:39
>>152
マツシンというトンデモがネットに流したデマだろ。

155 :132人目の素数さん:02/11/13 01:42
誰か俺の悪口いってやがるな!

                         
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156 :132人目の素数さん:02/11/14 01:05
結論
エムシラ=マツシン

157 :132人目の素数さん:02/11/17 17:39

このスレッドは終了いたすますた。

158 :132人目の素数さん:02/11/17 23:00
>154
これは老中マツシンのながしたデマではありません。
ネット数学者スレッドにおける「定説」です。

159 :132人目の素数さん:02/11/17 23:12

このスレッドは終了いたすますた。

160 :132人目の素数さん:02/11/18 21:20
我々は264(http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1033320305/264)
何故このようなレスを書き込んだのかという疑問を解決するため、
264の故郷である(とhttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035039764/773が指摘した)
「数理論理学 基礎」スレに向かった。

ていうか、今こうして来たわけだが。(w その真相や如何に? 

161 :132人目の素数さん:02/11/19 00:01

         このスレッドは終了いたすますた。

162 :132人目の素数さん:02/11/19 07:44
>>160

てか、こっちのほうがよかない?

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014140987/

163 :132人目の素数さん:02/11/19 11:08
>>162
マツシン痰が基礎論スレの正規住人のわけないじゃん(w

164 :132人目の素数さん:02/11/19 12:20
tes

165 :132人目の素数さん:02/11/19 22:54
>>163
今ある基礎論スレの前のスレにはいたような気がする。

166 :132人目の素数さん:02/11/20 02:56
>>165
いつも通り間違い指摘されたか何かで暴れ出して
「そんな些末な数学的細部に興味はないね
ナイーブな哲学しか持たない数学小僧どもめ」
とかわめきちらしてたあれ?

167 :132人目の素数さん:02/11/20 07:06
>>166
いつも通り何が間違いか指摘もできない基地外が
何の根拠もなく間違いだと騒ぎ立て、あげくのはてに
「数学なんて興味ないね。高校は数学Tでおしまいだぴょーん」
とか開き直るのがオチ

168 :132人目の素数さん:02/11/20 07:32
>>160さん、ほら、今来てるよ264が!

169 :132人目の素数さん:02/11/20 07:48
>>168

君か?264というのは(笑)

170 :132人目の素数さん:02/11/20 07:53
>>168

てか、こっちのほうがよかない?

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035039764/l50

171 :132人目の素数さん:02/11/20 07:57
264
>ビジービーバー関数は決してシミュレーションでは求まりません。
>つまり一定の状態数を持つチューリングマシンでは表現できません。

>この件に関しては、計算論に関する基本的な教科書
>"Computability and Logic" Boolos and Jeffrey (Cambridge Univ. Press)
>をお読みください。

ん?別に変なこといってないじゃん。
chap4のUnconputablity via the busy beaver problem(p34-42)のことでしょ。


172 :132人目の素数さん:02/11/21 15:30
>>171
世間の狭い学部学生がしったかでかいているから、自分の狭い知識の範囲に
入ってないと「変なやつ」呼ばわりするのれす。


173 :132人目の素数さん:02/11/21 18:56
ていうか「計算論の専門家」ならもっと他に挙げる教科書あるだろ

174 :132人目の素数さん:02/11/22 07:23
>>173

264は専門家なの?そんなこといってないんじゃない?

ビジービーバー関数の計算不能性の証明が書いてある
本を紹介しただけなんじゃないの?

日本語で適当な本があればよかったんだろうけど
それがなかったんで、英語の本を紹介しただけでしょう。
だいたいBoolos-Jeffreyなんて基礎レベルの教科書だよ。
そんなんで、専門家面してると思うのはトーシロだって

175 :132人目の素数さん:02/11/22 08:14
「トーシロ」って言葉、久し振りに見たなあ。和んだ。

176 :132人目の素数さん:02/11/22 12:58
マツシン痰が常駐してるみたいなんで、ここを
【徹底】ネット数学者総合スレ【検証】
のIVとして使わない?

177 :132人目の素数さん:02/11/22 13:06
罵りと知識のひけらかし
論理やってる奴にろくな奴いない

178 :132人目の素数さん:02/11/22 14:39
初めの方は割と良スレだったのに、
「エムシラ」とかいうのが絡んだ途端に駄スレ化。


179 :132人目の素数さん:02/11/22 15:04
>>175はトーシロ。

180 :175:02/11/22 22:17
いや確かに私はトーシロですが。

181 :132人目の素数さん:02/11/22 23:37

      このスレッドは終了いたすますた。

182 :132人目の素数さん:02/11/25 12:14
数理論理学の良い教科書きほんぬ

183 :132人目の素数さん:02/11/25 15:20
数学板で、議論が盛んなのは数理論理学関係だけだね。
なんででしょ?

184 :132人目の素数さん:02/11/25 15:31
>>183

アホでもわかるからでしょ(w

185 :132人目の素数さん:02/11/25 18:00
>>184
むしろわからないから「議論」になるとおもわれ。

186 :132人目の素数さん:02/11/25 20:09
「否定」しやすいから

187 :132人目の素数さん:02/11/25 21:37
論理学というのは、命題(つうか判断というあいまい?なものを表す表明)を
扱うから、数学屋さんの好み易いものではないだろう。数学屋ってえのは、数
のようなキッチリしたものを論じるのが好きで、「論じる」ことを反省する必要
をあまり感じていない。数理論理学の主流は記号論理学で、命題を表す文や式を
意味無しの記号列と見て(もちろん、本来の意味との対応はきっちり背後に有る)
論じるから、数学屋でも扱い易いはずだが、一旦は記号列を意味抜きのものと見
たり、また意味有りのものと見たりとか、いろいろややこしいのだと思う。それ
の達人になるのは、ごりやくも有るのだが、誰にでも出来る事ではない。

188 :132人目の素数さん:02/11/25 21:41
「論じる」事自体を研究する学問であるが為に、実際の議論も盛んなわけか。

189 :132人目の素数さん:02/11/25 22:45
>>187

論理そのものは誰でも分かるんだよ。
ただ、論理に関する知見というものは、論理そのものを扱うのとは
別の話なんだよな。

例えばLKとかいう体系は、別に推論の厳密性の為に用いられる
わけではなくて、例えば無矛盾性を証明するのに、単純な記号操作
として考えるほうが都合がいいから用いてるわけ。
カットの除去だってそう。カットを除去することで余計な記号が
現れることがなくなって無矛盾性の証明が簡明になるからそうする
わけ。やってることは徹頭徹尾数学なわけ。

でもなんかそういう頭の切り替えが、普通の人にはどうも
あまり理解されてないというか、理解されにくいわけ。
そのあたりで、見解の相違が大きいんじゃないか?

190 :132人目の素数さん:02/11/25 22:51
>>189

ところで、昔は論理学の教科書っていうと必ずといっていいほど
LKについて説明してたけど、ボクはあれは普通の人の論理に
対する関心とはズレてるから、やめたほうがいいと思う。

例えば戸田山さんの「論理学をつくる」(名古屋大学出版部)でも
丹治さんの「タブローの方法による論理学入門」(朝倉書店)でも
LKなんて出てこなくて、代わりにタブロー法を用いてるけど、
あれは命題の証明手続きの説明という点では簡明でいいと思うよ。
計算機による自動証明もタブロー法がよく使われてるらしいし。

191 :132人目の素数さん:02/11/25 23:05
>>190

余談だけど、戸田山さんも丹治さんも哲学関係の人なんだよね。
でも、数学的にも、とっても分かりやすいと思うよ。



192 :132人目の素数さん:02/11/26 03:13
>>190
>計算機による自動証明もタブロー法がよく使われてるらしいし。

一般的には自動証明やplolog といえば「節」なわけですが。

自動証明はホーン節とかいった「節 closure」を扱うのが理論的な
背景とされるのれすが、タブロー法も実際は節に変換する手法でも
あるので、そういうこともいわれるのでせう。

193 :132人目の素数さん:02/11/26 03:22
やべ、スペル間違えた。節はclauseでやんす。

194 :132人目の素数さん:02/11/26 12:23
やべ、スペル間違えた。プロローグはprologでやんす。

195 :132人目の素数さん:02/11/27 03:12
prolog ----- もう化石の言語だな、それは。

196 :132人目の素数さん:02/11/27 07:23
>>192

細かいことをいうと、tableau法は、Prolog等で用いる
resolutionとは違う技法だよ。

ま、詳しいことはMelvin Fittingの本でも読んでチョ。

197 :132人目の素数さん:02/11/27 16:20
命題論理で両手法を比較すると、タブロー法は、与えられた式の否定を
選言標準形に直して、充足不可能性を調べる手法、レゾリューションは、
与えられた式の否定を連言標準形に直して充足不可能性を調べる手法。
これで説明になるれせうか?

一階の述語論理だと、連言標準形ではなくてスコーレム標準形な
わけでしが。

ちょっと調べたけど、タブロー法も論理データベースで利用されてるっ
ぽいね。

198 :132人目の素数さん:02/11/27 20:10
>>197
ま、そんな感じですね。

極東の島国日本じゃ、あまり知られてないだろうけど
タブロー法に関する国際会議も1992年以来開かれているのよね。
Melvin Fittingさんも委員会のメンバーなのよね。

http://i12www.ira.uka.de/TABLEAUX/

199 :132人目の素数さん:02/11/27 20:16
ついでだけど、自動推論に関する国際会議CADE
(Conference on Automated Deduction)は
もっと歴史が古くて1974から開かれてるのね
http://www.cs.albany.edu/~nvm/cade.html

最近だと同時にCADE ATP System Competition(CASC)
とかいう自動証明システムの競技会も開催されてるのよね
http://www.math.miami.edu/~tptp/CASC/

200 :132人目の素数さん:02/11/27 20:19
> タブロー法に関する国際会議も1992年以来開かれているのよね。

なんか法律関係の会議をネタに使ってるのかとオモタ
「国際学会」って書いてほすぃ。

201 :132人目の素数さん:02/11/28 22:17
>>198
うーんそのConference ぜんぜんしらなんだ。っていうか、Fittingさんて
現役なのか(笑)


202 :132人目の素数さん:02/11/29 16:05
>>201
Fittingさんは1942年生まれということでもう還暦です。
HPみつけました。なんかいい爺さんですね(笑)
http://comet.lehman.cuny.edu/fitting/

>>196の本はこれです。

First-Order Logic and Automated Theorem Proving.
Springer-Verlag, 1990. Second edition, 1996.

ちなみに、最近本を出したようですね。
確かゲーデルの神の存在証明の話だったような…
Types, Tableaus, and Goedel's God, Kluwer, 2002

203 :132人目の素数さん:02/11/29 19:00
>>202
僕のおやじより若かったのか。失礼しました(笑)、Fittingさん。

>確かゲーデルの神の存在証明の話だったような…

遠い昔の「現代思想」で紹介されてたね。

204 :132人目の素数さん:02/12/02 23:13

誰か俺の悪口いってやがるな!

                         
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205 :132人目の素数さん:02/12/12 14:11
age

206 :132人目の素数さん:02/12/16 15:13
From:Wakamatu kazuhiro (wtz@po4.synapse.ne.jp)
Subject:[RL] 同値とうそつきパズル
Newsgroups:fj.sci.math
Date:2002-12-14 22:20:02 PST
>A⇔(B⇔C) は (A⇔B)⇔C と同値

をひをひ、ホントかよ。(゜д゜;)

・・・調べてみた・・・

をひをひ、ホントだよ。(´д`;)

展開するとこうなる。

 (A∨B∨C)
∧(A∧¬B∨¬C)
∧(¬A∨B∨¬C)
∧(¬A∨¬B∨C)


207 :132人目の素数さん:02/12/19 01:12
Newsgroups: fj.sci.math
Subject:「論理的センス」の問題

From: M_SHIRAISHI

Wakamatu kazuhiro wrote:

> ところが RL の観点からは、(3) など(A⇔(B⇔C))⇔((A⇔B)⇔C)
> なんて論階が崩れすぎて表記すら出来ないのではないか?

(A⇔(B⇔C)) のような式を見て、「何か変だな?」という気が
しなかったとしたら、論理的/言語的センスが「鈍い」のだよ、
キミ―。  ヽ(^。^)ノ

208 :132人目の素数さん:02/12/19 11:56
475 名前:132人目の素数さん :02/12/19 10:54
>>474

M_SHIRAISHIの論理改革自体、
「「ならば」という言葉の
 形式論理における「誤用」と
 「正しい用法」に基づく論理の提案」

そんな言語ヲタクの彼が
「誤字脱字」の指摘に血道をあげるのは当然。
彼にとっては「重箱の隅」が全てなんだYO。


209 :132人目の素数さん:02/12/19 23:58
エムシラの電子本を買う気がしないのですが,あれは何が書いてあるんですか?
含意の再考に関しては,relevant logicで結果が出ているような気がするのですが.


210 ::02/12/20 01:48
買った者などいないと思われ(爆笑

211 :132人目の素数さん:02/12/20 01:58
>>210
いや、案外売れてるんじゃないのかな?
 
fjで「注文したので、届くのが楽しみだ」って記事に書いてた奴いたYO。

212 :132人目の素数さん:02/12/20 10:14
>>209
>含意の再考に関しては,relevant logicで
>結果が出ているような気がするのですが.

そうだね。M_SHIRAISHIが含意の問題に目をつけたことは
決して悪くはないのだが、その解決についていえば、
relevant logicのレベルにも至っていないね。
まるで今井数学が、今の実数論や複素数論のレベルに
至っていないのと同じように

213 :132人目の素数さん:02/12/20 14:15
>>209
もし、あなたが毎月出銭ランドなどで1万円を消費しても「安い」
と思えるような暇&裕福な人なら、エムシラの電子本を購入しても
良いかもしれません。一方、数年に1度そういうところで遊ぶことに、
身銭を切るような思いがあるなら、けっしてお勧めできません。

214 :209:02/12/21 01:11
>>213
助言はありがたいのですが,含意に関しては"Entailment"で十分ですね.

215 :209:02/12/21 01:19
relevant logicに関しては,慶応の岡田光先生が
「あんなものはくだらない.」
とおっしゃっていたそうです.
学部の卒論でrelevant logicを扱った私には,
どこがどういう風にくだらないのかさっぱり理解できないのですが,
どなたか説明できる方はいらっしゃいますか?


216 :132人目の素数さん:02/12/21 01:28
>>215
本人に聞けよ。

モデルの分けのわからなさから批判者がいることはたしかだが、
ジャンルとしては面白いことは否定できないだろ。

217 :132人目の素数さん:02/12/21 03:03
>>215
Copeland "On When a Semantics is not a Semantics: Some Reasons for Disliking the Routley-Meyer Semantics For Relevance Logic" は読んだ?

218 :132人目の素数さん:02/12/21 07:03
てかそれ系のロジックって目的がわからないんですが・・・
数学より他の分野で実用するためのもの?

219 :132人目の素数さん:02/12/21 09:41
>>215
>「あんなものはくだらない.」

そりゃ岡田さんだから言えるんだよ(笑)

そういえば、岡田さんは「基礎論は死んだ」ともいったらしい。

これらの発言と白石の暴言とは全然別の話



220 :132人目の素数さん:02/12/21 09:44
>>219
>「基礎論は死んだ」

これは、「数学の基礎付け」が失敗した
という意味で言ったと思われる。



221 :132人目の素数さん:02/12/21 11:55
>219
それは岡田さんがものをわかっていないからいえるってことですか?
>215
岡田先生は自分のやってることはまあ、面白いと思ってやってるんで
しょうね。ところで何やっていらっしゃるんですか?

222 :219:02/12/21 16:28
>>221
君はヴァカか(笑)

223 :132人目の素数さん:02/12/21 17:42
岡田先生がおっしゃるからには、
relevant logicは下らなくて、基礎論は死んでしまったんでしょうね。

ところで岡田先生ってどちらの方ですか?

224 :132人目の素数さん:02/12/22 02:54
>>218
ぐぐればいくらでも応用研究が出てくるぞ。調べてから愚痴を言うとよい。

とはいえ「適切さの論理」という訳語だけは理解できん。「連関論理」が
無難な訳語と思うんだがなあ。

225 :132人目の素数さん:02/12/22 03:03
>>223
>ところで岡田先生ってどちらの方ですか?

ぐぐれ。っていうか、慶応って書いてあるじゃん。(名前間違ってるけど)

しかし、線形論理もrelevant logic も substractural logic の
仲間なのに〜。なんでなかまはずれにするのかなあ〜。



226 :132人目の素数さん:02/12/22 09:46
>225
線形論理もrelevant logic もどっちも面白いとは思えないが
ご本人にしてみると似ているものは目の仇にするとか。

227 :132人目の素数さん:03/01/07 02:38

>論理学に於ける含意は何も実質含意の公理体系だけでなく、限定含意
>の公理体系、厳密含意の公理体系、更に等べき含意の体系、添加含意
>の体系等があり、

(M_SHIRAISHI)氏の恐るべきは、そう言うものの存在を(すべて)知った上で
あの結論にいたっているという点なのです。

(東工大教員:しどり ともき 氏)談


228 :132人目の素数さん:03/01/07 07:28
>>227

これって実は
「スィライスィって、実はなんもわかってねーじゃん。」
って言ってるんじゃん。(w

229 :山崎渉:03/01/11 12:16
(^^)

230 :132人目の素数さん:03/01/14 15:19
数学マタク関係ナイ ズブの素人ですが、
数理論理学オモシレーと思う私は以上でつか?

231 :132人目の素数さん:03/01/14 15:20
>>230
> 数学マタク関係ナイ ズブの素人ですが、
> 数理論理学オモシレーと思う私は以上でつか?

そう思うところが「ズブの素人」なんです

232 :132人目の素数さん:03/01/17 19:56
ほしゅしゅしゅしゅ

233 :132人目の素数さん:03/01/23 15:34
終わったな(w

234 :132人目の素数さん:03/01/23 15:47
嵐が来た…

235 :132人目の素数さん:03/01/23 15:47
浮上!

236 :132人目の素数さん:03/01/24 01:15
今amazonあたりで手に入るまともなreleant logicの本ってあります?
アンダーソンとベルナップのEntailmentは図書館で一週間しか貸してもらえないので・・・.


237 :132人目の素数さん:03/01/24 13:39
>>236
マトモで何を意味してるかによるけど、

An Introduction to Non-Classical Logic、Graham Priest
An Introduction to Substructural Logics 、Greg Restall

じゃだめなの?両方ともペーパーバックもあって安いよ。

238 :132人目の素数さん:03/01/24 13:41
ちなみに、Entailment は買って持っている私。本はあるうちに買わないとダメだよ。
日本の図書館は使い勝手悪いしね。


239 :236:03/01/27 20:33
>>237
どうもありがとうございます.
残念ながらうちの大学の図書館にはないようなので,
アマゾンで買ってみます.値段も手ごろですね.

240 :24才の男:03/01/27 20:59
僕の提言に乗せようとしているのですが、
数学の世界は数学のルールがあるからなのではないでしょうか?
僕の提言は、
      「ルールがあるなら世界ができる」
です。
ほかにも、野球には野球のルールがあるから、野球の世界ができる。
などです。


241 :132人目の素数さん:03/01/28 00:26
>>240
激しく既出ですが何か?「規約主義」でぐぐれ。

242 :132人目の素数さん:03/01/28 01:01
>>239
どういたまして。

Priest の本は様相論理や三値論理、直観主義論理も出てくるので
お買い得だと思うよ。

あと、Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent (Analytica)
はまだ在庫があるようだね。3万円だけど(苦笑

これにも、Priest や Mayer の論文が多数収録されているよ。

Frontiers of Paraconsistent Logic (Studies in Logic and Computation Series, 8)
は手ごろだけど在庫切れ。おれまだこれかってねーよ(泣)

あと、Relevant Logics and Their Rivals Richard Routley 著 のペーパー
バックはまだ在庫あるよ!もれも注文しよう。



243 :132人目の素数さん:03/01/28 07:46
>>240

世界にルールは必要ない。

ルールは幻

244 :132人目の素数さん:03/02/03 12:59
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044067158/
こちらもよろしくお願いします。

245 :132人目の素数さん:03/02/08 22:23
 

246 :age:03/02/19 05:09
ageage

247 :132人目の素数さん:03/03/06 03:54
LKって何の略なんだろう・・

248 :132人目の素数さん:03/03/06 05:12
   ______________
 /:\.____\
 |: ̄\(∩´∀`) \  <先生!こんなのがありました!
 |:在  |: ̄ ̄ U ̄:|
http://saitama.gasuki.com/mona/

249 :132人目の素数さん:03/03/06 06:10
日本語で書かれた良い入門書はありますか?

250 :132人目の素数さん:03/03/06 06:16
>>247

↓ここを参照。
http://blade.nagaokaut.ac.jp/cgi-bin/scat.rb/~poffice/news/fj.sci.math/264

ただし、Gentzen の原論文には何の略かは書いてないので、たぶん
前原さんが勝手に推測したんだと思う。

251 :132人目の素数さん:03/03/06 16:45
リンクありがとうございます

252 :132人目の素数さん:03/03/07 03:37
>>250
懐かしの fj.sci.math の記事だ。このころはよかったなあ(遠い目

253 ::03/03/08 00:47
>このころはよかったなあ(遠い目

まだ“エムシラ大先生”からヒドイ目に遭わされてはおらず、実名の“Shingo Matsumoto”で fj.sci.math に投稿できていたし・・・。(グスン

254 :132人目の素数さん:03/03/08 15:20
そのエムシラ大先生も他の連中から無視されて
fj.sci.mathから姿を消したね。


255 :132人目の素数さん:03/03/08 21:19
>>254
エムシラは未だにfj.sci.mathに粘着してますが何か?

256 :132人目の素数さん:03/03/08 22:58
>>254
まだぜんぜんがんばってるじゃないか。なに言ってんだ???

257 :132人目の素数さん:03/03/09 00:45
Newsgroups: fj.sci.physics, fj.sci.math
Subject: Re: エントロピー保存
From: M_SHIRAISHI

Tanaka-Qtaro-Yasuhiro wrote:
>
> (質量)+(エネルギー)+(情報)
>
> に目を展げると、エントロピー保存が言えるのではないか,そして,それが量
> 子力学と相対論,ミクロの世界とマクロの世界をつなぐ突破口になるのではな
> いか,というのが目くるめくような僕の予想なンだ

上記で、「僕の予想」とある部分を「僕のトンデモな予想」に置き換え
ましょう。 ヽ(^。^)ノ

情報が物質とかエネルギーに(可逆的に)転換するんだってぇ〜? 

笑わしちゃあイケナイ。

[ウサマ・ビン・ラディンが生存している]という情報が得られているけど、
この情報が、一体、どういう≪物質≫に転換すると言うのかな?

# ビン・ラディンが、もし、射殺されるようなことになれば、[ウサマ・ビン・
ラディンが生存している]という情報は≪消滅≫するわけだけど、そしたら、
この情報は[ウサマ・ビン・ラディンの死体とそれに撃ち込まれた弾丸]
に≪転換≫したとでも主張するのかな? 

冗談もいい加減にしようね。 ヽ(^。^)ノ





258 :132人目の素数さん:03/03/09 08:41
「良く知られているようにcut除去定理がなりたつ
体系の多くにおいては、その subformula property
を用いることにより決定可能性を導くことができる。」
とかあるんですけど、どうやって導くんでしょうか。

259 :132人目の素数さん:03/03/09 09:19
>>255-257

おそらくfj.jokesに投稿するつもりが間違ったのでしょう。
数学にまったく無関係の冗談ですから。ヽ(^。^)ノ


260 :132人目の素数さん:03/03/09 09:56
>>258
subformula property があれば、証明図をさかのぼっていくと、
記号の数が少なくなって証明図を伸ばすことができなくなるでしょう?
式に含まれる記号の数が有限ならいつか必ずとまりそうでしょ?

そんな感じかねえ。


261 :132人目の素数さん:03/03/09 17:51
>>260

直感的に納得できました。
分かりやすい説明ありがとうございます。

厳密な証明は後々自分できちんと調べてみたいと思います。

262 :260:03/03/10 23:21
どういたしまして。

263 :132人目の素数さん:03/03/20 00:46
age

264 :132人目の素数さん:03/03/21 12:19
Gentzenの自然数論の無矛盾性証明とGoedelの第二不完全性定理(無矛盾性の証明不可能性)との関係はどうだと考えればよいの?超限的証明と有限的証明の違い?

265 :132人目の素数さん:03/03/21 13:02
ゲンツェンの証明は自然数論の中では出来ないから、ということじゃない?
>超限的証明と有限的証明の違い
まあそんな感じなのかな、間違ってても私は責任持ちませんけど。

ゲーデルの作ったのは証明不可でも、ロッサーだか誰だかの作った
自然数論の無矛盾性を表す論理式は証明可能なんですよね、確か。

266 :132人目の素数さん:03/03/21 16:28
tondemo

267 :132人目の素数さん:03/03/21 16:35
>>265

ゲーデルの意味の証明(通常の意味)
ロッサーの意味の証明(途中に矛盾が現れない)
の同値性は自然数論では示されません。

ゲンツェンの意味の証明(カットが現れない)
もロッサーの場合と同様、ゲーデルの意味とは違います。

カット消去は、両者の同値性を示すものと考えられます。
したがって、その証明は自然数論では出来ません。

268 :132人目の素数さん:03/03/23 15:10
んでもなく初歩的な質問で申し訳ないのですが、

 Aが∀xBか∃xBの形の論理式のとき、任意の項tに対し
 B[t/x]の部分論理式はすべてAの部分論理式である。

というのが部分論理式の定義として本に載っているのですが、
この定義によれば、例えば

 ∀xP(x,y)

の部分論理式は、

 P(x,y)
 P(z,y)
 P(f(x,z),y)
 …

等々ということで良いのですよね。そして、

 P(x,z)
 P(x,f(y,z))

等々は違うと。

つまり、元々の論理式で「束縛変数だったところ」に、
任意の項tを代入する、という読みで宜しいでしょうか。

269 :132人目の素数さん:03/03/23 15:11
さらに

 ∀x∃yP(x,y)

の部分論理式は、

 ∃yP(x,y)
 ∃yP(z,y)
 ∃yP(f(x,z),y)
 P(x,y)
 P(z,y)
 P(f(x,z),y)

等々ということで良いのですよね。
間違っていましたらご指摘よろしくです。


270 :132人目の素数さん:03/03/26 11:44
特に間違いは無いと理解しておきます。

271 :132人目の素数さん:03/03/27 04:00
「情報科学における論理」でつね。

272 :132人目の素数さん:03/03/27 16:55
そうでつ。

273 :132人目の素数さん:03/03/27 16:56
にっこり

274 :132人目の素数さん:03/03/28 18:08
・理論Tが無矛盾ならば、理論Tはモデルを持つ
・理論Tがモデルを持つならば、理論Tは無矛盾である

というのは、ちょっと変形すると、

・理論Tが構文論的に無矛盾ならば、理論Tは意味論的に矛盾しない
・理論Tが意味論的に矛盾しないならば、理論Tは構文論的に無矛盾である

となりますよね。間違っているでしょうか?

275 :識者:03/03/30 02:06
>>274
「意味論的に矛盾しない」なんて用語法が間違い。


276 :132人目の素数さん:03/03/31 01:02
>>67
>誰かエムシラの論理改革をコテンパンにしてくれ

コテンパンにしようとして、本人がコテンパンにされてしまった(京大などの助手・助教授クラスを含む!)
のが実情なんだよなぁ〜。

# コテンパンにされてしまったヤシのうちで、もっとも悲惨な例が スンゴ(=松本真吾)。

エムシラ本人はケンブリッジ講演の予定を公言してしてるんだから、コテンパンにされるのを
願うとしたら、頼みはケンブリッジの教授連だろ。 日本には御大に太刀打ちできる者は
いないと思われ (^^;)

277 :132人目の素数さん:03/04/01 23:45
>>276
>日本には御大に太刀打ちできる者はいないと思われ (^^;)

ショック・・・。

278 :132人目の素数さん:03/04/02 07:32
”御小”の何に太刀打ちするのかな?

罵倒?頑固?まさか知性ではないよね(w

279 :132人目の素数さん:03/04/02 08:59
>>278
罵倒と茶目っ気と思われ。

280 :132人目の素数さん:03/04/02 16:34
”御小”って、M_SHIRAISHI御大へ無謀にも太刀打ちしてコテンパンにされた「アッフォーの松芯炭」のことか?

281 :識者:03/04/02 17:24
よく検討してみたのだが、どうも、「M_SHIRAISHI氏の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (P⊃Q)⊃(¬Q⊃¬P) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
M_SHIRAISHI氏の言う[P(x)⇒/x/Q(x)]⇒/p,q/[¬Q(x)⇒/x/¬P(x)]
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏(たち?)の主張する「論理革命」は、恐らく、世界を席巻することとなろう。

282 :132人目の素数さん:03/04/02 17:33
>>281
そんな心配はしないで、4,5年後のケムブリッジの講演の準備を
されたし。

283 :132人目の素数さん:03/04/02 17:35

   /⌒⌒⌒⌒⌒⌒ ))    
  (   从    ノ.ノ    
   ( ./  ̄ ̄ ̄ ̄\     
   |::::::  ヽ     丶.   
   |::::.____、_  _,__) 
  (∂: ̄ ̄| ・ー |=|・ー |   
   (  (   ̄ )・・( ̄ i   Mシライシことペク・チョン同志はいつも前説だけしかやらないニダ
   ヘ\   .._. )3( .._丿   
 /  \ヽ _二__ノ|\
/⌒ヽ.   \__/\i/\_|    
|   ヽ       \o \  
|    |          \o \


284 :首領:03/04/02 18:04
識者=Mシライシことペク・チョン同志に告ぐ。

我々EURMSの目的は、欧米の形式論理学を批判することにある。

ペク・チョン同志の
http://www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html
は、Bew xの問題点が十分明確でない。

論理の形式化によって、同一論階でBew xなる
述型が書けてしまったことが、形式論理学の
最大の誤りである。
ペク・チョン同志のHPには、これが明確に記載されていない。

我々は、常に一つ上の階で”証明”するという
弁証法的論理により永久革命を推進するのであって
この点を蔑ろにするならば、ペク・チョン同志は
EURMSにとって好ましからざる修正主義者となる。
真摯なる自己批判を望む。

偉大なる首領より。

285 :132人目の素数さん:03/04/02 23:21
>>284
マツシン、無駄な抵抗だ(爆笑

286 :132人目の素数さん:03/04/03 01:34
>>281
そういう話はネット数学者すれでやってくれ。

一言だけ言わせてもらうが,御大の意見が

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Honron-2.html#02-2

とか、みると、一見ただしげなのは、ある意味あたりまえで,
標準的な論理学会でも普通に価値が認められてる主張だから。

日本の学問状況では、そのような非標準論理に関する教育が
一般的な理学系の学部ではほとんどなされていないから、
無知な人々がひっかかるだけ。

そういう不具合を解消しようという試みはいくらでもある。

ただ、御大にそれを言っても,そういうのは全部ダメだとおっしゃるけどな(笑

287 :132人目の素数さん:03/04/03 02:13
>>286

オマエ、今更、そんなことを言ってみても、もう遅いな(w

ここは既に「エムシラ主義者」によって乗っ取られたのだ。

288 :132人目の素数さん:03/04/03 03:35
春厨はしゃぎまくり

289 :132人目の素数さん:03/04/03 12:31
独りだけ冷静になったふりして煽る暇があるんなら、さっさと去ってくれ。

290 ::03/04/03 23:41
去るのは、オ マ エ。

291 :132人目の素数さん:03/04/03 23:53
>>290 ここをトンデモスレにしたいのか?

292 ::03/04/04 01:14
はじめから、ここは「トンデモ・スレ」だったのだが、オ マ エ がそれに気がつかなかっただけ。(w

293 :132人目の素数さん:03/04/04 01:29
>>292
試しに君が書き込むのを止めてみたらどうだい?
それでも変わらなかったら292は正しいだろね。

294 ::03/04/04 01:43
書き込みを止めることになるのは、オ マ エ。

295 :132人目の素数さん:03/04/04 01:50
>>294
そんな事したら君が残ってしまうよ。それは問題だぞ。

296 :132人目の素数さん:03/04/04 04:14
清水義夫『記号論理学』って評判はどうなのでしょうか。
こちらでは良書と言われているようですが。
http://groups.google.co.jp/groups?q=%E8%A8%98%E5%8F%B7%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%80%80%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&hl=ja&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=3A3D0551.292A802C%40apionet.or.jp&rnum=1
http://groups.google.co.jp/groups?q=%E8%A8%98%E5%8F%B7%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%80%80%E6%B8%85%E6%B0%B4%E7%BE%A9%E5%A4%AB&hl=ja&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=91lbeq%247qa%241%40news01cd.so-net.ne.jp&rnum=3

297 :132人目の素数さん:03/04/04 04:55
>>296
えらい懐かしい投稿だ。御大fjデビューすぐのころのじゃない?

長年東大の1,2年向けの論理の授業で使われてた本で,悪い本では
ないですよ。


298 :132人目の素数さん:03/04/04 11:25
Mシライシのfjデビューは1998年だよ。

とにかく「・・・ってどうですか」と聞くのはやめとけ。
悪書を読まないですまそうという人間は、
良書を読む気もないのが相場。
読む気があるなら、何でも読むし
良し悪しも自分で判断する。
それができないならやめておくべし。

299 :132人目の素数さん:03/04/04 11:25
>>297

そうなんですか。ありがとうございます。
ネットではあまり評判を聞かないので訊いてみました。
(Googleグループ検索をしたら漸く出てきました。)
完全性定理の証明がきちんと載っているとのことなので、
買って読んでみます。

300 :132人目の素数さん:03/04/04 11:35
>>299

それは素晴らしいスタンスだと思いますが、
全ての分野についてそのスタンスを保つというのは
少なくとも自分には時間的にも気力的にも無理なので、
やはり評判を調べたり聞いてみるのも良いかと思います。

301 :132人目の素数さん:03/04/04 13:01
>全ての分野について

欲張りすぎ。分野を一つに絞れ。

>自分には時間的にも気力的にも無理なので

それなら、まず学問はやめとけ。
24時間の全てを費やしても何も得られない可能性が99%


302 :松本真吾:03/04/04 15:07
>学問はやめとけ

それ、ワスに対して言っているように聞こえるのは、どうしてだろう・・・。

303 :132人目の素数さん:03/04/04 17:28
> 欲張りすぎ。分野を一つに絞れ。

もちろん、専門は一つです。
そして自分の専門分野に対するスタンスとしては、
あなたの仰るようなスタンスが理想的だと思います。
ただ、それ以外の分野というか、周辺分野の学習が
その専門を深めるために必要だったり、あるいは趣味でちょっと
かじってみたかったりする場合、というのがありますよね。
そういった場合、その分野の専門の方々の持っている情報を
活用させて頂いたりするのは、普通のことだと思うんですが、
そういうことが言いたかったわけです。
ここは入門レベルの話題を扱うスレですから、
そういった情報を享受しても良い人々も多数いるかと思います。

304 :松本真吾:03/04/05 01:11
分野をふとつにすぼれだとぉ〜! ワスにむかって何ちゅうこと言うか!

        /:::::::::::::::::::::\
       /::::::::::::::::::::::::::::::::\
       |:::::::::::|_|_|_|_|_|
       |_|_ノ∪ \,, ,,/ ヽ
       |::( 6  ー─◎─◎ )
        |ノ  (∵∴∪( o o)∴)
      |   <  ∵   3 ∵>
     /\ └    ___ ノ
       .\\U   ___ノ\
         \\_○○_)  ヽ

305 :1億の男=297:03/04/05 01:36
>>298
たしかに、よくみりゃ日付は2000年ですた(笑

>>301
これこれ、すぐに煽らない。もちつきなさい。

306 :132人目の素数さん:03/04/06 18:09
>>303

言い訳は無用。
専門を一つに絞る、というのは、他のことは諦めること。
とにかく、人の情報は当てにならないから自分でまず読むこと。
それができないなら、きっぱりと諦めること。
入門ならなおさらそう。情報はあてにならない。

307 :1億の男:03/04/07 01:54
>>306
落ち着けって言ったのが読めない?

そういう情報量0の御託はいいなさんな。数理論理学の基礎なんて、
そんな風に一生懸命言うほどのもんでもないだろ?

一般的な初学者向けの入門書がどれがいいのか人に聞くのは
当然の話で、いやむしろそこで自分で勝手なものを読むほうが
変な癖がついてよくねーんだよ。これは俺の師匠がいってることで、
俺もなるほどと思ったね。

そこをクリアして、専門の道に入ったときには、論文読んで
自分で切り開かなきゃならねえけどね。ここはそういう
スレッドじゃないんだよ。

308 :1億の男:03/04/07 02:04
最近の成果を取り入れた新しい初学者むけのテキストを紹介したほうがよい。

いろいろ最近の本読んでるだろうし、いろいろ日本の論理研究事情にも
考えがあるんだろうから、それにそってテキストを紹介したらどう?

309 ::03/04/07 02:15
M_SHIRAISHI先生のHP↓が目下のところ、やはり「最高」と思われ。

http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html

310 :132人目の素数さん:03/04/07 03:24
>>309
そだな。

311 :132人目の素数さん:03/04/07 09:23
>>307

お前がもちつけ(w

数理論理学の本なんてそんな構えて読むようなものでもないだろ。

一般的な初学者むけの入門書なんてそれこそ人に聞く前に
読んだっていいかわるいか当然分かるだろ。
そもそも変な癖っていうのは本じゃなくて読む人の問題なんで
本を選んだって無意味。

312 :132人目の素数さん:03/04/07 09:31
>>308
>最近の成果を取り入れた

例えば、様相論理とか構造規則を除いた論理
(適切論理とか線形論理とか)のことを
言ってるのかな?

ま、それなら小野寛析の
「情報科学における論理」
(日本評論社)かね。

313 :132人目の素数さん:03/04/07 09:37
ただ、全くの初学者なら様相論理とか線形論理とかに
色目をつかう前に、古典論理をバッチリ押さえてほしい。

その意味では、戸田山和久の「論理学をつくる」
(名古屋大学出版会)をすすめるね。
記述がとにかくこれ以上ないというほどクソ丁寧(w

命題論理、述語論理の基本はこれでバッチリだろう。
基本的にはタブロー法だが、自然演繹やヒルベルト流に
ついても説明されているから、流儀の違いによる
コミュニケーションギャップも埋められる(と思う)

314 :132人目の素数さん:03/04/07 09:46
その先の不完全性定理となると・・・

そもそも不完全性定理をどういう目的で学ぶかが問題。
チャンとゲーデル数によるコード化を隅々まで学びたい
という物好きな人はともかくとして、”素人”はそこまで
望んではいないだろうから、そういう人には前原の本とか
はお勧めしない。


315 :132人目の素数さん:03/04/07 12:27
>>314

ということであれば、スマリヤンの本がいいのでは?

また、どういう目的に学ぶにせよ、ブルーバックスの
あれは初学者には不味いですな。

316 :132人目の素数さん:03/04/07 12:32
でもないか・・・

317 :132人目の素数さん:03/04/07 13:28
>>311

>数理論理学の本なんてそんな構えて読むようなものでもないだろ。

初学者にしてみればそれなりの負担になるだろ。

>一般的な初学者むけの入門書なんてそれこそ人に聞く前に
>読んだっていいかわるいか当然分かるだろ。

初学者の主観は当てにならん。

>そもそも変な癖っていうのは本じゃなくて読む人の問題なんで
>本を選んだって無意味。

んなわけないだろ。極論杉だ。

318 :132人目の素数さん:03/04/07 14:24
×小野寛析
○小野寛晰

319 :132人目の素数さん:03/04/07 14:55
>スマリヤンの本

といってもいろいろあるからなあ。
個人的には、これなんかいいかも

数学パズル 美女か野獣か?―楽しみながらゲーデルの謎にせまる
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4627018606/qid=1049676434/sr=1-8/ref=sr_1_2_8/250-6951802-3942614

あとこれも面白そう
数学パズル ものまね鳥をまねる―愉快なパズルと結合子論理の夢の鳥物語
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4627019017/qid=1049676434/sr=1-7/ref=sr_1_2_7/250-6951802-3942614

320 :132人目の素数さん:03/04/07 14:59
つーかさ、ホントは、ホフスタッターの
「ゲーデル・エッシャー・バッハ」
とか文庫にならんかなあとか思ってるんだけど。
(3分冊くらいになるかもしれんなあ)

吉田武の「オイラーの贈り物」とかより
よほどイイと思うんだが・・・

321 :132人目の素数さん:03/04/07 15:04
ttp://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=UTF-8&oe=UTF-8&q=%E5%B0%8F%E9%87%8E%E5%AF%9B%E6%97%A5%E6%9E%90&lr=
これはいくら何でも・・と思う。

322 :132人目の素数さん:03/04/07 17:53
>それなりの負担になるだろ。

負担に耐えられないなら学問なんかやめろよ。

>主観は当てにならん。

自分が信用できないなら生きるのやめろよ。

>極論杉だ。

苦労をいやがり、自分すら信用できない
人間のどこに価値がある?

323 :132人目の素数さん:03/04/07 18:57
>負担に耐えられないなら学問なんかやめろよ。

人生は有限だ。

>自分が信用できないなら生きるのやめろよ。

真実は疑うことから始まる。



324 :132人目の素数さん:03/04/07 21:50
おまいらもちつけ

325 :132人目の素数さん:03/04/07 21:55
おまいら!もちつけ!

     /\⌒ヽペタン
   /  /⌒)ノ ペタン
  ∧_∧ \ (( ∧_∧
 (; ´Д`))' ))(・∀・ ;)  
 /  ⌒ノ ( ⌒ヽ⊂⌒ヽ
.(O   ノ ) ̄ ̄ ̄()__   )
 )_)_) (;;;;;;;;;;;;;;;;)(_(

326 :132人目の素数さん:03/04/07 21:55
おまいら!
もちつけぇェェェっぇェェェェェッェぇぇっぇぇ!!!!
  ___   ガスッ
 |___ミ      ギビシッ
   .||  ヾ ミ 、      グシャッ
   ∩ ∧/ヾヽ        
   | ,| ゚∀゚). .|  |;,      ゲシッ
  / ⌒二⊃=|  |∵.
 .O   ノ %`ー‐'⊂⌒ヽ  ゴショッ
   ) ) ) )~ ̄ ̄()__   )
  ヽ,lヽ) (;;;;;;;;;;;;;;;;;)(_(

327 :132人目の素数さん:03/04/07 22:04
>人生は有限だ。

余裕なさすぎ

>真実は疑うことから始まる。

自信なさすぎ

328 :132人目の素数さん:03/04/07 23:04
教養書だが野矢茂樹の「論理学」がメチャクチャ面白い。

329 :132人目の素数さん:03/04/08 01:04
>>327
目を閉じよ。そしたらお前は見えるだろう。

330 :松本真吾:03/04/08 03:41
>>322
>自分すら信用できない人間のどこに価値がある?

そげなこと言って、ワスを追い詰めんでくれ。

331 :132人目の素数さん:03/04/08 06:35
>>327
いいかげんにしろ

332 :132人目の素数さん:03/04/08 09:49
>>328
うーん、俺はあまり好きじゃないなあ。論理のお話の本でしかないからなあ。
あれで論理計算の計算力とか、完全性定理の証明とか、学べないと思うんだが。

>>327
もうほっときなさい。

333 :132人目の素数さん:03/04/08 12:25
>>327
お前がいい加減にしろ。

>>332
確かに完全性定理の証明とかは学べないが、学習意欲
の向上に役立つと言うことで、最初の取っ掛かりとい
うことなら良いと思う。普通の数理論理学の本は読ん
でいて退屈でしょう。

334 :132人目の素数さん:03/04/08 14:24
>>333
>普通の数理論理学の本は読んでいて退屈でしょう。

退屈なら学問なんかやめろよ。

>学習意欲の向上に役立つと言うことで

意欲なんてないんだろ?
学問はアクセサリーじゃないぞ。

335 :132人目の素数さん:03/04/08 18:39
>>334
学問は手段でもあるんだよ.

336 :松本真吾:03/04/09 00:10
>退屈なら学問なんかやめろよ

ワスのこと言われてるような気しっす。

337 :132人目の素数さん:03/04/09 00:29
頼むからもちつけ

338 :松本真吾:03/04/09 00:31
かあちゃんの為なら、エーンヤコラッ!

339 :132人目の素数さん:03/04/09 02:03
>>333
うーん。そういういみの副読本としてなら、スマリヤンの
哲学ファンタジーのほうがいいとおもうな。

340 :132人目の素数さん:03/04/09 11:25
>>339
うーむ、それなら、むしろ”タオは笑っている”のほうが
おもしろいんじゃないか?なんちって

341 :132人目の素数さん:03/04/10 00:16
>>340
あれはどうかなあ(笑

342 :132人目の素数さん:03/04/10 00:32
外史の『【新版】ゲーデル』が(・∀・)イイ!! と思いました.

343 :132人目の素数さん:03/04/10 02:08
ゲーデルに関しては、廣瀬・横田著「ゲーデルの世界」も酔い。

344 :識者:03/04/10 02:45
ゲーデルに関してなら、これ↓だ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0195147200/qid=1049910140/sr=1-4/ref=sr_1_0_4/249-9046977-7510750

345 :132人目の素数さん:03/04/10 02:49
>>275
> 「意味論的に矛盾しない」なんて用語法が間違い。

意味論的に矛盾って、戸田山「論理学をつくる」に載ってなかったっけ?

346 :132人目の素数さん:03/04/10 02:53
あった。p.262だ。

式の集合Γがセマンティクス(意味論)的に矛盾している(Γ|=と書く)
⇔Γに属する式を一斉に真にする真理値割り当て/モデルが存在しない。
Γが意味論的に矛盾していないとき、Γは充足可能または整合的であるという。

・・・とあります。

347 :識者:03/04/10 05:55
戸田山は、その本の中で、semantics での用語と syntax での用語をごちゃまぜにして使っている。 ケシカラン!

348 ::03/04/10 06:02
おい! 識者気取りのアホウ!  オマエには「論理学に semantics とか syntax の区別を持ち込んだのが、
そもそもの間違いだった」ってことが分かってないようだな(爆笑


349 :132人目の素数さん:03/04/10 09:54
>>346
てゆーか、
 セマンティクス(意味論)的に矛盾
⇔真理値割り当て/モデルが存在しない。
と定義してるなら無問題では?

350 :132人目の素数さん:03/04/10 09:55
>>348
エムシラ関係者は(・∀・)カ エ レ ! !

351 :132人目の素数さん:03/04/10 11:50
>>347
どのあたりで、何という用語について、
ごちゃ混ぜにして使っているのでしょうか?

矛盾という言葉については、普通の矛盾はその本では
構文論的な矛盾と呼ばれ、それと意味論的な矛盾とは、
きちんと区別されているように思いますが・・・

352 :132人目の素数さん:03/04/10 11:57
普通の矛盾(構文論的な矛盾)についてはp262-267にかけて、

式の集合Γがシンタクス(構文論)的に矛盾している(Γ|-と書く)
⇔Γ|-A,Γ|-¬Aとなるような論理式Aが存在する。
Γが構文論的に矛盾していないとき、Γは無矛盾であるという。

・・・とあり、それに続けて「この二つの定義は全く別物だ」とあります。

353 :132人目の素数さん:03/04/10 12:04
>>346
戸田山の定義に基づけば>>274は無問題
ということなら、同意れす。

354 :132人目の素数さん:03/04/10 12:13
>>351とはいっても、なにぶん分厚いので、
実はまだ全部は読んでないんですが・・・

355 :松本真吾:03/04/11 23:54
ワスは、「さる御方」の逆鱗に触れてすまい、幽霊になってすまったッス。 こわいッス。

        /:::::::::::::::::::::\
       /::::::::::::::::::::::::::::::::\
       |:::::::::::|_|_|_|_|_|
       |_|_ノ∪ \,, ,,/ ヽ
       |::( 6  ー─◎─◎ )
        |ノ  (∵∴∪( o o)∴)
      |   <  ∵   3 ∵>
     /\ └    ___ ノ
       .\\U   ___ノ\
         \\_○○_)  ヽ

356 :猿の御方:03/04/14 11:36
ワスはマツシンを滅ぼしたつもりであったが
毎晩きゃつの幽霊が夢に現れてワスを責めるのじゃ。

        /:::::::::::::::::::::\
       /::::::::::::::::::::::::::::::::\
       |:::::::::::|_|_|_|_|_|
       |_|_ノ∪ \,, ,,/ ヽ
       |::( 6  ー─◎─◎ )
        |ノ  (∵∴∪( o o)∴)
      |   <  ∵   3 ∵>
     /\ └    ___ ノ
       .\\U   ___ノ\
         \\_○○_)  ヽ


357 :132人目の素数さん:03/04/15 00:27
やはり、M_SHIRAISHI大先生にケムブリッジで「大講演」を打って貰わないことには、始まらんな ---- マジで。

358 :山崎渉:03/04/17 09:28
(^^)

359 :山崎渉:03/04/20 04:25
   ∧_∧
  (  ^^ )< ぬるぽ(^^)

360 :132人目の素数さん:03/04/26 00:36
一階述語論理の完全性と決定不可能性はどのように
整合するのでせうか。完全性定理の証明可能、とい
うのは、機械的な手続きとは限らない、ということ
でせうか。では、どのような手続きが混入している
のでせうか。

361 :加護天使 ◆j/LLggzims :03/04/26 01:23
正しい式は証明できる、でも任意の式が証明できるかどうかが有限時間で判断できる手続がない。
LKを逆に辿っていく方法で完全性定理を証明するとそこらの事情がわかる。

362 :132人目の素数さん:03/04/26 03:57
おまえら、ほんまに、アホやなぁ〜。

# 「述語論理の完全性」と言うときの“完全性”と「ゲーデルの不"完全性"定理」と言うときの "完全性" と
では、同じ「完全性」という語を使ってはいても、意味が、全然、違うってことを知らんのか?(大爆笑

363 :132人目の素数さん:03/04/26 07:05
>>360
こういう質問をする人が、往々にして
「一階述語論理の式は、真か偽かのいずれかだ」
と思っている。

もしそうなら、正しい式が証明できるなら
決定可能だと思うだろう。

実際には、一階述語論理の式の大半は
「真な場合もあれば、偽な場合もある式」
である。
そしてそのような式は、それ自身もその否定も
証明されないわけで、証明手続きが止まらなくなる
可能性があるというわけだ。

364 :132人目の素数さん:03/04/26 22:10
>LKを逆に辿っていく方法で完全性定理を証明するとそこらの事情がわかる。

今日色々調べてみたところ、林先生の本に載ってそうですね。
今度見てみます。

># 「述語論理の完全性」と言うときの“完全性”と「ゲーデルの不"完全性"定理」と言うときの "完全性" と
>では、同じ「完全性」という語を使ってはいても、意味が、全然、違うってことを知らんのか?(大爆笑

それは意識しています。(マツシンファンなので。)

>こういう質問をする人が、往々にして
>「一階述語論理の式は、真か偽かのいずれかだ」
>と思っている。

私の場合は、
「決定(不)可能とは、正しい式が決定(不)可能」
と思ってたので、そうなりました。
今日、図書館で決定可能性について
きちんと書いてある本を読んだら分かりました。
任意の式について、なんですね。
また、半決定可能性というのがあって、
それによれば、正しい式については、決定可能なのですね。
というわけで、良く分かりました。

みなさまどうもありがとうございました。

365 :132人目の素数さん:03/04/28 23:10
そだな。(^^;)

366 :132人目の素数さん:03/04/29 06:18
>>364
マツシンファン=落ちこぼれ(w

367 :132人目の素数さん:03/04/29 16:13
マツシンに自分のヴァカさ加減を気が付かされて
ムカついてる香具師とは>>366のことですか?

368 :132人目の素数さん:03/04/29 17:29
そだな。(^^;)

369 :132人目の素数さん:03/04/29 17:37
じゃ、あげますか

370 :132人目の素数さん:03/04/29 18:44
記号の読み方が分かりませぬ。
構造(structure)を表す記号として使われたりする、
あの一連の記号です。
言語Lに対する構造○=<U,I>見たいな感じで・・・
        ↑
        コレ
それ系の記号の二番目の奴は、"B"みたいな形してるんですが・・・
って、これじゃ何言ってるのか分かりませんね。

371 :132人目の素数さん:03/04/29 22:02
>>370
それ、それ! ドイツ文字だろう、アーかべーだろうきっと。
あれ、いやだよな。なんで、英文字で書かないの?

372 :132人目の素数さん:03/04/29 22:11
どうもです。
ドイツ文字でサーチしたら分かりました。
http://www2.neweb.ne.jp/wc/STEINER/text-16.html

373 :すんご:03/04/30 00:15

ワスは、「さる御方」の逆鱗に触れてすまい、幽霊にされてすまったッス。 こわいッス。

        /:::::::::::::::::::::\
       /::::::::::::::::::::::::::::::::\
       |:::::::::::|_|_|_|_|_|
       |_|_ノ∪ \,, ,,/ ヽ
       |::( 6  ー─◎─◎ )
        |ノ  (∵∴∪( o o)∴)
      |   <  ∵   3 ∵>
     /\ └    ___ ノ
       .\\U   ___ノ\
         \\_○○_)  ヽ

374 :猿御方:03/05/01 11:08
ワスは、マツシンの幽霊にたたられてるッス。 こわいッス。

        /:::::::::::::::::::::\
       /::::::::::::::::::::::::::::::::\
       |:::::::::::|_|_|_|_|_|
       |_|_ノ∪ \,, ,,/ ヽ
       |::( 6  ー─◎─◎ )
        |ノ  (∵∴∪( o o)∴)
      |   <  ∵   3 ∵>
     /\ └    ___ ノ
       .\\U   ___ノ\
         \\_○○_)  ヽ


375 :132人目の素数さん:03/05/01 14:29

      __-=≡///:: ;; ''ヽ丶
    /     ''  ~     ヾ:::::\
   /               \:::::\
   |                彡::::::|
  ≡      , 、        |:::::::::|
  ≡ _≡=-、__, - -=≡=_ 、 |:;;;;;/
   | | ,ー● |   | ●ー |─´ / \  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
   | ヽ二_,(   )\_二/   >6 / < 松本真吾クン、学会は、いつでもキミの「入信」を待っているよ。
  /    /(     )ヽ      |__/ \________________
 .|    /  ⌒`´⌒        ) |
 |                /  | |
 (    |_/ヽ_'\_/      ) |
 .\  、 \ ̄  ̄/ヽ      / /
   \   |  ̄ ̄    _// /
    \  ヽ____/    /
     \_ ー─  __ /
     / ̄/ ̄ ̄ ̄ ̄\ ̄\
     |  | \ |\ /| / |  |
     |  | / | ハ | \ |  |
     | | \ \ / /  |  |
     \|   \ ヽ  /   |/
       |___/ヽ___ |
       |    金     |
      _|___Λ___|_
    <____|  |____>


376 :132人目の素数さん:03/05/10 00:40
age

377 :132人目の素数さん:03/05/12 22:08
ぬるぽ

378 :132人目の素数さん:03/05/15 04:42
やはり、ここは、M_SHIRAISHI大先生にケムブリッジで「大講演」を打ってもらわんことには、始まらんな ---- マジで。

379 :132人目の素数さん:03/05/16 22:49
みんなでネット読書会しようぜ。

380 :山崎渉:03/05/21 22:45
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

381 :山崎渉:03/05/21 23:24
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

382 :132人目の素数さん:03/05/22 23:19

━―━―━―━<通行止>―━―━―━―━―━[JR 松本駅]━―━―━―━―━<脱線・転覆>―━―━―━―━―
                                            
                                               ↑
                                        
                                        マツシン飛び込み自殺現場
                                    


383 :132人目の素数さん:03/05/23 06:53
「連言」は何と読むのですか?

384 :132人目の素数さん:03/05/23 14:23
>>383
「れんげん」


385 :132人目の素数さん:03/05/23 17:43
>>384
たぶん「れんげん」だろうと思って「連言 AND れんげん」で汎用サーチエンジンで
探しても見つからず、広辞苑にも「れんげん」は無し。
同じく「れんごん」も無し。
数冊見た論理学の本にはどれも「連言」の説明はあるが、読み方は無し。

それなのに「れんげん」で意思統一が図られているとしたら、
それは一体何に基づいているのですか?

386 :132人目の素数さん:03/05/23 18:06
>>385
> 広辞苑にも「れんげん」は無し。

広辞苑第五版にはありますよ。

また、こちらにもあります。
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%CF%A2%B8%C0&kind=ej&mode=0&jn.x=20&jn.y=12


387 :132人目の素数さん:03/05/26 04:02
>「連言」は何と読むのですか?

“リェンイェン”と読む ---- 現代中国語では。

388 :132人目の素数さん:03/05/31 06:50
1

389 :132人目の素数さん:03/05/31 23:07
>>385
師匠に読み方を習うから。国語の辞書というものは業界内での
ただし読み方を追認するものにすぎず、そんなものは何の根拠に
もならんと思われ。

390 :132人目の素数さん:03/06/02 11:16
ここにもある
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%EC%A4%F3%A4%B2&kind=jn&mode=0

391 :132人目の素数さん:03/06/02 11:17
ついでに言うとこれも
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%C4%A4%C4%A4%B8&kind=jn&mode=0

392 :132人目の素数さん:03/06/02 11:18
そして最終的には、これ
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%EC%A4%F3%A4%B2%A4%C4%A4%C4%A4%B8&kind=jn&mode=0

393 :132人目の素数さん:03/06/02 11:33
ここ数年、レンゲの花見てないなあ。

394 :132人目の素数さん:03/06/27 10:22
(A∨¬B)∧(¬A∨B)と¬(A→B)∨B
この二つの式の選言標準形ってどうやって出すんですか?

395 :132人目の素数さん:03/06/27 13:51
先ずは真理値表を書く

396 :132人目の素数さん:03/07/02 21:00
ファジィ論理の入門書でなにかよいものはないでしょうか。
スレ違いならスマソ

397 :132人目の素数さん:03/07/05 23:13
>>396
用途は?それによって違うと思われ。

398 :132人目の素数さん:03/07/06 08:57
ファジィ基本的な概念を理解したいのです。何かの機会に心理学に応用したいと思いまして。

399 :132人目の素数さん:03/07/08 07:23
定期age

400 :132人目の素数さん:03/07/08 18:29
400

401 :山崎 渉:03/07/12 12:44

 __∧_∧_
 |(  ^^ )| <寝るぽ(^^)
 |\⌒⌒⌒\
 \ |⌒⌒⌒~|         山崎渉
   ~ ̄ ̄ ̄ ̄

402 :山崎 渉:03/07/15 12:47

 __∧_∧_
 |(  ^^ )| <寝るぽ(^^)
 |\⌒⌒⌒\
 \ |⌒⌒⌒~|         山崎渉
   ~ ̄ ̄ ̄ ̄

403 :132人目の素数さん:03/07/17 16:58
age

404 :132人目の素数さん:03/07/19 18:43
押し出し

405 :132人目の素数さん:03/07/19 18:43
押し出し2

406 :132人目の素数さん:03/07/24 13:25
現在、数理論理学を学んでいるのですが、以下の課題が
よく分かりません。ご教授いただけたらありがたいです。

対象領域は、歴史上存在したすべての女性の集合である。
Mxy:xはyの母親である。
Exy:xとyは同一人物である。

「xとyは姉妹である」という文をMとEを用いた論理式で表現しなさい。
「xには姉も妹もいない」という文をMとEを用いた論理式で表現しなさい。

407 :132人目の素数さん:03/07/24 14:14
>>406
Mzx&Mzy&notExy:xとyは姉妹である
Mzx&Mzy⇒Exy:xには姉も妹もいない

408 :132人目の素数さん:03/07/24 14:35
私も脱いでます♪探してみてね♪
http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp2/linkvp2.html



409 :132人目の素数さん:03/07/24 14:36
>>407
存在記号、全称記号が使われていないため、以下の意味となっている。
最初のものは、「zがx、yという2人の母である」というもの
2番目は「zがx、yの母ならx、yは等しい」というもの。

410 :132人目の素数さん:03/07/24 14:37
http://www.k-514.com/sample/sample.html
  _、_ 癒し系か・・・
( ,_ノ` )y━・~~~ 見たらどうだ・・・

411 :132人目の素数さん:03/07/25 22:54

n階述語論理ってnをどんどん大きくするとどうなるんですか?

412 :132人目の素数さん:03/07/28 12:42
そのうち収拾がつかなくなって、ラッセルのパラドックスに行きつきます。

413 :132人目の素数さん:03/08/02 21:43
論理学初心者です。
「偶然Pである」の記号化として正しいのは
次のどちらなのでしょう?

(1)P∧□〜P

(2)◇P∧◇〜P

(2)の方が正しいと書いてある本もあるのですが、
たとえば戸田山先生の本には(1)が載っています。


414 :132人目の素数さん:03/08/02 23:31
>>413
偶然とは何か?
そういう用語や概念の定義の仕方による。

□や◇に対する意味づけは、偶然や必然以外にも
いろいろある。

415 :413:03/08/03 00:25
>>414
なるほど。
では(1)と(2)は「偶然」という概念に対する
二通りの意味付けであると言ってよいのですね。
そしてどちらを採用するのも任意であると。




416 :132人目の素数さん:03/08/03 00:37
>>413
(1)は
 (1') P∧〜□P
の間違いだよね?

417 :132人目の素数さん:03/08/03 01:28
「Pでなくともよいのに現実にはPである」が(1)
「Pであることは可能であるし、Pでないことも可能である(現実にはどうなのかの
情報は無い)」が(2)

ただそれだけ。

418 :413:03/08/03 19:57
>>416
間違えました。すいません。
(1)P∧◇〜P
のつもりでした。
>>417
ご丁寧にありがとうございます。
「偶然」という言葉にこだわる必要はないということ
がよくわかりました。





419 :132人目の素数さん:03/08/03 23:52
>>406
同一の母親を持たなくても、同一の父親を持つ、異なる2人の女性は姉妹である、
という事実を受け入れると、「xとyは姉妹である」はMとEでは書けないね。

その事実は無視して、
2人の女性が姉妹であるとは、2人が異なっており、同一の母親を持つことである
と仮定すると、
「xとyは姉妹である」は∃z(Mzx&Mzy)&〜Exy
「xには姉も妹もいない」は、↑を応用すると〜∃y[∃z(Mzx&Mzy)&〜Exy]

420 :山崎 渉:03/08/15 19:28
    (⌒V⌒)
   │ ^ ^ │<これからも僕を応援して下さいね(^^)。
  ⊂|    |つ
   (_)(_)                      山崎パン

421 :132人目の素数さん:03/08/27 13:50
〜∃y[∃z(Mzx&Mzy)&〜Exy]
⇔∀y[∃z(Mzx&Mzy)⇒Exy]

422 :132人目の素数さん:03/10/04 06:15
20

423 :132人目の素数さん:03/10/10 04:13
すいません。スレの腰を折りぎみなんですが質問です。
量子論理に関する良サイトを紹介してもらえないでしょうか。
量子コンピューティング系統・量子力学計算系統ではなく
純粋に量子論理を論理学の1分野として扱っている
入門サイトみたいなのを希望です。ココ以外にも聞いたんですが
まっとうにレスが返ってくるのがココぐらいしかなさそうなので・・・。

424 :132人目の素数さん:03/10/17 09:38
>>423
そんな奇特なサイトは知らないなぁ.検索しても適当なのは出てこないしね.
純粋にロジックとして量子論理やってる人ってどれくらいいるのかな.
日本だと,昔,大出晁氏が頑張ってたけどね.とりあえず,Dalla Chiara おばさん
のサーヴェイを読んでみられては.100ページの分量があって,入門的なところ
から一通り書いてある.

ここでダウンロードできるよ.↓
http://jp.arxiv.org/abs/quant-ph/0101028

425 :132人目の素数さん:03/10/19 08:46
3段論法は、「AならばB、かつ、BならばC、であるならば、AならばC、である」と
聞きましたが、「(A⇒B)∧(B⇒C)=A⇒C」にはならず「(A⇒B)∧(B⇒C)≠A⇒C」に
なってしまいます。なにがまちがってるんでしょう?

ちなみに「(A⇔B)⇔(A⇔C)=A⇔C」だったらなっとくできるんですが。。。

426 :132人目の素数さん:03/10/19 08:47
>>425
あっ、間違い。
「(A⇔B)⇔(B⇔C)=A⇔C」ですね。

427 :132人目の素数さん:03/10/19 17:41
>>425
そのイコール記号はどういう意味なんだ?
ちなみに、もともとの3段論法というのは、次の形をしている。

A、および、A→B が真ならば、Bも真。

428 :132人目の素数さん:03/10/19 20:12
>>427
>ちなみに、もともとの3段論法というのは、

伝統的な論理学の用語は定義を確認しておいた方がよろしいかと。

429 :132人目の素数さん:03/10/19 22:38
>>425
たとえば
0=0⇒0=0

(0=0⇒0≠0)∧(0≠0⇒0=0)

430 :132人目の素数さん:03/10/19 23:21
>>383
"ヨノン" in Korean

431 :132人目の素数さん:03/10/20 03:35
>>425
((A⇒B)∧(B⇒C))→(A⇒C)
が、三段論法だよ。=(イコール)の部分は、
←が成り立たないよね。

⇔と=の違いはなんだ?

432 :132人目の素数さん:03/10/20 04:01
哲学系ではどうか知らんが、
数理論理学ではmodus ponensといえば
A∧(A→B)⇒B だよ。

>>431みたいのと同値かどうかは‥‥
検証するのが面倒くさいのでやめ。

433 :132人目の素数さん:03/10/20 04:02
ああ、→は論理結合子、⇒はシーケントの矢印とでも思ってくれ。

434 :132人目の素数さん:03/10/20 09:54
>>428 さんが言ってるのは、modus ponens や cut は、伝統的論理学
(アリストテレス以来の)における三段論法に「相当」するものではあって
も、それを忠実に形式化したものにはなってないので、どちらの意味で使っ
てるのかをはっきりさせたほうがいいのでは? という話だろう。

435 :423:03/10/20 17:46
>>424
遅ればせながらありがとうございます。
しかし、量子論理の基礎に関するサイトは数年前にはけっこうたくさん
あったのになー・・・。なんでぱったり消えてしまったんだろ・・・。

436 :132人目の素数さん:03/10/20 18:51
>>434
だいたいそういうことです。

論理学の本を何冊かめくって見た範囲では、三段論法は個々の推論の形式
ではなく推論の形式の族を指しているようです。

B→C および A→B から A→C を推論する。

は仮言三段論法のひとつであるという説明があります。三段論法という名前で

A および A→B から B を推論する。

を指すという説明は、伝統的な論理学の本には見当らず、数理論理学の本でも
少数派で、modus ponens, detachment rule, 分離規則、前件肯定式、→の除去、
というような名前で呼んでいるものが多数です。

437 :132人目の素数さん:03/10/29 01:03
おまいら、揃いも揃って、レヴェル低いな(爆笑

# 偽と矛盾との違いさえ分からんだろ?




438 :横レス(シロート):03/10/31 10:21
矛盾・・・「PとnotPのどちらも証明できること」
決定不能・・・「PとnotPのどちらも証明できないこと」

ってのは、あってます?

439 :132人目の素数さん:03/10/31 11:06
決定不能と不完全てどう違うんだっけ?

440 :横レス(シロート):03/10/31 13:30
>>439
決定不能な命題が存在する体系を不完全な体系と
言うんじゃなかったっけか...(ちがった?)

441 :132人目の素数さん:03/10/31 14:01
>>438
そんなとこです。もう少し正確には
あるPについてPとnotPが証明できるとき(単純)矛盾
PもnotPも証明できないときPは決定不能という

>>440
それで合ってると思う。

442 :132人目の素数さん:03/10/31 15:50
決定不能というのは、

「どんな命題Pが与えられても、それが真か偽かを有限時間で判定する」
ようなアルゴリズムが存在しないことをいう。

古典命題論理は決定可能だが、古典1階述語論理はもう決定不能になる。

443 :横レス(シロート):03/10/31 16:04
>>441>>442レスどおもっす


444 :132人目の素数さん:03/10/31 23:23
>>437が言ってるのは「偽と矛盾との違いは何んか?」で、「矛盾と決定不能との違いは何か?」の問題じゃないやろ(w

445 :132人目の素数さん:03/10/31 23:37
誰も>>437など相手にしていない。

446 :132人目の素数さん:03/10/31 23:40
そういやスルーされてるな

447 :446:03/10/31 23:41
リロードすればよかった…

448 :132人目の素数さん:03/11/01 00:14
エステdeリロード

449 :448:03/11/01 00:20
いっぺん言ってみたかった。
あー積年の思いが晴れた。

450 :132人目の素数さん:03/11/02 21:36
>>445
M_SHIRAISHI がらみのコピペに反応してはならん。

451 :132人目の素数さん:03/11/03 01:22
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1060071844/l50
このスレの1にこんな事が書いてある。

>学生:2=1 というのはあきらかに矛盾ですね
>ラッセル:そうだよ

コレおかしいだろ。
「2=1」は矛盾した命題ではないだろ。
正しくは、
「2=1」は偽の命題だろ。

そこんとこどうよ?


452 :132人目の素数さん:03/11/03 13:21
>>451
その会話がなされた当時そんな区別があったのだろうか?

453 :132人目の素数さん:03/11/03 17:02
>>451
自同律に矛盾した命題,かつ偽なる命題
ってことではないの?

454 :132人目の素数さん:03/11/04 01:03
>>451
Russell の名前の綴りを間違えるような人が書いた内容を
どれだけ信用するかという問題ではないかと。

455 :132人目の素数さん:03/11/07 02:02
丸か罰か!

456 :132人目の素数さん:03/11/08 07:21
>>436
>論理学の本を何冊かめくって見た範囲では

おまいの見た範囲は、みーんな「日本語で書かれた論理学の本」の範囲だな(w

# "三段論法"なんて言い方は日本語独特のものであって、西洋には昔も今もそんな言い方は無い。


457 :132人目の素数さん:03/11/08 20:44
>>456
三段論法という用語の使い方の話なので、「西洋には昔も今もない
概念ならば」日本語の本を見るのは当然でしょう。


458 :132人目の素数さん:03/11/09 00:49
modus ponens, syllogism, hypothetical syllogism を「一緒くた」にして、
“三段論法”と俗称しているのが、論理学の後進国である我が国の実情だ。

459 :132人目の素数さん:03/11/09 01:10
>>458
> modus ponens, syllogism, hypothetical syllogism を「一緒くた」にして
普通の和書では、これらの概念に対応して別の訳語をあてていますが。

460 :132人目の素数さん:03/11/09 01:22
もう一つ。
"modus ponens, syllogism, hypothetical syllogism"
の順に列挙すると、物を知らないと思われますよ。

461 ::03/11/09 23:38
おまえがなぁ〜(w

462 :132人目の素数さん:03/11/10 19:12
今日、「数の体系と超準モデル」立ち読みしてきた。
完全性と決定可能性について書いてあったことを、
憶えてる範囲でちょっと書き出してみる。

理論Tの任意のσについて、T|−σあるいはT|−¬σが成立するとき、
Tは完全であるという。
理論Tの任意のσについて、T|−σあるいはT|+σということが
有限の手続きで判定できるとき、Tは決定可能であるという。
(「|−」はターンスタイル。「|+」はターンスタイルの否定。)
大体の数学理論において「完全であれば決定可能」が成立する。

463 :132人目の素数さん:03/11/11 11:16
>>458
そうでもない。logic プロパー向けでは確かに混同してる
本はそうないが、工学部や般教向けの教科書では全部同じ。

464 :132人目の素数さん:03/11/11 23:24
「三段論法」が,モーダス・ポネンスとカットの両方の意味で使われているのは
前々から気持ち悪いと思っていたのだが・・・.
「三段論法」っていう単語をなくすべきかもな.

あと,再帰と帰納もごちゃごちゃだな.
Endertonのテキスト読んだときに情けない気分になったっけ.

465 :132人目の素数さん:03/11/11 23:47
a

466 :132人目の素数さん:03/11/11 23:55
伝統的論理学の三段論法を忠実に形式化するのって、けっこう大変なんじゃないか?
Lukasiewicz以来、いくつか試みはあるようだけど。

467 :132人目の素数さん:03/11/12 00:31
>>463
普通の和書と書いたとき、伝統的な論理学についての記述がある本や、
数理論理学の本しか念頭になかった。(それ以外は本ではないという偏見)

論理について十数ページで済ませているような本を読む限り、三段論法
が syllogism に対応しているとはとても思えないだろうなあ。

468 :132人目の素数さん:03/11/13 23:12
ゴキブリ好きですか?

469 ::03/11/19 23:00
命題論理なんですが、どうしてもわかりません。

A,B,x::¬A,y::¬B |- A⊃B の証明をつくれ

470 :132人目の素数さん:03/11/20 02:26
>>469
(¬AかつA = ⊥)⊃Bという方針で。


471 ::03/11/20 17:53
命題論理で、
A |- ¬¬(A∨¬A) の証明ができません。おねがいします。

ちなみに
¬¬(A∨¬A) by ¬-I{
(x::¬(A∨¬A))[
⊥ by ¬-E{
x;
A∨¬A by …

から排中律の処理がわかりません。


472 ::03/11/20 17:53
>>470
469は、なんとかとけました、ありがとうございます。


473 :132人目の素数さん:03/11/20 18:12
Natural Deduction 風

[1:A] |- A∨¬A by ∨I

[2:¬(A∨¬A)] & A∨¬A |- ⊥by ¬E

([2:¬(A∨¬A)] |- ⊥) |- ¬¬(A∨¬A) by ¬I (ここで2の仮定は落ちる)

残った仮定は1:A

474 ::03/11/20 18:38
¬¬(A∨¬A) by ¬-I{
(x::¬(A∨¬A))[ ⊥ by ¬-E{
x;
A∨¬A by ∨-IL{
(y::A)[
y]
}
}
}

としたらいいってことでしょうか?
うーん。

475 :132人目の素数さん:03/11/20 18:45
>>474はちょっと読みとく気になれないので
473を↓にしてみた。

 1:A
-------
A∨¬A  2:¬(A∨¬A)
--------------------
      ⊥
   ------------2
   ¬¬(A∨¬A)

476 ::03/11/20 18:47
>>475
どうやらあっていたようです、ありがとうございます。

477 :132人目の素数さん:03/11/21 11:31
>>425
亀レスごめん。

単純な計算で分かるが、
(A→B)∧(B→C)=(¬A∧(B→C))∨((A→B)∧C)
となる。これに(A→B)=Tと(B→C)=Tを代入すれば、
(A→B)∧(B→C)=(¬A∧(B→C))∨((A→B)∧C)=¬A∨C=A→C
となる。
つまり、「AならばBが成立ち、BならばCが成り立つ、という状況で、
(AならばB、かつ、BならばC、であるならば、AならばC)、である」
ということになる。

「××という状況下で、○○が成り立つ」ということの意味が
飲み込めるようになったら、次はシーケント計算あたりを勉強してみるべし。
間違ってもエムシラのように「20世紀の論理学は時代遅れで間違っている」
などとあさはかな結論に飛びつくべからず。

478 :132人目の素数さん:03/11/21 11:40
●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか?その8●●●
http://natto.2ch.net/mass/kako/1011/10115/1011522150.html
290 名前: 投稿日: 02/02/14 11:38 ID:6fbKGLCS
>>266
大衆週刊誌(文春とか新潮とかポストとか)の漫画家も盗聴を使っているね。俺
が思いついたネタを使っていた漫画家を偶然見つけたことがある。そいつはテレ
ビで生意気なことをしゃべっているよ。盗聴がばれているのに、哀れだ。
ただし、漫画家家本人が盗聴を使っているのか、雑誌社が盗聴を代行している
のかは、わからない。俺は雑誌社だと見ているのだが。

240 名前: 213 投稿日: 02/02/10 15:36 ID:jE2ivfkk
一般人で「お部屋拝見」で見せている人も、実は陰で裏切られている
(盗聴されている)んだと思うと、可哀相だなと思う。
芸能界に入りたいと思った事は無いが、
マスコミや華やかさに憧れるのは、別にその人の勝手だし、有名になるのが好きな人は、
その人なりの夢なんだろう。その夢まで何か言おうとは思わない。
でも、そういう人だからといって、盗聴されたり、嫌がらせを受けていいわけではない。

84 名前: ○○○ 投稿日: 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R
>>78
たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴
したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに
ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」
をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。



479 :132人目の素数さん:03/11/21 17:36
>>477
お前、エラそうなことぬかしてるわりには、まったく分かっとらんな。

480 :132人目の素数さん:03/11/23 22:31
  ∧ ∧
  (,,゚Д゚)
  ,,U,,U,.
 ミ・д・ミ ホッシュ!
  """"

481 :132人目の素数さん:03/11/27 10:13
やっぱり、20世紀の論理学は時代遅れで間違っていたのか・・・。 うーむ。

482 :132人目の素数さん:03/12/06 07:19
5

483 :132人目の素数さん:03/12/13 05:06
279

484 :132人目の素数さん:03/12/18 12:27
NHKブックスの論理学入門という本を買って、
論理学を勉強しようと思ったのですが。
論理記号がでてきたとたんに理解不能になってしまいました。
始まって10ページくらいでです、ですからもっと簡単な入門書
論理記号をわかりやすく理解できる入門書などがあったら教えてください。

あの、と言いますか板違いじゃないですよね?哲学板は違うって言われたのですが
当方まったくの論理学の素人でして、といいますか勉強の素人といいますか
なにしろ勉強した事がないドキュンでして。
なにとぞご教授ご鞭撻の程よろぴくお願いいたします。

485 :484:03/12/18 12:45
論理記号をわかりやすく説明している
サイトなんかもあったらよろしくお願いします。

486 :484:03/12/18 13:04
P Q P∨Q 〜(P∨Q) 〜(P∨Q)ならP

T T  T    ?      ?
T F  T    ?      ?
F T  T    ?      ?
F F  F    ?      ?

これが演習問題の1なんですけど、〜(P∨Q)のところはわかるんですけど
〜(P∨Q)ならPのところがわからないんです。
それから、ならの記号ってどうやって出してますか?


487 :132人目の素数さん:03/12/18 15:40
ならばは→⊃好きな方を使いたまえ。

P→Q≡〜P∨Q

488 :132人目の素数さん:03/12/18 15:57
>>479>>491

エムシラキモ!  ∧_∧
     ∧_∧  (´<_`  )   こいつってとことんまで終わってるなw
     ( ´_ゝ`) /   ⌒i    ______________________
    /   \     | |  / 彡川川川三三三ミ〜 プゥ〜ン
    /    / ̄ ̄ ̄ ̄/ /   川|川/ M\|〜
  __(__ニつ/ I.I.I. Inc. / ∠    ‖|‖ ◎---◎ |〜   やっぱり、20世紀の論理学は時代遅れで間違っていたのか・・・。 ヽ(^。^)ノ
      \/____/  |   川川‖ /// 3///ヽ〜
                |   川川    ∴)д(∴)〜
                |   川川       〜 /〜           ___
                |  川川川‖    〜 /川〜 ピュッピュッ    .|  |   |\_
                |  / 川川    _/ ;|\〜      ρ  |  |   | |  |\
                | /    /        ;| |   ρ      |  |   | |  |::::|
                |(     (;;  ・     ・;) ρ         |  |   | |  |::::|
                | \    \    亠 ρ);;   ̄ ̄\    |  |   | |  |::::|
                |:  \   \   C)) ;) ̄ ̄\っ))))〜〜|  |   | |  |::::|
                |     \   ̄つ/ / ;)  | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
                |      \  (__/  _;)   ̄ ̄ ̄.| _________. |
                |       ;;\__/  ;)  シコシコ  | |           ..|.|
                |       (;;; );; )  \       | |  ヽ(^。^)ノ  ......|.|
                \____________________

489 :132人目の素数さん:03/12/18 17:42
>>486
その本をみてないんで詳しいことはわからないが、「ならば」の
真理表はすでに与えられてるわけでしょう? だったらそれを
機械的に適用すればいいじゃん。

〜(P∨Q)→P
    T
    T
    T
    F

490 :132人目の素数さん:03/12/18 18:13
>>484
> あの、と言いますか板違いじゃないですよね?哲学板は違うって言われたのですが
ワロタ

今、哲学板の論理学スレみてきたら、初学者がOFWとかいうわけのわからん
やつに「内在と超越」とかへんなこと吹き込まれて大変なことになってた。

491 :132人目の素数さん:03/12/18 18:21
>>485
http://sakharov.net/foundation.html

このリンク集に論理学関係のサイトが山ほど紹介されてるから、お好きなのをどうぞ。

492 :132人目の素数さん:03/12/18 19:32
>>486
〜(P∨Q)を R に置き換えて、R⊃P として考えてみましょう。
R, P の真理値が分かれば、R⊃P の真理値も分かりますよね。
⊃は「きごう」を変換すれば出来ると思います。

NHKブックスの論理学入門って三浦俊彦の本ですね?
あの本は論理学の教科書というより、あの著者独自の
語用論的立場を強調した哲学的読み物として読んだ方がいいと思います。

493 :132人目の素数さん:03/12/18 21:20
http://www.logic.at/kgs/icons/goedel2.gif
ゲーデルですが何か。


494 :132人目の素数さん:03/12/19 02:36
命題論理で¬¬P⊃Pの証明はどうすればいいんでしょうか
方針だけでもお願いします
P⊃¬¬Pと¬¬¬P⊃¬Pは簡単に出るんですが…

495 :132人目の素数さん:03/12/19 02:55
古典命題論理なら真理値表を書いておわり。

496 :132人目の素数さん:03/12/19 04:12
真理値じゃないと無理ですか?できれば公理から出したいんですけど…

⊥├A
A⇒B├A⊃B
A⊃B,A├B
A,B├A∧B
A∧B├A
A∧B├B
A├A∨B
B├A∨B
A∨B,A⇒C,B⇒C├C
A⇒⊥├¬A
A,¬A├⊥

497 :132人目の素数さん:03/12/19 05:10
>>496
それは構成的論理(直感主義論理)の公理系ですので、
 排中律 P∨¬P
 二重否定の除去 ¬¬P⊃¬P
は導けません。導けないことの証明は本を見てください。

496に対して、公理として
 排中律 P∨¬P
 二重否定の除去 ¬¬P⊃¬P
のどちらかを加えるか、または推論規則
 背理法 ¬A⇒⊥├A
を加えると、古典論理になります。

ちなみに496+背理法からは、
 ¬A  ¬¬A
 -------------
     ⊥
 -------------仮定¬A落ち
     A
 -------------仮定¬¬A落ち
  ¬¬A⊃A

498 :132人目の素数さん:03/12/19 05:27
>>496

1. ¬P   (仮定)
2. ¬¬P   (仮定)
3. ⊥   (1,2,「A,¬A├⊥」より)
4. P   (1,3,「A⇒⊥├¬A」より)
5. ¬¬P⊃P   (2,4,「A⇒B├A⊃B」より)

帰謬法をつかうために、¬Pを仮定するのがポイントです。

499 :498:03/12/19 05:45
あ! >>498 は間違い。>>497 が正しいです。ハヅカシイ…
A⇒⊥├¬Aって、単に「ならば導入」でAを落としただけじゃん。帰謬法じゃ
なかったでつね…

500 :484:03/12/19 14:11
>>489
機械的に当てはめて考えるとは、こういう感じで考えれば良いのでしょうか?
これを⊃の真理表に当てはめて考えると回答と合うのですが。

〜(P∨Q)  P

F      T
F      T
 F      F
 T      F


501 :484:03/12/19 14:21
>>489
すいません、全くちんぷんかんぷんな事を書いてしまってますか?
なにしろ自分が何がわかってないのかも良くわかってない状態でして
でも何がわかっていないか、一つわかりました機会的な適用なし方はわからないです。
何しろ論理学が理系なのかも、いまいちわかっていなかったくらいです。
理系全般板で論理学はどの板かというの質問をしたらこのスレを教えていただきました。
いくらこのスレが基礎を謳っているからといって、ここまで数学的思考(ですか?)が身について
いない人間がくるスレじゃないって事ですね。
論理学を勉強するにあたって、やはり中高の数学はできていないと無理でしょうか?



502 :484:03/12/19 14:28
>>490
やはり哲学板のスレは違うんですね。
理系全般板のスレで間違っても哲学板の論理学スレにはいくなと忠告を受けました。

>>491
すいません英語も全くダメなんです。

503 :132人目の素数さん:03/12/19 14:38
>>495
それは「証明」ではないぜ。

>>501
>何しろ論理学が理系なのかも、いまいちわかっていなかったくらいです。

日本の伝統的な区分では論理学は文系だよ。ウルトラフィルターとか出てくる
文系の授業と言うのも凄いよな(笑

2chでは、数学板の方に Philoshical Logic 系統も来てる様子なので
こっちで聞いておいたほうがよいようにおもわれ。

504 :484:03/12/19 14:42
>>492
そうです、三浦俊彦という人の本です。
読物という事は、論理学の基礎を学ぶには他の本の方が良いのでしょうか?
なんとなくこの本を立ち読みして、はじめにの所に書かれている事に刺激を受けて
軽い気持ちで勉強してみようと思ったのですが、やっぱり勉強してこなかった人間には難しいですね。
でもわからないなりに、てきとうに色々考えてるのは楽しいですね
とりあえず論理学にはかなり興味がわきました。

Rに置き換えてとは任意のアルファベットRという事ですか?
ちょっと考えてみます。

505 :484:03/12/19 14:48
>>503
ん、やはり文系なんですか?
ウルトラフィルター?Philoshical Logic 系統?!
ちょっとわかりませんが(笑
質問はここであっているという事ですよね?

506 :484:03/12/19 14:59
この板の人たちはとにかくすごいな。
という素直にアホっぽい感想を持ちました。


507 :132人目の素数さん:03/12/19 17:53
>>506
「〜(P∨Q)ならばP」の真理値は、〜(P∨Q)の真理値とPの真理値から決まる。
 〜(P∨Q) : P : 〜(P∨Q)ならばP
    T     T       T
    T     F       F
    F     T       T
    F     F       T
〜(P∨Q)の真理値は、P∨Qのの真理値から決まる。
  P∨Q : 〜(P∨Q)
    T        F
    F        T
P∨Qの真理値は、Pの真理値とQの真理値から決まる。
    P : Q : P∨Q
    T   T    T
    T   F    T
    F   T    T
    F   F    F
機械的に1つ小さい論理式の真理値に還元し、最小単位の命題変数P、Qに辿りついたので、
今度はP,Qへの真理値の割り当てをベースとして、1つの表に組み合わせると、
    P : Q : P∨Q : 〜(P∨Q) : 〜(P∨Q)ならばP
    T   T    T        F           T
    T   F    T        F           T
    F   T    T        F           T
    F   F    F        T           F
私は理系として学んでいます。

508 :132人目の素数さん:03/12/20 14:09
>>500 そうそう、それで合ってるよ。詳しくは >>507 氏が解説してくれている通り。

>>505 論理学が文系か理系かというと、確かに日本ではちょっと微妙なところがあるけど、
一般に「論理学者(ロジシャン)」を名乗る人は基本的には数学者(あるいは計算機科学者)
だと思ったほうがいい。(そうでない自称「論理学者」もたまにいるけど、そういう香具師
はろくなことがない。)

ウルトラフィルターというのは、論理体系の代数的意味論(ブール代数とか)に登場する概念
で、一から定義して解説してると長くなるので、説明はご勘弁を。詳しい解説はたとえば、

田中俊一、『位相と論理』(日本評論社、2000年)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535601275/

あたりをご覧ください。

Philosophical Logic というのは、元来は哲学的関心から開発されたさまざまな非古典論理の
体系 (様相論理、認識論理、時間論理、等々)に関する、数学的研究のことを指す。

これらは元々は哲学の研究のなかから生まれたので Philosophical と形容されてるけど、現代
では むしろ計算機科学との関係で研究されることが多く、やってることは完全に数学と考えた
ほうがいい。 この分野に関しては、

非古典論理について語るスレ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/l50

で質問されるのがよいかと(寂れてるけど)。だいたいどんなことをやってるのかを手っ取り早
く知るには、

L. Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic (Blackwell, 2001)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0631206930/

がおすすめです。

509 :132人目の素数さん:03/12/20 17:38
 集合論では
 「ある個体が鳥類の一種であるニワトリに属するならば、その個体は鳥類
  に属する」
 ですね。一方、真理表は
 「鳥類の一種であるニワトリに属するすべての個体がある性質をもつならば、
  鳥類に属するすべての個体はその性質をもつ」
 ではなく(それは誤り)、
 「鳥類に属するすべての個体がある性質を持つならば、鳥類の一種である
  ニワトリに属するすべての個体はその性質をもつ」
 ということを表現しています。
 個体、種、類とは実体(=遇有的諸関係の総体)の内的区別であり、
 モノと諸性質という外的関係とは逆(内在と超越、内包と外延)だということ。


510 :484:03/12/20 17:55
>>507
わかりやすい解説どうもありがとうございます。
自分の買った本には、そういう風に親切な解説はしてないんですよ
普通の人はすぐ理解できると思うのですが、自分は中高と数学は2か1の落ちこぼれでして
自分で出した答が問題の解答と合っていても、偶然じゃないかとかたまたまだろって思ってしまって
やっと先へ進めます(笑


511 :484:03/12/20 18:41
>>508
という事は論理学の場合は、文系の人の書いた本などは買わないほうが良さそうですね。
自分の場合は理系も文系もないってくらいの者なんですけど、
数学は特に苦手で、購入した論理学入門の本は数字も見当たらないし
数学的な本とは思わずに購入しました、ようするに数学的という事がどんな物かもわかっていないんです。
でも論理学が理系の本だとわかっていたら、まず買わなかったですね。
結果的には良かったと思います、論理学をある程度理解できたら
少しは物の考え方も効率よくなる?かもしれないし、
このわかりにくい文章も少しはまともになるかもという気がしますし。
それにただの読物としてみておもしろいですね、小説なんかよりぜんぜん面白いです。

リンク先見てみます、しかし初めて見る単語ばかりですよ(笑


512 :132人目の素数さん:03/12/20 18:55
>>511
哲学者の書いた論理学書でもちゃんとしたものはあるよ。戸田山和久氏の本とか、清水義夫氏
の本とか。彼らはちゃんと数学としてのロジックを勉強してるからね。三浦氏の本は教科書とい
うよりは読み物なので、多少本格的に論理学の勉強をしたいのなら、戸田山氏の『論理学をつくる』
という本が初学者向けでおすすめです。ものすごく親切。

気をつけたほうがいいのは、>>509 みたいなことを言う人です。

ただ、

> 論理学をある程度理解できたら少しは物の考え方も効率よくなる?

こういう幻想は抱かないほうがいいと思う。論理学というのはあくまでも、正しい推論を数学的
に特徴づけることを目的としているので、それを勉強したからといって正しく思考できるよう
になるわけではないです。ちょうど、一流サッカー選手の動きを科学的に分析したからといって、
サッカーがうまくなるわけではないのと同じ。

513 :132人目の素数さん:03/12/20 19:57
>>503 >>505 >>508
ウルトラフィルタは論理じゃなくて数学だろ(w
だいたいモデル理論(代数的意味論)が数学なんだけどね。
ま、ここは数学板だから数学の話をするのは当然だけどさ。


514 :132人目の素数さん:03/12/20 20:08
>>512のいう「ちゃんとしてる」って例えば算術の計算みたいに
機械でもできる手続きが書かれているってことみたいだな。

ま、手続きなんていうのは、別に数学だけが独占してるわけでは
ないんで、文系の哲学屋にだってちゃんとわかることだよ。

すくなくとも小学校で習う筆算が理解できる程度のオツムの持ち主なら
記号論理学の証明手続きは理解できる。同じ程度の話だから。

理屈からいえば、数学の問題も完全に論理式として記述できて
証明が存在するなら、完全に機械的な手続きで求まる。
(代数の式にできれば機械的計算で答えが求まるのと同じ)
ただ、代数的計算と違うのは、実に膨大な時間がかかること。
だからお勧めしない。

人間が賢いのは機械的計算以外の知恵があるから。
こういうことは論理学では教えない。すべて経験の問題。

515 :132人目の素数さん:03/12/20 20:15
>>514
>理屈からいえば、数学の問題も完全に論理式として記述できて
>証明が存在するなら、完全に機械的な手続きで求まる。

証明が存在しない場合、止まらない可能性が多々ある。
(例えば2次方程式の解が無理数なのに、分数で
近似しようとすると終わらなくなるとかいうのと同じ)

>>484氏のつまづきは初心者にはよくありがちのものと
思うので、めげずにじっくりやれば乗り越えられると
思う。少なくとも微積分や平方根の計算よりは簡単。

516 :132人目の素数さん:03/12/20 20:50
>>514 は論理学者は機械的な記号変形だけやってるとでも思ってるのか?
だったらそもそも論理学なんて研究する必要ない罠

517 :132人目の素数さん:03/12/20 21:20
>>516は論理計算と論理研究を混同してる罠

整数論の研究と四則演算を混同してたりして(藁


518 :132人目の素数さん:03/12/21 04:20
論理を計算に変えようとする傾向は、哲学者ライプニッツ以来のもので
すが、ラッセルやフレーゲ辺りに起源をもつ現代の形式主義論理学や
記号論理学は、コンピュータという成果を除けば、むしろ論理的思考や
記号理解を妨げる数学主義と言えるでしょう。哲学者ヘーゲルの言葉に
「数とは無思想(無概念的)な概念であり、数学的推論(証明等)とは
事物の内面に入り込まない外面的(外延的)思考である。」
という趣旨の批判がありますが、物事の内面的な本質を理解することは、
それを計算処理することではないし、むしろ「集合、真理(表)、計算、
推理等々とはどういう事柄なのか」を反省的・概念的に理解することが
論理的思考を鍛えることに結びつくでしょう。


519 :132人目の素数さん:03/12/21 09:10
>>518
あはは、そもそも君がいいたい思考や理解は、
論理的じゃないし記号処理でもないんだよ。

つまり君のいう内面的な本質は論理を超えた直観なわけ。
集合の公理、真理「表」はヘーゲルいうところの無思想な概念
計算、推理はヘーゲルいうところの外面的思考なわけ。
鍛えるべきは、非論理的直観なわけ。
それがわからないから、君は数学で結果を出せないわけ。

520 :132人目の素数さん:03/12/21 10:35
>>509 >>518
哲学板からへんなものコピペしてくるのはやめてくれ

http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1038386875/197
http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1038386875/200

521 :132人目の素数さん:03/12/21 16:53
>>508
ところでPhilosophical LogicのPhilosophyを捨てて
Logic(あるいは端的にCalculusといったほうがいいか)
だけを”盗む”やり口は、つねにオリジナルを馬鹿にし
コピーを良しとする日本人の好むところだ。


522 :132人目の素数さん:03/12/21 18:33
またやってるよエムシラw
            ∧_∧
     ∧_∧  (´<_`  ) 毎日毎日よく飽きねーよな、、、
     ( ´_ゝ`) /   ⌒i    ______________________
    /   \     | |  / 彡川川川三三三ミ〜 プゥ〜ン
    /    / ̄ ̄ ̄ ̄/ /   川|川/ M\|〜
  __(__ニつ/ I.I.I. Inc. / ∠    ‖|‖ ◎---◎ |〜   Philosophical LogicのPhilosophyを捨てて(ry
      \/____/  |   川川‖ /// 3///ヽ〜
                |   川川    ∴)д(∴)〜
                |   川川       〜 /〜            ___
                |  川川川‖    〜 /川〜 ピュッピュッ     .|  |   |\_
                |  / 川川    _/ ;|\〜      ρ   |  |   | |  |\
                | /    /  >>521  ;|      ρ      |  |   | |  |::::|
                |(     (;;  ・     ・;)  ρ         |  |   | |  |::::|
                | \    \    亠 ρ);;   ̄ ̄\     |  |   | |  |::::|
                |   \   \   C))  ;) ̄ ̄\っ))))〜〜|  |   | |  |::::|
                |     \   ̄つ/ / ;)  | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
                |      \  (__/  _;)   ̄ ̄ ̄.| _________. |
                |       ;;\__/  ;)  シコシコ  | |           ..|.|
                |       (;;; );; )  \       | |  ヽ(^。^)ノ  ....|.|
                \________________________

523 :132人目の素数さん:03/12/21 18:56
以前(旧)「論理学」スレで形式論理論者達と議論して良い所まで行ったが、
 スレがパンクして尻すぼみになってしまった。その最後において確認で
 きたのは、<真理表>に関して、仮定と断定との混同、記号と個別命題
 との矛盾、といった問題があるということでした。
 「命題Aが真であると“仮定”すれば、命題Aは真であることが“導出”
 される。」と聞いたときは、何でそうなるの??とマジで驚いた。
 つまり、形式論理の方こそ、「何とでも言い逃れができる」無謬性を誇
 っているドグマだということです。(例:<可能的意味の世界>におけ
 る「爬虫類かつ人間」の存在)


524 :132人目の素数さん:03/12/21 19:04
>>521
必要の無いものを捨てることがオリジナルへの冒涜なのか?

525 :132人目の素数さん:03/12/21 23:00
>>524
盗人にとっては動機は必要ないだろう。
思いつく苦しみが嫌だから盗んでいるんだからな。

526 :132人目の素数さん:03/12/22 03:26
>>523
これも哲学板のコピペ?
クズ哲って本当にアホだね。「言い逃れ」って…

527 :132人目の素数さん:03/12/22 10:23
>>511
日本では logic は哲学科の中で行うことが主流だったので、その文系の人に
まともな人は多いし、古い本ならば哲学系の物しか存在しなかった。

現在はともかく、歴史的には日本の基礎論&論理研究はまま子扱いで
数学科ではまともにやらせてもらえてなかったはずだよ。前原先生や
竹内先生は若いころ苦労したと聞いているけれど。

528 :132人目の素数さん:03/12/22 10:31
>>508
> これらは元々は哲学の研究のなかから生まれたので Philosophical と形容されてるけど、現代
>では むしろ計算機科学との関係で研究されることが多く、やってることは完全に数学と考えた

やってることはほとんど数学だが、「計算機科学との関係で研究されることが多く」というのは、
誤解を招きかねない。Anderson、Priest、Meyer、Belnap、da Costa といった非古典論理の
海外の著明な研究者の肩書きは哲学者じゃないか?

もちろんコンピュータサイエンスの人も多いけどね。

>>513
君は知らないだろうが、その昔、清水義夫先生が東大で教養の古典論理の
授業をしていた時、後期のおわりはブール束をモデルに使った古典論理の完全性の
証明だったのだよ。

529 :132人目の素数さん:03/12/22 10:40
>>524
海外の基礎研究にただ乗りして工学的な応用ばっかやってることを
批判されてると言うことなら甘んじて受け入れるべきじゃないのかな?

530 :132人目の素数さん:03/12/22 13:40
人の研究の成果を応用するのはそんなに悪いことなのか

531 :132人目の素数さん:03/12/22 16:30
>>529
君のような無能な人間は甘受するしかないだろう。
>>530
自分では成果を出さないのは悪いとかいう以前に、研究者ではない。

532 :132人目の素数さん:03/12/22 16:34
>>528
君は知らないだろうが、ブール値のモデル=ウルトラフィルタではない。



533 :132人目の素数さん:03/12/22 18:36
オレは悪くないというのは悪

534 :132人目の素数さん:03/12/22 19:06
>>532
はいはい。きみは誰かに口調が似てるな(笑)清水先生の「記号論理学」では
そこでウルトラフィルタの話しもすると言うだけのことだよ。

535 :534:03/12/22 19:21
>>532
「知らないだろうが」つーたのは、当時の東大の理1の学生の間での
ヨタ話しだから。なんかプライド傷つけたようならあやまるよ(w。

536 :132人目の素数さん:03/12/22 19:41
>>527
今の哲学科で論理をまともに扱ってるところは限られてるけどな。
哲学板の論理スレはご承知の通り厨のたまり場だし。

つーか、なんで日本の大学の哲学科・数学科の大半は論理学を嫌ってるんだ?

537 :132人目の素数さん:03/12/22 21:03
⇒、⊃、∨、∧、¬、∃、∀を含んでいなくて⊥でない命題A(何て言うんでしょうか)については
常にA∨¬Aを仮定したとき、
∃xA∨¬∃xAと∀xA∨¬∀xAは示せるんでしょうか?

(A⊃B)∨¬(A⊃B)、(A∨B)∨¬(A∨B)、(A∧B)∨¬(A∧B)、¬A∨¬¬Aは出せたので
あとこの2つを導出出来れば排中律使い放題になって嬉しいんですが、どうしてもうまくいきません
ひょっとして無理なんでしょうか

538 :132人目の素数さん:03/12/22 21:18
>>537
導けない。
たとえば HA (直観主義的自然数論) では s=t の形の論理式に関しては
排中律が成立するが、任意の論理式についての排中律は成立しない。

539 :132人目の素数さん:03/12/22 21:29
>>536
数学科しか知らないけれど、嫌っているわけではなくて、
教えられる人がいないだけだと思う。
学生の側からの需要は確実にあるのだけれど、一学年に
一名程度の希望者では応えられないでしょう。

540 :132人目の素数さん:03/12/22 21:35
やっぱり無理ですか(´・ω・`)
諦めるか、個別の命題ごとに頑張るしかないって事ですね

これに∃xA∨¬∃xAと∀xA∨¬∀xAのどっちかを仮定に加えれば
古典一階述語論理になるって事でいいんでしょうか

541 :132人目の素数さん:03/12/22 21:40
>>540
それもうまくいかない。

542 :132人目の素数さん:03/12/22 21:51
>清水先生の「記号論理学」ではそこでウルトラフィルタの話しもすると言うだけのことだよ。

話だけだろ(w
東大の理Tはプライドばかり高くて無能な奴らばっかり(w

543 :132人目の素数さん:03/12/22 21:54
>>537
> あとこの2つを導出出来れば排中律使い放題になって
そもそも、ここの議論が誤り。

544 :132人目の素数さん:03/12/22 21:54
うーん、本当ですね
やっぱり「全ての命題で排中律が成り立つ」まで行かないとダメなんですかね
それともその間にうまくいくところがあるんでしょうか

545 :132人目の素数さん:03/12/22 22:02
>>543
うーん…
A∨¬A、B∨¬Bなら
(A⊃B)∨¬(A⊃B)、(A∨B)∨¬(A∨B)、(A∧B)∨¬(A∧B)、¬A∨¬¬Aが出るんだから
A∨¬Aから∃xA∨¬∃xAと∀xA∨¬∀xAが出れば、⊃、∨、∧、¬、∃、∀の組み合わせの形は
全部排中律成り立つようになりませんか?
どこが間違ってるんでしょうか…(そもそも間違ってるんですけど)

546 :132人目の素数さん:03/12/22 22:15
>>545
最初の質問では、A が原子論理式のとき A∨¬Aから∃xA∨¬∃xAと
∀xA∨¬∀xAが出るかという話だった。
いつのまにか、任意の論理式 A に対し、A∨¬Aから∃xA∨¬∃xAと
∀xA∨¬∀xAが出ることを仮定してしまっている。

547 :132人目の素数さん:03/12/22 22:26
>>546
原始論理式AでA∨¬Aから∃xA∨¬∃xAとかが出せれば、
その証明の中のAをA⊃Bとかに変えれば(A⊃B)∨¬(A⊃B)から∃x(A⊃B)∨¬∃x(A⊃B)とかの証明になりますよね
(A⊃B)∨¬(A⊃B)はA∨¬AとB∨¬Bから出せるんだから、
A∨¬AとB∨¬Bから∃x(A⊃B)∨¬∃x(A⊃B)が出ることになりますよね
これをそれぞれの関係について繰り返せば、どんな論理式でも排中律出せませんか?

548 :132人目の素数さん:03/12/22 22:42
なんかHytingモデル考えたら>>537が成立しそうな感じがしたんですが。
ちょっと証明を試みてます。

549 :548:03/12/22 22:51
あ、述語が入ると無理ですね。
そうでなければ成立しそう。

550 :132人目の素数さん:03/12/23 03:48
>戸田山氏の『論理学をつくる』

「論理学はつくるものだ」と思っているところが痛い。

551 :132人目の素数さん:03/12/23 10:37
>>547
君の述語論理は∀とか∃とかが高々一個しかつかないんだね。
まるで、アリストテレスかエムシラ御大だね。


552 :132人目の素数さん:03/12/23 10:56
>>551
すいません、何でそういうことになるのかわかりません…
同じようにA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAとA∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAが出れば、
A∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAの証明の中のAを∀xAに変えれば∀xA∨¬∀xA⇒∃x∀xA∨¬∃x∀xAの証明になって、
A∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAなんだからA∨¬A⇒∃x∀xA∨¬∃x∀xAですよね
さらにA∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAの証明の中のAを∃x∀xAに変えれば、上と合わせて
A∨¬A⇒∀x∃x∀xA∨¬∀x∃x∀xAが出るし、A∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAの証明の中のAを∀x∃x∀xAに変えれば、
A∨¬A⇒∃x∀x∃x∀xA∨¬∃x∀x∃x∀xAが出るし、いくつでも付けられると思うんですが

553 :132人目の素数さん:03/12/23 14:25
>>539
logic ヘの嫌悪をあからさまに公表する数学者もいることから、「嫌ってる」というのは
あながち外れた話ではないんじゃない?数学の政治史的な研究を待たないとあれだが、
数学の中では基礎論はつまはじきだったことは否定できないよ。

ちなみに哲学で真面目にやってないのは、logic の研究は英米系が主流だった
けれど、日本ではヘーゲル、マルクス、ハイデガーといったドイツ系の哲学が
主流で、そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったようだよ。

>>550
はあ?プラトニズムの方ですか?そのほうが痛いんですが?

554 :132人目の素数さん:03/12/23 14:26
>>553
>そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったようだよ。
→「そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったためのようだよ。」

555 :132人目の素数さん:03/12/23 15:23
「20世紀型の論理」なんてエムシラ召喚フレーズを唱えて大丈夫なんかい?

556 :132人目の素数さん:03/12/23 17:03
>>552
>Aを∀xAに変えれば

なんでそうできるの?
君、>>537
「⇒、⊃、∨、∧、¬、∃、∀を含んでいなくて⊥でない命題A」
と書いてるよね。
だから”∀”を含む命題は代入できないよね。
(終)

557 :132人目の素数さん:03/12/23 17:07
>>553
>logic の研究は英米系が主流だったけれど、

けどじゃなくてけれどと書くところにエムシラの匂いが。

ちなみに、
「日本の哲学で真面目にやってないのは、
 logic の研究は英米系が主流だったけれど、
 日本ではヘーゲル、マルクス、ハイデガーといった
 ドイツ系の哲学が主流だったから」
と書くべきだね。

「で、そのため20世紀型の論理はあまり盛んではなかったようだよ。」
なんてアホなこと言わないほうが身のためだよ。



558 :132人目の素数さん:03/12/23 17:12
>>556
???
一旦「⇒、⊃、∨、∧、¬、∃、∀を含んでいなくて⊥でない命題A」でA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAが出来れば、
その証明の中の「A」を全部機械的に「∀xA」に置き換えれば、
それはそのまま∀xA∨¬∀xA⇒∃x∀xA∨¬∃x∀xAの証明になるはずじゃないですか
一階述語論理の公理にAでは成り立って∀xAでは成り立たなくなるものなんてないはずですが?

559 :546:03/12/23 20:37
>>547
あらごめんなさい。
いつの間にか、頭が論理のモードでなく理論のモードになっていました。

今回はどちらでも大丈夫だと思うけれど、単に A∨¬A から ∃xA∨¬∃xA
が出ると書くと、「A∨¬A⇒∃xA∨¬∃xA が証明できる」と「A∨¬A が
証明できれば ∃xA∨¬∃xA が証明できる」の区別が必要なときに困るの
で注意が必要かも。



560 :132人目の素数さん:03/12/24 08:12
>>558
ん?排中律ぬきの論理に
「原始論理式AでA∨¬Aから∃xA∨¬∃xAとかが出る」
という”公理”を加えて、排中律を実現するって
話じゃないのかい?

561 :132人目の素数さん:03/12/24 10:10
>>560
「直観主義論理において、任意の原子論理式pに関して p∨¬p が成立している時、
任意の論理式Aに関して A∨¬Aが成立する。」

が証明したいことなんだよね?

証明できないなら反例を作る、正しいなら式の複雑さに関する帰納法で
証明するのが定石だと思うんだけど、なんでこんなふうに錯綜してるの?

>>557
いや、別にそんな添削しなくても文意は読み取れますが??


562 :132人目の素数さん:03/12/24 10:46
>>549
そのとおりで、少なくとも命題論理の範疇では成立します。

論理式に含まれる論理結合子の数を degree と呼ぶことにすると。

1) degree = 0 のときは、仮定により成立
2) degree < n のとき成立を仮定すると、

(A⊃B)∨¬(A⊃B)、(A∨B)∨¬(A∨B)、(A∧B)∨¬(A∧B)、¬A∨¬¬A

がそれぞれ、A∨¬A, B∨¬B という仮定から導出できることから、
degree = n でも成立する。

以上のことから、この仮定が成立している時には、任意の論理式で排中律が
成立することが分かります。

さて、述語論理になるとどうなるでしょうね?

563 :132人目の素数さん:03/12/24 12:24
>>560
今までの議論は537の話で、
「原始論理式AでA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAとかが証明出来ると仮定する」と何でも排中律が成り立つだろう、という話です。
「原始論理式AでA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAとかを仮定する」とは違う話です(540がこれなので混乱したかも知れませんけど)
下の方は間違いで、上の方は正しいがA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAが証明出来ないので役に立たないということです

564 :132人目の素数さん:03/12/24 18:12
講義で教官に2階算術の参考書を個人的に教えてもらって、今度持ってきて
やる、と言われたのにサボってしまった。なんか、非常に申し訳無いこと
をしたような気が... というか、俺って糞だなw

多分537はLJか何かの話をしていて、任意のatomic formulaに対して排中律
を公理に加え、さらに任意の命題Aに対してA∨¬A⇒∃xA∨¬∃xAと
A∨¬A⇒∀xA∨¬∀xAの両方(もしくは一方?)を公理に加えると任意の命題A
に対してA∨¬Aが証明できる、と言っているんだと思われ。
もっともそんなことしても、あまり嬉しくないような気はするけどw

565 :132人目の素数さん:03/12/24 19:05
>>564
> もっともそんなことしても、あまり嬉しくないような気はするけどw

そう?直観主義論理への古典論理の埋め込みは、嬉しい嬉しくないはともかく
良くある問題ではあるが。

最初に証明したのはゲーデルで、当時は結構センセーショナルな定理だった
はずだ。

566 :132人目の素数さん:03/12/24 21:32
>>565
>そう?直観主義論理への古典論理の埋め込みは、嬉しい嬉しくないはともかく
良くある問題ではあるが。

をひをひ、>>537は埋め込みじゃないだろ。
直観主義論理に公理を追加して古典論理にしてるだけ。


567 :132人目の素数さん:03/12/25 01:40
>>566=dデモ助平町人マツシン痰(w

568 :132人目の素数さん:03/12/25 08:19
>>567=エムシラ御大?

569 :132人目の素数さん:03/12/26 19:28
>>553
>プラトニズムの方ですか? そのほうが痛いんですが?

おまえ、相当、「足らん」な。(爆笑

おまえは、例えば、「質量がエネルギーに転化する」という法則を
アインシュタインが“造った”とでも言いたいのか?

# アインシュタインは、そういう法則が存在することを「発見した」
だけの話であって、決して「造った」わけじゃないだろが!


570 ::03/12/26 19:32
ですよね。 論理法則も、発見されたものであって、人が勝手につくったもんじゃ〜決してない。

571 :132人目の素数さん:03/12/27 00:58
『論理学をつくる』ってのは、発想からして間違いってことなのれすかね・・・。

572 :132人目の素数さん:03/12/27 01:19
そうですか? 少なくとも、少なくとも線型論理や様相論理などの非古典論理
は人間が作った、といえる部分がかなりあると思うんだが。別に人間が
作ったから無意味だ、なんて述べている訳じゃない。そもそも、Brouwerは
「数学的概念とは数学者の精神の産物でありその存在、真偽は構成によって
定めらるべきである」と考えている。例えば、選択公理や連続体仮説は
真か偽か? 非古典論理や集合論を勉強したことのある人なら安易に
プラトニスト的発言は出来ないと思う。恐らく古典論理にも、数学の中にも
人間が創った部分と発見した部分が在ると思う。(古典論理は「神様の論理」
だけど、そもそも「神様」は人間の創造の産物だ。)
尤も、この板は数学板だから(数学的)プラトニストが他の板の5割増しで
居るのだと思う。(例えば一部のζ函数の研究者等は公然と自分は
プラトニストであると公言すると思う)別に数学的プラトニズムが誤っている
等とは私は考えないが、(自然数は人間の恣意的概念か? あのKroneckerで
さえ神様が創ったと認めている!)飽くまで数学の概念の非範疇性や不完全性
定理やLoewenheim-Skolemの定理の結果が意味することなどを理解した上で、
反省の上に公然と自覚的にプラトニズムを信奉するべきだと思う。
いかがでしょうか。私は論理学に発見するものだと思っている550も
プラトニズムは痛いと数学板で公然と述べた553も思慮不足だと思う。
(我々は少なくとも自然数論の無矛盾性は確たる根拠なしに"妄信"せねば
ならない)『論理学をつくる』のなかでプラトニズムに対する批判が
書いてある。でも、公然とプラトニズムからの離脱を述べたこの題名は
たしかに凄い。(素晴らしいかどうかは分からない。)
それにしても、同じ形式化可能な学問なのに(論理学は数学の青年時代で
あり、数学は論理学の壮年時代である by Bertland.Russell)論理学は人間が
作るもので数学は発見するものだと、それぞれの研究者は固く信じきって
いる。ちょっと面白いな。

573 ::03/12/27 01:57
「線型論理や様相論理などの非古典論理は人間が作った」が為に、間違いだったのですた。ヽ(^。^)ノ

574 :M_SHIRAISHI:03/12/27 02:57
>>572

論理学は、「記号化」することなら、勿論、可能だが、「形式化」できると考えるのは≪妄想≫である。
論理学は、従来のおおかたの予想に反して、実質的な学問なのである。 形式的に見えるのは、物理学
のような1階の理論ではなくして、それが2階の理論だからである。

“形式論理”などという用語を造ったのは、論理学を全く誤解していた"馬鹿Kant(Immanuel Kant)"
愚かな所業であり、後世の笑いものとなろう。


575 :572:03/12/27 03:34
>>573
まぁ、正直なところ、線型論理はそう言われても仕方がないかも
しれないですが(私はあまり興味は湧きませぬ...)
でも、いわゆる自動販売機の例は、線型論理を考える1つの意味を説明
してくれているし、様相論理には、自然数論において、在る適当な解釈
をすると
        □x⇔XはSで証明可能
      〜□〜X⇔XはSで無矛盾
       〜□X⇔XはSで証明不可能
       □〜X⇔XはSで反証可能
□X∨□〜X⇔XはSで⇔XはSで決定可能
  〜□X∧〜□〜X⇔XはSで決定不可能
      〜□⊥⇔Sは無矛盾
       □⊥⇔Sは無矛盾
というアナロジーが成立するらしいと聞いたので、あまり不自然には
思っていません。(様相論理の星の数ほどある公理系の殆どは人間が
創った公理でしょうけど。)あまりこのことに関して存じていないので
確かなことは分かりませんが、証明可能、という命題或いは在る証明(図)
が正しい、という命題がそんなに不自然でしょうか?

576 :572:03/12/27 03:44
失礼、□⊥⇔Sは(無矛盾ではなく)矛盾です。それから、証明可能、という
(命題ではなく)性質、と敢えて訂正します。
まぁ、非古典論理に対する人工的な感じは本質的だとは思うのですが、上の
"翻訳"を知ってから、少し私のその感じは和らぎました。(c.f. Boolos,
The Logic Of Provability? 見たことすらないのですが多分参考になるか
と。)様相論理(というか、証明可能論理というのかな)を使うと、
第2不完全性定理が即座に証明できるらしいです。知識がないのであまり
詳しいことは申せませんが。

なんか、このスレだけ、妙に変な言葉遣いしてんな、漏れ...(w

577 :132人目の素数さん:03/12/27 08:47
>>572
知ったかぶって語る君が一番イタイ(w

論理屋、集合論屋以外の数学屋はなんも知らんからプラトニストでいられる。
知ってしまったらそうはいかない。
現に足立恒雄センセイはプラトニストを卒業された。


578 :132人目の素数さん:03/12/27 08:49
「線型論理や様相論理などの非古典論理は御大には理解できない」が為に、間違いだと御大は思ってるのですた。
ヽ(*。*)ノ←お手あげ


579 :132人目の素数さん:03/12/27 21:07
>577
>足立恒雄センセイはプラトニストを卒業された。

足立恒雄だってよ(pu;


580 :572:03/12/28 04:42
>>all 内容が数学から離れてしまっているとしたら申し訳ないです。
>>577
知ったかぶってるというか、まぁ、胡散臭い感じがしないでもない(w
ほんの少し前までは自分自身がガチガチのプラトニストであったので、
基礎論を齧ってみてもしかしたらその信念は無批判に認めて良いものでも
ないのでは、などと思ったりもしたので生半可なちょっと哲学臭い事を
書いたのです。足立恒雄さんが、自分は数学的プラトニストではない、と
直接或いは間接に言明した文献を(彼が公的にその事を表明しているのなら)
教えて下さい。
あと、漏れは全ての数学者がプラトニストだとは言ってません。
今でも海外には少数生息している直観主義者は多分プラトニストではない
と思いますが、漏れは直観主義は採れません。例えば√2が有理数でない
事を証明するのが如何に大変になるか。
>>知ってしまったらそうはいかない。
Goedelが(恐らくは数学の哲学的には)プラトニストであったのをご存知
でしょうか?

581 :132人目の素数さん:03/12/28 15:27
>>580
「無限の果てに何があるか」「無限のパラドクス」あたりに
そんなようなことが書いてなかったっけ?
あと、直観主義でも√2が有理数でないことの証明は同じ。
知ったかぶりは恥ずかしいよ。

>Goedelが(恐らくは数学の哲学的には)
>プラトニストであったのをご存知でしょうか?

ゲーデルはただのプラトニストじゃないよ。
神の存在を証明しちゃった人だから(藁


582 :132人目の素数さん:03/12/28 23:25
古典論理だって、その古典論理事態はなにか神秘的な実体があるかもしれないが、
そこから形式的体系を作り出すのは人間。さまざまな体系があり、そこには確かに
制作者の創意がある。変に題名に絡んでるやつは一つしか体系を知らないのだろう。

>>576
>第2不完全性定理が即座に証明できるらしいです。知識がないのであまり

決定不能の論理パズルぐらい読んでから出直せ。

583 :132人目の素数さん:03/12/28 23:46
>>566
????。Gödel-Gentzen negative translation による直観主義論理への
古典論理の埋め込みの証明の命題論理部分と本質的に同じじゃないですか?



584 :132人目の素数さん:03/12/29 00:22
「論理パズル」は人間がつくるが、「論理法則」は人間がつくるわけではない。 当たり前のことだが(w

585 ::03/12/29 02:11
うわっクサッ!!!

586 :132人目の素数さん:03/12/29 10:52

マツシンのこく屁の成分の80%は硫化水素ちゅうから、そりゃ臭いの何のって、たまんらんぜ、ほんま。

587 :572:03/12/29 15:46
(数学的な)Platonismを擁護してやりたかったのですが(実際数学をする
ときに、Platonismはなぜか役に立つ!!)どうも、痛い失敗をしてしまった
ようです。√2の無理性はの証明は良く考えてみたら、¬-introであって
¬¬-elimではないので、直観主義的には(も)"帰謬法"ではなく、容認
されるのですね。(しかし、以前某有名大で「背理法を30〜100字で説明
せよ」という問題が出たんだが、採点は如何に行われたのだろうか......)
(√2^√2)^√2の例は知っていたのですが、一寸直観主義(或いは数学的
構成主義)に対する批判としては苦しいだろうと思ってうっかり馬鹿な事を
遣らかしてしまったようです。多分√2の存在証明も中間値の定理か何か
から構成的に得られるのでしょう。BishopやRichmanは構成主義的解析を
構築しているし、Weylもゲッティンゲンで新入生用の解析入門を直観主義
の立場で講義したらしいので。もっと高度な数学では事は簡単には運ばない
だろうとは思いますが。古典論理に毒され過ぎているかも知れません。
勉強を遣り直す必要が在るようです。別に直観主義者になる訳ではないので
ご安心を(^^; 私の書き込みを不快に思われた方はすいません。
>>581
Goedelが一寸不思議な人で、偏屈な人だったのは知っていますが、足立先生
とどちらが数学の基礎について良く考えた人かを考えたとき、私はGoedel
だろうと思ったのですが...
>>582
出直してきます。(w
最後に、572死すともPlatonismは死せず!!

588 :132人目の素数さん:03/12/29 15:53
 哲学板でも、論理学と言えば形式(主義)論理学を指す場合が殆どです
 が、「論理的とはどういうことか?」といった論理の本質に関する設問
 となると、むしろ形式論理学では解けないでしょうね。


589 :132人目の素数さん:03/12/29 15:54
>形式(主義)論理学

主義はいらないよ。
直観主義論理に対比する場合は、古典論理というけどね。
(つまり直観主義論理も形式論理の一つなので)

>「論理的とはどういうことか?」といった
>論理の本質に関する設問となると、むしろ
>形式論理学では解けないでしょうね。

世間でいう論理的とは単に前提から結論までの推論を
はっきりさせるという意味合いしかない。

ところで論理的だから「正しい」ということにはならない。
つまり前提が間違っていれば、結論は無意味だ。
数学においても、「そもそも、公理って無矛盾なわけ?」
というツッコミに「然り」といえない状況である。


590 :132人目の素数さん:03/12/29 15:54
>世間でいう論理的とは単に前提から結論までの推論を
>はっきりさせるという意味合いしかない。
>ところで論理的だから「正しい」ということにはならない。
>つまり前提が間違っていれば、結論は無意味だ。
 たとえば、
 「すべての馬は2本足である。」(A)
 「それは一頭の馬である。」  (B)
 「故に、それは2本足である。」(C)
 において、
 1.推論は、はっきりしていて論理的と言うべきなのか、
   論理的だが正しい推論ではないと言うべきなのか?
 2.結論は無意味なのか、誤り(事実と違う場合)なのか、
   正しい(それが事実として2本足の場合)のか?
 については、如何?
 あくまで、論理学の初心者向けの回答をよろしく。


591 :132人目の素数さん:03/12/29 15:55
君は論理的でないというのかね?
誤りは意味があるというのかね?


592 :132人目の素数さん:03/12/29 15:56
>君は論理的でないというのかね?
>誤りは意味があるというのかね?
 質問に質問で返すこと(反問)は、初めの質問の意図の確認の場合以外
 はフェアではないとも思うが、まあ良いでしょう。
 私の意見は、
 1.論理的ではない
  何故なら、論理的に考えるとは、しっかりとした前提から思考を始める
  ということであり、「4本足の動物」という規定性が含まれる<馬>の
  正しい概念から始めない上記の例は、論理的ではない
 2.意味はある
  何故なら、およそ誤謬は概念、判断、推論において必然的であり、
  「誤謬は真理の必然的な契機としては、もはや誤謬ではない」(ヘーゲル)
  だからです。つまり、思考の論理性の根拠を教える点で意味がある
 ということですね。如何でしょう?




593 :132人目の素数さん:03/12/29 15:58
質問に質問で返すのは、意図があるから。
いずれ君にも分かるだろう。

さて

> 1.論理的ではない
>  何故なら、論理的に考えるとは、しっかりとした前提から思考を始める
>  ということであり、「4本足の動物」という規定性が含まれる<馬>の
>  正しい概念から始めない上記の例は、論理的ではない

 また君にたずねるが(笑)、<馬>を「4本足の動物」と規定するのは
いったいいかなる論理によって正当化されるのかね?。もし何の論理も
ないのであれば、それがいかに君にとって自然なことであっても、論理的
とはいわないのではないかね?

ということで私は>>590の推論は論理的だと思う

594 :132人目の素数さん:03/12/29 15:59
>>575
線形論理の直感的な把握を助けきれない自販機の比喩と一緒にしない
ほうがいい。

多くの場合 G と呼ばれる様相論理は、その様相を「証明可能」と読むのに
妥当であると logician が確信するにたる定義をされている。

595 :132人目の素数さん:03/12/29 16:00
> 2.意味はある
>  何故なら、およそ誤謬は概念、判断、推論において必然的であり、
>  「誤謬は真理の必然的な契機としては、もはや誤謬ではない」(ヘーゲル)
>  だからです。つまり、思考の論理性の根拠を教える点で意味がある

君の立場に立つならば、真理は論理以前に明らかなのであるから
論理はまったく意味がないということになる。

例えばヘーゲルは太陽系には5つの惑星しかないことを
神学の体系から証明した。その後、ガウスは天文学の
計算から小惑星ケレスを発見した。
ヘーゲルの「論理」は真理を見つけることには何ら貢献せず、
単にヘーゲルが信じるところの「神学」の無意味性を明らかに
しただけであった。もちろん、それを知ったことでヘーゲル
自身には意味があっただろうが、ガウスからいえば
「ガリレイの時代ならともかく、このご時世に何をいまさら」
というようなものだろう。
いっとくが、物理学が絶対に正しいなどという妄言を吐く
つもりはない。むしろ昨日の神学は明日の物理学かも知れない。
もし論理に意味があるとしても、それはあくまで人間のアテ推量
の前提の誤りを穿りだすネガティブな意味でということだ。
決して真理を明らかにするポジティブなものではない。


596 :132人目の素数さん:03/12/29 16:01
>意図があるから。
 <討議の倫理性>(byハーバーマス)に反する、<戦略的思考>ですね。
 誠実性がない場合、論理的な対話は始めから困難でしょう。
><馬>を「4本足の動物」と規定するのはいったいいかなる論理によって
>正当化されるのかね?。
 無論、生物学的な種の固有性という規定ですね。生物学における、種の
 発見からその起源に到るまでの、多くの観察、仮説、論証、実証の全体が
 論理的だと言うことです。  
>もし何の論理もないのであれば、それがいかに君にとって自然なことで
>あっても、論理的とはいわないのではないかね?
 「ある言明に論理が無ければ、それを論理的とは言えない。」とは
 同語反復であり、無意味でしょう。再び、「論理とは何か」。
>ということで私は>>590の推論は論理的だと思う。
 「ということで」(故に)とは何を受けているのかな?
 言明の根拠が示されない以上、論理的な回答ではないと思うが、如何?


597 :132人目の素数さん:03/12/29 16:02
>真理は論理以前に明らかなのであるから
>論理はまったく意味がないということになる。
 どのようにして、上のカキコから、そういう結論が導出されるのかな?
 “含意”その他の形式を使って、論理的に証明できますか?
>もし論理に意味があるとしても、それはあくまで人間のアテ推量の前提
>の誤りを穿りだすネガティブな意味でということだ。 
>決して真理を明らかにするポジティブなものではない。
 それが回答のようですね。
 論理に意味があるとしても
 :「論理」とはなにか、が論理という言葉の意味(概念)ですね。
 アテ推量の前提の誤りを穿りだす(穿つ?搾る?)ネガティブな意味
 :通常、仮説とは多くの観察事実に基づき、
  「もし、○○ならば、この事実は整合的に説明できる。」
  と立て、その検証が始まるわけです。科学的な仮説→検証(実証、反証)
  の論理とは非常にポジティブであり、近代科学技術成功の鍵ですね。




598 :132人目の素数さん:03/12/29 17:42
>>583
>Gödel-Gentzen negative translation による
>直観主義論理への古典論理の埋め込みの証明の
>命題論理部分と本質的に同じじゃないですか?

>>537だけではそうとはいえないんじゃない。
何しろ肝心なことが何も書いてないから。
で、もし同じなら命題論理部分だけじゃなくて
述語論理部分もうまくいくはずだけど。

599 :132人目の素数さん:03/12/29 17:50
>>594
あれは□の性質が証明可能性の性質をトレースしてるから
ある意味、当たり前っていえば当たり前。

ただし、証明可能性の定義によっては、条件を満たさなくなる。
ロッサーの定義では、第二不完全性定理は証明できない。

600 :132人目の素数さん:03/12/29 18:04
>ロッサーの定義では、第二不完全性定理は証明できない。

実際無矛盾性が証明できる。だからといって
「ゲーデルの壁は破られた」とは誰もいわない。
(詳しくは前原昭二「数学基礎論入門」
第10章”ゲーデルの第二不完全性定理”
10.5"クライゼルの注意"を読まれたい
 この証明はあまりに簡単で拍子抜けする。)

601 :132人目の素数さん:03/12/29 23:21
直観主義論理への古典論理の埋め込みって
ぐりべんこの事でOK?
ちょっと(かなり?)古風に書いてみました。

602 :132人目の素数さん:03/12/30 17:15
reduction to absurdity(不条理への還元、帰謬)とは、弁証法的な内容
 を含んでおり、結論が単なる無意味ではなく、必然的な不条理に帰すが
 故に、真理の媒介となる(否定の否定)ということでしょう。たとえば、
 「人間は、羽のない2本足の動物である。」という<定義>を立てた
 プラトンに対して、羽をむしった雄鶏を示して、その背理を突きつけた
 ディオゲネスは、市民から「ただの犬」(犬儒派、4本足の哲人?)と
 呼ばれ、妥当的な(正常な)人間ではないと見なされたそうな。
 この場合、上記の言明が仮説(<人間>の本質は羽のない2本足の動物
 である)ではなく、定義(羽のない2本足の動物を「人間」と呼ぶ)に
 過ぎないことを事実をもって示したわけだが、プラトンは定義の修正
 (「平たい爪をもつ」との特性追加)により定説を維持するだけで、
 「人間の前提とは何か?」にまで遡及しなかったため、単なる否定で
 終わった。白昼にカンテラをかざし、「真の人間(人間の概念に相応しい
 実存)はいないか?」と探し回った、活きた論理(背理の徒)の一例。

603 ::03/12/30 22:40
帰謬法(reductio ad absurdum)は、そのような「つまらん議論」とは無縁だ、アッフォー!

604 :十二使鳥:03/12/31 17:53
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
人々は宇宙を途方もなく大きいものだと認識していますが、実は宇宙は
とても小さいものなのです。
 ネズミは人間から見れば小さな生き物ですが、ダニにしてみればネズミ
は大きな生き物です。そしてダニから見た人間は途方もなく大きなものな
のです。その途方もなく大きな人間も鯨から見れば尻尾の先でしかありま
せん。その鯨も・・・
 実はこの宇宙というものは神様の鼻くその一部でしかないのです。

 【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか?】

605 :十二使鳥:03/12/31 17:54
まず 【この世は有と無から成ります】
、何も無い空間。その空間には大きさも重さも何もありません。
全ての【認識は不可能】です。
次にその何も無い空間に一点の有(物体、個体)をイメージします。
そこから【認識は始まり】ます。

無(空間)は有(物体)に働きを与え、有は様々な現象、実像を起こします。
一点の有には一方向の時間(無)という実体の無いものの働きにより運動
(有、変形)が起こります。
時間を宿した有はやがて二方向の実体のないものの働きによりAとaの
二点に分裂(有)されます。
Aとaの分裂は新たなる個々の時間の発生を意味しますが、同時に一つ
の全体の時間というものにAとaは繋がれています。

606 :十二使鳥:03/12/31 17:55
大きさにしても重さにしても【量は二点で決まります】
二点の内の一点(基準)は我々個々に存在しています。
その(人間)基準から見れば宇宙は間違いなく大きいものなのです。

 【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか?】
この愚問には基準が存在していません。量の認識は不可能。


http://aa4a.com/chichannel/
8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

607 :132人目の素数さん:03/12/31 19:00
議論の腰を折るようなんですが、質問いいですか?

この前、経済学部博士課程院生(専攻;ロシアの軍需産業)という人が、
「正しいとは、具体例があることである」
とか言ったのに反論して、
「正しいとは、矛盾がないことです」
と答えたんですけど、合ってますかね?

わかる人いたら、教えてください。




608 :132人目の素数さん:03/12/31 19:01
すいません。経済学部ではなく、経済学です。

609 :132人目の素数さん:03/12/31 19:05
質問です。

スマリヤンの『ゲーデルの不完全性定理』を読んでるんですが、
ゲーデル数がでてくるたびにわけわかんなくなってしまいます。

ゲーデル数って、何のためにあるんですか?
これがないと、不完全性定理の証明に困ることとかあるんですか?

610 :132人目の素数さん:03/12/31 20:18
>ゲーデル数って、何のためにあるんですか?

論理を、数の計算に変換するためにある。

>これがないと、不完全性定理の証明に困ることとかあるんですか?

当然必要だな。

611 :609:03/12/31 20:41
わかんねー!
そこから先は、自分でやれと言うことか(ToT)

612 :132人目の素数さん:03/12/31 22:24
>>607
矛盾した命題は偽であるが、偽は矛盾した命題であるとは限らない。

613 :132人目の素数さん:03/12/31 23:22
>>607
矛盾していないでかつ無意味な命題や現実にそぐわない理論が存在しうる以上、君のテーゼは
全く正しくない。「矛盾していない」は正しいことの必要条件でしかないよ。

たとえば、天動説の理論は矛盾しておらず、現象を説明できるが正しいとは見なされない。

614 :132人目の素数さん:03/12/31 23:59
まず、A(およびB)の形式内容として、ざっと、
 1.「A」とは一つの記号であり、それは任意の<命題>を代表している。
 2.「命題」とは定立された<判断>であり、通常「主語ー述語」という
   構造をもつ平叙文(○○は××である)により表現され、全体として、
   何らかの<事態>を対象的(客観的)に明示する。
 という規定が必要ですね。それらは、立派な(形式上の)内容です。


615 :132人目の素数さん:03/12/31 23:59
形式論理学では、命題について<論理的な真偽>という概念を導入して、
 ある命題が事実と合っている(いない)場合、その命題を真(偽)である
 と言う。さらに、<真理値>(そしてその割り当て)という概念を導入
 して、任意の命題を代表する記号Aの真偽を云々する。そうなると、
 「すべての馬は2本足である。」の真偽の意味は明確だが、「A(である)
 の真偽」とは何のことか曖昧になる。つまり、Aが真である場合とは、
 解釈1:事態「すべての馬は2本足である」は除外されている世界
 解釈2:判断「すべての馬は2本足である」が正しい(事実)である場合
 のいずれか?
 さらに、仮言判断「もしAならばBである」について、たとえば、
  もし「すべての馬が2本足である」ならば「この馬は2本足である」
 は、たとえ事実と違っても、その判断が妥当なことは十分理解できるが、
 すべての無関係な命題A、Bについて「もし」「ならば」という用語を
 使う場合、何を考えればよいのか(無関係な対象間の関係とは何か)?
 (例:もし「月がチーズでできている」ならば「ジョーンズは家にいる」)


616 :132人目の素数さん:04/01/01 00:00
最後に、推論の帰結として「したがって,Bである.」が出てくる。
 前提と媒介(「ならば」)の両者に同一記号Aがあり、媒介と帰結の両者
 に同一記号Bがあることが、妥当性(「したがって」)の唯一の根拠の
 ようだが、それを「証明」と呼ぶ場合、一体、何が証明されたのか?
 結局、任意の命題が成立する世界を予め“前提”すれば、何でも(不合理
 すら)証明可能であり、そのモデル世界では、すべてが妥当的でしょう
 から、問題は世界の存立性としての根拠に移るでしょう。
 日常生活で「もし」「したがって」等の用法を学び、小中学校で数学を
 習ってきた高校生も、上記の理解なしには、論理的思考は鍛えられない。 
 ちなみに、ヘーゲルは上記を<推移的推論>と呼び、数学以外では、非
 妥当的(不当)なものと見なしています。
・・・ということで、皆様よいお年を。


617 :十二使鳥:04/01/01 00:37
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
http://aa4a.com/chichannel/ 8/29【2千5百年の眠りから】より
 速度というのは時間や長さ重さといったものと比べると人的要素の強い
量といえます。計算をしなければ値がでなかったり、ものさしとスピードガン
とを比べても分かると思います。
 さて、光速(熱速)ですが。【実は光速には速度はありません】
   光速=無
   音波=振動
   水波=上下動
 上記を見れば分かると思いますが波(光も波とされている)には速度の
値に相当する空間位置の移動というものが無いのです。例えば音速が
秒速350mとすると、何が秒速350mもの速さで移動するのか考えてみれ
ばわかると思います。音を伝えるのは空気ですが、空気が秒速350mで
移動してるのではないのです。ましてや光となると、媒体するものすら無
いのですから速度の概念がまったく当てはまらないのです。

618 :十二使鳥:04/01/01 00:37
次に【光速というものには相対性がありません】光速=約30万q/sという
値ですが、これは分数のプロセスを持った部分的な値なのです。値という
ものは一点(個体)基準の整数と、全体(気)基準の分数があるのですが、
光速の場合は全体基準の値より成り立っているのです。
 光(熱)は水面にできる波紋と似たようなものです。波紋というものは全
体に広がります。一昔前、地球の裏側のチリで起きた津波が日本にきた
こともあります。TVで糸電話はどこまできこえるのか?という疑問に答え
るべく実験をやったのを見ましたが、それに対し専門家は「せいぜい2、30
m位だろう」と答えましたが確か7/800までいって糸が切れこれが記録と
なりました。気の遠くなるような何万光年という所からでも光は届くのです
が、もともと伝達というものは全体に広がるものなのです。光の速さを測
る実験ではよくもこんな方法を考えたものだと関心しましたが、この実験
ではレーザーが使われています。一見、レーザーは集中的なもので全体
とは無縁に感じますが、垂直方向からも線状に見えます。しかしその見え
ること自体が垂直方向への広がりをも示しているのです。

619 :十二使鳥:04/01/01 00:38
変化(光)ははるか遠くの物にも変化(光)をもたらします。さて光速=約30万
q/sという値ですが、これは全体に広がる伝達時間(分母の数値は不確定)
を1秒で区切ったというもので、簡単にいってしまえば先程も述べましたが
全体基準の分数です。速度も分数の数式で表せますが、その値は一点(0)基
準の整数になります。時間は時間で等分できても、距離は時間では等分でき
ないのです。一個のリンゴは5秒という単位で区切ることはできません。
 速度(整数)でしたら確かに相対性はありますが分数には相対性はありませ
ん。しいていえば分数の性質は一定(等分)です。ものさしの目盛りが一定で
なかったら困ります。
 相対性理論というのは光速を速度だとし、一定の値を示す光速に対し、
速度は相対的であるはずだとして理論を展開していったものなのです。
つまり観測結果(一定)を捻じ曲げ、空間を捻じ曲げ、帳尻を合わせたもの
といえます。
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

620 :132人目の素数さん:04/01/01 00:55
レス数が増えてるのでエムシラが臭い腹話で年越してるかと思って来てみたら、
哲厨のコピペかよ。

とりあえずまともな数理論理学の本読んで出直して来い。

621 :132人目の素数さん:04/01/02 02:49
>ある命題を意識がどのように定立し、どのように論理的に関連付けるかという問題

な〜んて考えることが、論理学を誤解している証拠(w

命題を定立するのではなくて、定立した後で登場するのが、論理学。
 
例えば“「xが人ならば、xはいつか死ぬ」という命題が定立された場合、
「xがいつまでたっても死なないのであれば、xは人ではありえない」と
いう命題*も*成立しなければならない”ってな具合に。

622 :132人目の素数さん:04/01/02 02:50
「定立した後」でも、それらの命題らをどのように関係させるか
という問題がどこまでもつきまとうと思います。
だから論理学は意識の作用と不可分であるといいたかったのです。




623 :132人目の素数さん:04/01/02 02:51
ハイデガーのいうところの「了解」を抜きにして、
論理的操作だけやっても、人類社会システムの
総体的知的能力はちっともあがらないでしょ。

つまり、あたしたちの仕事は、たいして楽になんないわよ。
いまのコンピュータネットワークと大差ない。

624 :十二使鳥:04/01/02 15:32
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
┣★╋╋╋┫  (1目盛=5m)
0・・・・・・・・・25
┣★╋╋╋┫  (1目盛=1分)
0・・・・・・・・・5
>>700でののポイントは距離÷時間ではなく、時間を時間で等分したこと
にあります。>>700で【分母の数値は不確定】としていますが、これだと理
解しにくいことでしょうから確定している図で考えてみましょう。
0〜25の所に波が到達するまで5分かかったとします。0〜★の数値は
距離÷時間でも(5)出ますし、5分を1分で等分しても(5)出ます。
 光速の測定方法は形の上ではどちらかというと距離÷時間の形となり
ますが、では何を基盤として成り立つかというと全体性を有する伝達時間
であり、分数のプロセスである時間を時間で等分したものとなります。

625 :十二使鳥:04/01/02 15:33
不確定の数値で考えるとどうなるかというと、実はこれはあまり考える必
要はありません。問題とするのは一点基準か全体基準かだけになります。

「こんなデコボコ(不特定の分母)のりんご3等分なんかできるわけないじゃ
ないか!しかも3分の1は割り切れねぇだろ」
「うるせー!3分の1つったら3分の1だ。割り切れねぇだと?3進法で考え
りゃ割り切れるだろドアホ」
 整数に分数、一点基準に全体基準。これはそもそも人間が数字という
ものを生み出す前の考え方で、数値はどうでもいいのです。

 視点(基準)を変えることにより本質も変わります。相対性→一定。割り
切れない→割り切れる。天動説→地動説。どの視点にたった考え方で
あるのか。これが問題なのです。
http://aa4a.com/chichannel/ 8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

626 :132人目の素数さん:04/01/02 19:06
>まず命題は「判断」だとは普通は考えない.
 そうではなく、判断の対象が事態(Sache(独)、matter(英))という
 存在形式をもつ存在者(物的ならぬ事的存在)であり、それを言語的に
 定立したものが、命題(Satz(独)、proposition(英))だということ。
 事態とは、事象(事件)、現象、現実(事実)、事柄といった発展段階
 をもつ対象の総称と言えます。また、定立とは単なる措定ではなく、
 存立をもち、まさに根拠の上に“立てる”こと。
>今事実として雪が降っていないときに文「雪が降っている」
 判断は常に主観的契機をもち、客観的判断(根拠ある判断)と区別される。
>でもこの文にも命題が対応してるとは言える.
 実在の変化性(非本質性)を記述(措定)しても、命題とは呼ばない。
>事態に対応していない命題や文はそもそも命題や文じゃない
 偽の概念、判断、推理もあれば、偽の事態、現実もあるから、たとえば、
 「イラク戦争は、国際社会とテロとの新しい戦争である。」という命題
 は偽りの命題でしょう。大体、戦争とは国家間の紛争を指していう概念。




627 : :04/01/02 21:56
수리논리학

628 : :04/01/04 00:09
数学科に進みたいと思っています。
入門書を斜め読みしただけなんですが、
数学科の授業(数理論理学)でも、フレーゲとかラッセルとか、出てくるんですか?
それとも、これらの人物は、哲学科でのみ語られているのでしょうか?
愚問で、すみません。

629 :132人目の素数さん:04/01/04 00:13
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630 :132人目の素数さん:04/01/04 01:28
>>628
フレーゲが登場する数理論理学の入門書は見たことない。
ラッセルは「ラッセルのパラドクス」というTipsでのみ出てくる。

数学系の論理やるなら、少なくとも縦書きの書物じゃダメだよ。
(無論、横書きならいいというわけではない)

631 :132人目の素数さん:04/01/04 09:07
>>628
大学の学部の講義では、いきなり
・ゲーデルの述語論理の完全性定理
・ゲーデルの自然数論の不完全性定理
・ゲンツェンの基本定理
かな。

あくまで「数理」論理学であって、
数学の結果しか興味ないから。

ちなみに、ゲーデルの不完全性定理は、
ラッセルのパラドックスと同様の論法を
使う。

632 :628:04/01/04 12:54
>>630 >>631
ありがとうございます。

数学も哲学も、まだろくに勉強していないくせに言うものなんですが、
自分も「数理」に興味があるのですが
「哲学」のほうにも浮気心がわいてきてしまいます。
こんなんでは、本業の数学の勉強に支障となるかな.....

633 :132人目の素数さん:04/01/04 16:01
>>632
>数学も哲学も、まだろくに勉強していないくせに言うものなんですが、
だったらいっとくけど、どっちも就職にはちっとも得にならないよ(w

>自分も「数理」に興味があるのですが
>「哲学」のほうにも浮気心がわいてきてしまいます。
学部で数理論理学をやって、大学院で哲学やったら?


634 :628:04/01/04 20:24
>>633
アドバイス、ありがとうございます。
まずは、こつこつ勉強を続けます。

635 :132人目の素数さん:04/01/04 20:42
こつこつも大切なんだが、実際はすごく範囲は広範なので、この歳になってみると
全体を見渡した戦略も大切だと思います。如何に研究者として成果をあげるかって
事ならやっぱりプロだから戦略が大事だろう。


636 :≠628:04/01/04 20:49
628ではありませんが、質問。

「全体を見渡した戦略」とは?
>>635は、どうしてるの?

637 :132人目の素数さん:04/01/04 21:08
俺は数学者になれなかった人物だから、それでも言うと。
つまり、今、現在の知性(数学分野の)の裾野、地平線(つまり今の限界
何処までわかっているのかって事。)が見えてくるまで、正直結構かかるん
だよ。
で。仮にだよ、あるていど見えてきて、その上で君の専門分野なり研究課題を
設定しよう。その時、どの数学分野をもっとやる必要があるかとかまあ見積も
りを作って更に実行しないと。まあ、そんな様な意味です。
言っておくけど、どんなにうまくやっても、無駄が生きてくるって事は常にあ
ります。
プロなら、研究方法を戦略的に設定すべきでしょう。やっぱり、、。どこらへん
で自分は世界に対して仕事(つまりさっき言った地平線を広げる事なんだが)
をしていけるか、よく考えるべきなんですよ。自分の実力をよく見てね。

638 :132人目の素数さん:04/01/04 22:20
>>637
はっきりいって、数学で何が分かってるかなんて
学部じゃよう分からんよ。
仮に分かったとしても、自分が研究しようとする
頃にはもう過去のことかもしれない。
結局のところ、研究室や大学院は大まかに
雰囲気で決めるしかない。
そもそも、研究者としてのセンスなんて
数学科の学生20人に1人くらいにしか
ないでしょ。数学科の中だって9割以上は
サラリーマンや教師になるのがオチだって。


639 ::04/01/05 00:48
山口大学の方ですか?

640 :132人目の素数さん:04/01/05 10:45
>>630
そうか?俺の読んでるテキストはイントロダクションに一応名前は
書いてあったぞ。確かに、日本語の本では少ないけどねえ。

641 :132人目の素数さん:04/01/05 19:28
>>639
いいえ、山形大学の者ですが、何か?

642 :132人目の素数さん:04/01/05 23:54
山形って何県だっけ?


643 :十二使鳥:04/01/06 11:33
★プラス(+)とマイナス(-)が示すもの
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
時(運動)は流れて変化(分裂、融合)を生じます。
質量。つまり重力ですが、これも電磁、光熱などと同様に【宇宙の変化
の一環】に他なりません。宇宙ではこの重力という実体の無いものの働
きにより分裂と融合が行なわれます。
 【重力といのは対天体に働く二つのベクトル↓↑です】 
現在物理学では重力には引力しかなく、反重力はないとされていますが
これは誤りです。
A水蒸気 a地球
B熱気球
Cロケット
一般にはABCの動きを反重力とはいいません。例えばBとCではまるで
別物の力の働きだとしてみてしまいますが・・・確かにその通りです。
しかし別物と認識するにはB対C、C対Bであり、対aつまり対地球的な視
点ではないのです。重力の考え方は対地球的でなければなりません。

644 :十二使鳥:04/01/06 11:33
人はロケットをロケットとして認識しますが、そのような認識を必要とす
るのは人位なものです。宇宙の原理を知るにはそのような認識は必要
ではありません。対地球的な視点に立てばロケットも単なる物体(個体・
有)でしかないのです。そしてその物体と地球の関係は二つのベクトルに
よって成り立つのです。
 引力が発生するには必ずその反発力(反重力)が存在します。雨が降る
には水蒸気となって上がった過程があります。リンゴが落ちるのはリンゴ
の木が引力に逆らい成長し、地中の水分を吸い上げた結果なのです。
熱気球だから、ロケットだからといって地球との関係に特別な数式は必要
ないのです。現在の物理はこれらの考え方を無視していますが果たして
無視していいことなのでしょうか。物理では電磁と重力はまったく別物でま
るで統一できないというようなことを聞いたことがありますが・・・どちらもこ
の宇宙の変化の一環なのです。数式にしてもプラスとマイナス。マイナス
は【プラスの反】なのです。
http://aa4a.com/chichannel/ 8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

645 :132人目の素数さん:04/01/06 18:44
>「客観的判断」は主観的な要素が排除されたもの、ということでしょうか?
 排除という表現はあまり適切ではないでしょうね。通常、判断とは主観的
 な働きと考えられており、典型的には「私は、○×と判断する。」(形式1)
 という形で表される。ここで、
 1.私:判断主体(subject)
 2.○×:判断内容であり、標準形として「○は×である。」(形式2)
      という形で表される。この場合、○は主語(subject)、また、
      ×は述語(object)と呼ばれる。そして、主語は対象(object)
      を指示し、述語はそれを概念(concept)により述定(規定)する。
 判断が主観的(subjective)であるとは、形式1が使われる場合であり、
 それが客観的(objective)であるとは、形式2が使われる場合です。
 後者の形式で表現された判断を、特に、命題と呼ぶわけです。
 いわゆる述語論理では、○を単なる名辞として扱い、モノの性質(それは
 「△は○、×を持つ」という形式で表される)と同等の関係とするから、
 事態を捉えそこなっているわけです。


646 :132人目の素数さん:04/01/07 00:34
>>643->>645 = 全部、たわごと(爆笑

647 :132人目の素数さん:04/01/07 12:24
ああ、もうめんどくさいな。
話はこつこつからだった。
こつこつもいいが、ざっと、数学世界を観るには
当りをつけるってたいせつなんじゃない?って話だ。


648 :132人目の素数さん:04/01/07 15:25
十二指腸、おまえはもう出て来るな! ヴォケ!!!

649 :132人目の素数さん:04/01/13 08:19
184

650 :132人目の素数さん:04/01/14 16:08
只今ゲーデルの不完全性定理(スマリヤン)で勉強中。
しかし、Arithmeticに数論と言う訳語を充てるのはやめてくれない
だろうか。どうしても所謂整数論が連想されてしまう......もう一つ、
ポカミスだろうが、pp15の証明可能であると同時に証明不可能な文が……
は明らかにミスだと思う。丸善には校閲はいないのか?訳書だから
いないのかも知れないけど。

651 :132人目の素数さん:04/01/15 03:33
∃z(¬R(x,y,z)→(¬P(x,y)∧Q(x,z)))

ってどうやって求めるんですか?
初め(頭)に全称記号がないからわからないです。



652 :132人目の素数さん:04/01/15 06:39
>>650
最後まで読め
「体系Lにおいて
 証明可能であると同時に証明不可能である文が存在しないとき、
 Lは無矛盾と呼ばれ・・・」
と書いてあるだろ。

653 :132人目の素数さん:04/01/15 11:37
>>651
free なんだからつけたきゃ勝手に全称記号をつけて closure にすれば?

654 :132人目の素数さん:04/01/15 13:56
>>652
その本を読んだことはないが,「証明不可能である文が存在しないとき」ではなく
「その否定も証明可能である文が存在しないとき」なんじゃないの?

655 :132人目の素数さん:04/01/15 16:37
>>650
原著で確認するからもっとどこか分かるような情報をちょうだい。

656 :132人目の素数さん:04/01/15 18:28
>>650
その本は原書で正しく書かれているところまで嘘を書いてあったりするから注意

657 :132人目の素数さん:04/01/16 19:48
すいません、ちょっと質問なんですが。
命題の真理値を計算している"過程全体"を、真理値不定とするのは妥当なんでしょうか。
また、過程のある段階の真偽値の割合から、文の真偽値を決定することは可能でしょうか。

658 :132人目の素数さん:04/01/19 04:06
>>657
対象の論理は何だ?過程って何?計算って何?段階って何?割合って何?
ステートメントが曖昧過ぎて何も答えられない。

659 :132人目の素数さん:04/01/31 05:44
436

660 :132人目の素数さん:04/02/01 20:27
ゲーデルの不完全性定理全然分かりません。
なるべく分かりやすく教えてもらえませんか?

661 :132人目の素数さん:04/02/01 21:21
それだけじゃ教えようが無いと思うんだが
せめてどこが分からないかくらい書いてくれないと

662 :十二使鳥:04/02/02 00:47
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
>>617>>618>>619で相対性理論の理論を否定しましたが、観測より成る
(理論ではなく)数式自体は多分問題ないでしょう(俺は知らんが)これは
ニュートン力学>>643>>644も同様です。プラスとマイナスがあってプラス
が引力、マイナスは反発力ではない。とする説明がダメなだけで数式自体
は有効です。ぶっちゃけた話、数式は帳尻があえばいいのです。説明が
立派でも帳尻の合わない数式は糞といえましょう。
数字を駆使してこの宇宙を解明しようという人達もいるようですが、プラス
とマイナス、整数と分数すら気づかない人達にそのようなことができるで
しょうか。数学は自然の法則というよりは人間の法則です。数字なんても
のは人間が滅びれば数字も滅びます。帳尻の合う立派な数式も糞と化す
のです。
しかし数字よりも更なる根源、【量】>>604>>605であったらどうでしょうか、
人間が滅んだところで犬や猫も【大きい、小さい】を認識するのです。
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

663 :132人目の素数さん:04/02/02 03:43
すいません。不完全性定理全体を漸進的に理解するための手掛かりがわかると嬉しいのですが。 ツールとしてのゲーデル数、対角線論法はどのように使われるのでしょうか?

664 :132人目の素数さん:04/02/02 08:08
>>663
不完全性定理は形式体系に関する定理であるからゲーデル数はツールでは
なく定理の前堤あるいは仮定。
質問の意図をくんで答えると:
対角線論法がリシャ−ルのパラドックスでどう使われるかを学ぶのはそう
難しくないと思う。つぎに、それが矛盾を導いていない、つまり論理的に
おかしいところがあるというところをみつけ、その論法の論理性を保つ
ためにどのような設定にすればよいか? という道筋を想像しながら本を
読めばまあわかる可能性があるかな? と思います。

665 :十二使鳥:04/02/04 11:11
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
人々は宇宙を途方もなく大きいものだと認識していますが、実は宇宙は
とても小さいものなのです。
 ネズミは人間から見れば小さな生き物ですが、ダニにしてみればネズミ
は大きな生き物です。そしてダニから見た人間は途方もなく大きなものな
のです。その途方もなく大きな人間も鯨から見れば尻尾の先でしかありま
せん。その鯨も・・・
 実はこの宇宙というものは神様の鼻くその一部でしかないのです。

 【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか?】

666 :十二使鳥:04/02/04 11:11
【この世は有と無から成ります】
まず、何も無い空間を考えましょう。その空間には大きさも重さも何もあり
ません。全ての【認識は不可能】です。
次にその何も無い空間に一点の有(物体、個体)をイメージします。
そこから【認識は始まり】ます。

無(空間)は有(物体)に働きを与え、有は様々な現象、実像を起こします。
一点の有には一方向の時間(無)という実体の無いものの働きにより運動
(有、変形)が起こります。
時間を宿した有はやがて二方向の実体のないものの働きによりAとaの
二点に分裂(有)されます。
Aとaの分裂は新たなる個々の時間の発生を意味しますが、同時に一つ
の全体の時間というものにAとaは繋がれています。

667 :十二使鳥:04/02/04 11:12
大きさにしても重さにしても【量は二点で決まります】
二点の内の一点(基準)は我々個々に存在しています。
その(人間)基準から見れば宇宙は間違いなく大きいものなのです。
 【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか?】この愚問には基準が存在していません。量の認識は
不可能。となります。
そしてこの逆が人間の言葉でいう【無限】です。基準は存在しても量を決
定するもう一点がないものです。
【無】は限りがありません。大きくも小さくもなく、広くもなく狭くもありませ
ん。しかし人間は量があるかのごとく無限【大】などとして形容します。
無限に大きいものは存在しません。分かる範囲のみが量として成立する
のです。つまり量は【有限】なのです。
http://aa4a.com/chichannel/ 8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

668 :132人目の素数さん:04/02/04 22:54
【永世中立】自衛隊は日本軍に変えるべき【徴兵制】
ttp://sports2.2ch.net/test/read.cgi/iraq/1071385810/470-

ここに「策して策に溺れる」馬鹿が発生している。
教科書通りの「荒らしの典型」を地でいく阿呆が大ハッスル中。
自分の論理の綻びを指摘されるたびに、話のすり替え、揚げ足取り、
屁理屈と言い訳を繰り返し、仕舞いにはAAでスレを荒らし始める始末。
人が壊れていく様をみたい者は集うが良かろう。

669 :132人目の素数さん:04/02/04 23:42
>>660
あなたのレベルにもよるけど、一般向けの本で不完全性定理を扱った本もある。
R.スマリヤン 「決定不能の論理パズル」「無限のパラドックス」「美女か野獣か?」
D.R.ホフスタッター 「ゲーデル、エッシャー、バッハ」
自分はゲーデルの証明を知ったあとでこの辺を読んだが、十分面白かった。


670 :132人目の素数さん:04/02/05 00:59
>>669
スマリヤンの本は論理関係の一般向けの本では一番面白いね。
ただ、「美女か野獣か?」は訳がちょっと……スマリヤンの
文章の訳が難しいのは分かるんだが。
ホフスタッターはゲーデルと関係ないところも面白い。

671 :十二使鳥:04/02/05 03:29
▲▲▲ 光熱 ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
★熱力学第二法則・熱は自発的に冷たい物から熱い物に流れることはない。
 |―――― │───
 |高|低| │ │ │ 
 | →  | │同 温│ 
 |温|温| │ │ │
 ――――| ────
物理では熱力学第二をいろいろな形で説明していますが、その内の一つ。
A:高温の物体と低温の物体を接触させると高温から低温に熱は流れるが
低温から高温に熱は流れることはないと物理では説明しています。
確かにサーモ何とかというやつで赤い部分(高温部)の流れを見ると青
(低温部)に流れ込みます。しかしこれは【熱を熱いもの】であるとした場合
であって、【熱を冷たいもの】と仮定すると青が高温部に流れ込みます。
実は熱というのは【熱い、冷たい、をひっくるめて熱】なのです。
よって【熱の流れは熱くもなり↑寒くもなる↓】ということがいえます。
夏になれば・・・冬になれば・・・・・・当たり前のことです。

672 :十二使鳥:04/02/05 03:29
B:次に高温と低温の二つの物体を接触させておくと同温になり、高温と
低温に分かれることはないと物理では説明しています。
確かに常温の実験室で考えるとその通りです。しかし夜一定の温度を持っ
た岩が朝日を浴びると境界線こそはできませんが高温部と低温部になり
ます。宇宙空間においてはもっと温度差が出るそうです。自然現象というの
はあいにく実験室みたいな常温ではないのです。
熱力学第2はすべて人間の勝手な基準設定により成り立っています。
これに関連するものにエントロピーがありますがこれも【閉鎖系】が前提
になっていますが本当に熱を閉じ込めれるものなのでしょうか?南極に
魔法瓶にお湯でも入れて持っていけば解るでしょう。
★熱力学第一法則・熱は運動エネルギーである。
これも糞にあたります。仮にこの世に熱が無いにしても磁気や重力で運
動は起こります。それに対し、時間が無ければ運動は起こり得ません。
運動に直接結びつくのは時間なのです。そして熱は光なのです。
http://aa4a.com/chichannel/過去投稿一覧8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

673 :132人目の素数さん:04/02/05 03:29
だいぶわかってきました! 質問なのですが、 ゲーデル数によって算術化された自然数での議論が 形式的体系での議論に移すことができることはどのように証明されているのですか?

674 :132人目の素数さん:04/02/05 03:30
あと、この不完全性定理が現代数学や物理学など 多くの分野で注目されているのはどんな理由からなのですか? 質問ばっかですいません。

675 :132人目の素数さん:04/02/05 05:58
>>673
それはそれほど大事なことではないけど、673さんが算術、つまり
直観的な数論と、形式的自然数論(例えばPeano算術)の違いを
きちんと分かっていて、尚且つ厳密にやりたいなら、表現定理に
ついて書いた本を参照して下さい。もしかすると表現可能性に
ついての一定理として記載されているかもしれません。
>>674
物理学でそれほど注目されていると言う話は私は聞きません。
現代数学でもいまでは数学基礎論の研究者は、ごく普通の数学者
からは爪弾きにあっている感があります。なぜこの定理が大切
なのかに関しては、数学基礎論の立場では、ヒルベルトのプログラム
と呼ばれた研究の否定的な解決と考えられることです。「色々な分野
で」注目される理由は、人によって考えが多少異なりますが、例えば
計算機のような完全に機械的、形式的なシステムの限界を示した所、
それからこれはもう数学ではありませんが自己言及ということを考える
際の重要な足がかりとなることなどでしょう。多分林晋という方の
書かれた本を読まれれば良いかと思います。

676 :675:04/02/05 06:37
ついでに不完全性定理の証明を理解するため何に気をつけるべきか
私見を述べておくと、不完全性定理にはGodelオリジナルの古典的証明
と、函数のグラフを用いた現代的な証明がありますが、第一不完全性定理
の古典的証明はリシャールのパラドックスのある概念(664さんに倣い
敢えて伏せておきます)を別の概念に置き換えて少し(かなり?)工夫
すると得られること、に注意して読んで下さい。第二不完全性定理は
証明がかなり面倒ですが、証明に必要な本質的条件は恐らくLoebの
可導性条件と呼ばれるものですが、第二不完全性定理の完璧な証明
を書いてある日本語の本は殆どないので厳密に理解したい場合は
注意してください。

677 :十二使鳥:04/02/06 09:21
▲▲▲ 統一 ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
小物のボーア君も東洋哲学をしてたそうで・・・・・老子を引用します。
  老子 第40章     (中国の古典2 麦谷邦夫訳 学習研究社)
根源に立ち返るのが道の動きで:、柔弱なのが道の働きだ。
この世界の万物は有から生じるが、その【有は無から生じる】のだ。

よく問題にされる[有は無から生じる]を解りやすく現しているのが交流発
電機で、磁石【SN、NS】をくるくる回すだけでコイルに電子が発生します。
磁気というものには実体といえるものはありません。その実体のない磁気
【無】が実像的な電子【有】を生み出します。ビックバン説などのように何も
ないところから物体が生まれるというのとは違います・・・の訳がない。
重力にしても熱気にしても同様でこの実体のないものの働きにより実像的
な現象を生み出すのです。
軽軽熱熱S S
↑↓↑↓↑↓
重重冷冷N N

678 :十二使鳥:04/02/06 09:21
      第42章        
道が一気【↑】を生じ、一気が陰陽二気【↑↓】を生じ、
陰陽二気が交わって陰陽冲和の三気【=】が万物を生み出す。
万物は陰気を背負い陽気を抱き、冲和の気によって調和を保っているのだ。

一気というのは【一つの方向性、時間(生命)】のことでですが時間には実
体はありません。その実体のない時間が実像的な【運動】を起こします。

一気を宿したものはやがて陰陽二気、つまり実体のない二つのベクトルを
生み出します。つまり物理的には【陰気を有した雌】と【陽気を有した雄】
との間で【融合と分裂】という【変化】を起こします。変化は全体に対する個
というものを決定づけるものであり、それは全体の時間(ひとつの時間)に
対して固有の時間というものを決定付けるものでもあります。

重くなれば(↓)大地に融合され、軽くなれば(↑)大地から分裂し、冷たくな
れば(気体→液体→固体)融合され、熱くなれば(固体→液体→気体)分裂。

679 :十二使鳥:04/02/06 09:22
さて、同極は引き合い、異極は反発するという現象こそは見ることができ
ますが、磁気でも↑↓で融合と分裂が本当に起こるのでしょうか?
これは極微の世界で認識することができます。対消滅と対発生です。
二つのベクトルは、分裂する時、融合する時に、起こります。しかし分裂し
た後、融合した後、は【気の変動はなくなり冲和(=)】されます。
観測というのは観測対象となるものの磁気変動をとらえ、その磁気変動が
観測者側に実像を生み出すのです。よって磁気変動がなくては観測でき
ません。それがあたかも物体が真空に対消滅したり、真空から対発生して
見えるのですが、これはただの融合と分裂なのです。
何もないところから物体が発生したり、消滅するわけがない。

自然界に存在する4っつの力?熱はどうする?生命は?生命だって自然
界に存在するもの。物理学の統一理論はまるでダメ。未だ電磁と重力すら
まとめれない始末。つまり理がないからいつまでもまとめれないのである。
人も時間(魂)を宿し変化を成します。【この世は有と無からなる】のです。
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

680 :132人目の素数さん:04/02/06 20:26
>>676
>不完全性定理にはGodelオリジナルの古典的証明と、
>函数のグラフを用いた現代的な証明がありますが

ベリーのパラドックスを使った初等的証明もあるよ

「*********************
 の倍の文字で定義できない最小の数が存在する」

ここで「定義する」とは、数に関する存在命題があって
それが証明可能であることを指す。

前述の命題が証明されると、その文字数が
「*********************」
の倍の文字数なので、(なぜなら、*の数が
「の倍の文字で定義できない最小の数が存在する」
の文字数と同じだから)その文字数で定義できて
しまうことになる。

つまり、ゲーデルの不完全性定理を証明するために
必要な自己言及は実にゆるいものでよい(つまり
中身を全部伏字にして文字数だけ同じにしても
証明できる)ことがわかる。

681 :132人目の素数さん:04/02/06 21:42
>>680
そういうのって今度は逆に数学と見なされなくなりませんか?
Godelのオリジナルのあとでなら、あーこれはあれの言い換えなんだ
ってことになるけど。

682 :132人目の素数さん:04/02/06 22:39
その内容を算術で記述するんでなはいの?

683 :132人目の素数さん:04/02/06 22:54
Goedel数化できちんとPAの論理式として書けるなら問題はないと
思うけどね。W(a,b)でaをゲーデル数とするような論理式における
記号の数はbである、とかね。Boolosだっけ?
ゲーデルのパラドックスもリシャールのパラドックスを少し弄っただけ
だしね。もっとも当時はベリーのパラドックスは飽くまで言語学の問題で
あり、数学者のかかづらう問題ではない、なんて意見の数学者も居た
わけだが。

684 :132人目の素数さん:04/02/06 22:55
今思ったけど*****の部分は少し算術化が難しくないですか

685 :680:04/02/07 10:08
>>681
いいんじゃない?無用な衒学趣味が払拭されて
>>682
もちろん、算術化は必要
>>683
はじめに言い出したのはBoolos
でもこの証明のタネは、多分Tibor Radoによる
ビジービーバー問題の計算不能性証明だな。
これは1960年代の話。ちなみにRadoは、
1920年代にはプラトー問題に関っていた人
>>684
数の表現の問題。自然数のもともとの定義によるなら
その数だけ記号を並べることになるから問題なし。
ちなみに足し算だと計算によって記号の数は増えないが、
掛け算だと増える。実はそこがポイント。

686 :132人目の素数さん:04/02/17 03:43
東大でも出題
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho03/tokyo/koki/sogoI/mon3.html

687 :132人目の素数さん:04/02/18 03:20

おまいら、揃いも揃って、レヴェル低いな(爆笑

# 偽と矛盾との違いさえ分からんだろ?

688 :132人目の素数さん:04/02/20 00:06

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

689 :132人目の素数さん:04/02/22 03:02
wikipediaの公理の項が激しく文系臭い

690 :132人目の素数さん:04/02/26 01:54

命題論理の公理系とか、述語論理の公理系とか、
述語論理や命題論理と、自然数論といったある公理系との関係について、
いまひとつ、よくわかっていません。

ゲーデルが述語論理の完全性を証明した、とかって言われると、
述語論理は公理系か?なんて思うのですが、


691 :132人目の素数さん:04/02/26 01:55
あと、
完全であることを示す関係で、

論理式Aがある公理系の定理である。 ⇔ Aは恒真式である。
(論理式Aがある公理系の定理である→Aは恒真式である。がなりたつとき、公理系Kは健全。
論理式Aが恒真式である→Aはある公理系の定理である。がなりたつとき、公理系Kは完全。)

ということを、示せば、
その公理系は完全で、
どんな恒真式もいくつかの公理を出発点において推論規則によって変形していくとでてくる、
そのようにして出てくる論理式はどれも恒真式になっている、

と、いうことらしいですが、

どんな恒真式も、とか、
公理以外の、残りの恒真式をすべて、とか

そこらへんのところが、よくわかりません。
公理や推論をくわえれば到達できる論理式がふえて、完成度が高くなる、というか、で、
完全であることが知られている命題論理や述語論理は、健全性をやぶらないような新しい公理や推論をくわえても到達できる論理式は変わらない、というか、
なんか、そこらへんのところが、よくわかりません。

余地無し、以上、みたいな感じで。

ちなみに、
例の、なんかでかい論理学の教科書を、どんなもんかな、と興味半分で見ているものです。
証明とかは、飛ばして、読んでいます。証明されてんねんな、よしっ、ってなかんじで。

証明とかを、自分で、追ってみれば、そこらへんのところが、わかってくるのかなぁ・・・

692 :132人目の素数さん:04/02/27 01:25
>>690-691
「論理式」「恒真式」の定義をもう一度確認すべし。
論理式は、どういう時に恒真式と呼ばれるか。
恒真かそうでないかを判定する際に効いてくる外的条件は何か。

693 :690:04/02/27 15:09
おぉ、レスがついた。

>「論理式」「恒真式」の定義をもう一度確認すべし。
>論理式は、どういう時に恒真式と呼ばれるか。

はい、理解しているかぎりの知識を並べてみます。

論理式の帰納的定義
1原子式、P,Q,R,・・・・,P1,P2,P3,・・・・は論理式である。
2A,Bを論理式とすると、(A∧B),(A∨B),(A→B),(¬A)はおのおの論理式である。
3 1,2によって論理式とされるもののみが論理式である

1でまず出発点となる論理式を列挙し、2で、すでに論理式と認められたものからさらに複雑な論理式を作る規則を与えている。
3の規則によって、出発点となる論理式から出発して、2の規則を繰り返し当てはめて作られたものが、論理式である、ということになる。それ以外の論理式はない、ということとなる。
このような形式の定義を帰納的定義と言う。
出発点となる式と、これまでに与えられた論理式から新しい論理式をつくるための規則の2つを明確にすることによってすべての論理式を捉えようとするもの。

恒真式とは、
恒真な論理式
真理関数的に妥当な式 
それに含まれる原子式の真理値の取り方に関係なく常に1となる式。(それに含まれる原子式の論証の内容によらないで常に1となる式。)

694 :690:04/02/27 15:16
真理関数的とは、
きのうサンドラは鯖を食べた、かつ、きょうサンドラはじんましんになった。
というとき、
かつ、という結合子は、構成要素となる単純命題の真偽が決まればそれだけで全体の真偽が一通りにきまる。
このことをさして、かつという結合子は真理関数的であるという。
一方、
論理式P∧Qは恒真式ではない。
Pがスパイク・リーは映画監督である、QがマルコムXは暗殺されたという命題を記号化したものであれば、Pも真、Qも真なのでP∧Qは真になる。
Pがスパイク・リーは映画監督である、QがマルコムXは映画監督であるという命題を記号化したものであれば、P∧Qは偽になる。
P∧Qは、P、Qがどのような内容なのかに応じて真になったり、偽になったりする。

P→Pのような恒真式は、Pの真偽にかかわらず常に真になる。(論理定項自体に根拠を置いているというのはあるが)つまり、Pがスパイク・リーは映画監督であるという命題でも、マルコムXは映画監督であるという命題でも、とにかく何で合っても真になる。
つまり恒真式とは、構成要素となっている命題の内容によらず、その形式だけで真になるような命題、言い換えれば形式的に真になる命題(より正確には論理定項の意味だけによって真になる命題)を論理的に捉えなおしたもののことだ、と言える。

(話は変わりますが、論理定項=結合子という言葉の使い方であってますか?)

>恒真かそうでないかを判定する際に効いてくる外的条件は何か。

その形式だけで真になるとか、どうとか、
そういうことですか?
外的条件という言葉自体が、なんだかよくわかりません。


書いてるうちに、
真理関数?、付加関数?、どうちがうねん、とかって、疑問が・・・
真理関数は、それこそ、真理関数的に、値が定まってる、(結合子自体に根拠を置いているというか、そういう意味での、意味論的なそれという理解であってますか?)
付加関数は、値を与えてやるというか、?、

ところで、真理値割り当て=付値関数という理解であってますか?


あかん、わからんことが多すぎる。

695 :132人目の素数さん:04/02/27 16:16
>>693-694
論理式の定義は、命題論理ではそれでいい。
重要なのは、論理式とは、それ単体では
ただの文字列に過ぎないということだ。

恒真に関しても、命題論理ではその考え方でOK。
※古典命題論理では、恒真式のことをトートロジーともいう。
外的条件と言ったのは、論理式というのはそれ自身だけでは
真も糞もなく、外から与えられる「付値」とセットになって初めて
真偽や恒真性などが議論できるということに注意してほしかったため。

で、述語論理でこれと同じような話を展開しようとすると、
付値の考えを大幅に拡張する必要がある。
理論に公理を追加して拡張するとか、そういう話は全て述語論理での
話なので、そこのギャップで混乱しているのだと思う。

696 :132人目の素数さん:04/02/27 16:32
あと参考。

論理式の集合で、三段論法と代入に関して閉じたものを「論理」という。
すなわち論理式の集合Xが、
(1) A∈X、A→B∈X ならば B∈X
(2) f(A1,A2,…,An)∈X ならば 任意の論理式B1,…,Bnに対しf(B1,B2,…,Bn)∈X
を満たすなら、Xは論理である。

以下は命題論理での話。
論理式全体の集合Fはもちろん論理である。これを矛盾論理という。
また、トートロジー全体をBとすると、Bも論理であって、B⊂F。(⊂は真の包含)
ここで重要な事実があって、「B⊂X⊂Fとなる論理Xは存在しない。」
つまりBはFの部分集合である論理のうちで最大であり、Bに1つでも
論理式を追加して拡張すると、それはFになってしまうということだ。



697 :690:04/02/27 17:54
前述の
論理式Aがある論理の公理系の定理である→Aは恒真式である。
論理式Aが恒真式である→Aはある論理の公理系の定理である。
ということを、示せば、
そのある論理の公理系は完全で、
どんな恒真式もいくつかの公理を出発点において推論規則によって変形していくとでてくる、
そのようにして出てくる論理式はどれも恒真式になっている、
(ある論理の公理系(例えば、述語論理や命題論理など) といった言葉の使い方や理解は正しいですか?)

論理式の帰納的定義
とを考え合わせれば、696のような話になるような、

代入ってのは、推論規則の一種ですよね、たぶん、
三段論法?、勉強不足です、ちょっと、まだわかりません。

「論理」という。という時の、「論理」という言葉の使い方が、なんか、ちょっと初見です。
論理という。はい。・・。 で、何が?、みたいな。(教科書を手に取ったときから、論理、論理、論理、論理って、何回も見てるんだけど)

>論理式全体の集合Fはもちろん論理である。これを矛盾論理という。
>トートロジー全体をBとする
>ここで重要な事実があって、「B⊂X⊂Fとなる論理Xは存在しない。」
>つまりBはFの部分集合である論理のうちで最大

B=F と簡単に認識しちゃうのはなんかまずいんすかね?
そういう雰囲気がなんか漂っているので・・
論理式全体の集合F。これを矛盾論理という。
というときの、矛盾っていう意味合いは、そこいらへんからですか?

ちなみに、696あたりの話は、論理学ではどういった章だてのところに書かれている内容なのでしょうか?

698 :690:04/02/27 17:56
>重要なのは、論理式とは、それ単体では
>ただの文字列に過ぎないということだ。

>論理式というのはそれ自身だけでは
>真も糞もなく、外から与えられる「付値」とセットになって初めて
>真偽や恒真性などが議論できるということに注意してほしかったため。

>論理式の定義は、命題論理ではそれでいい。
>恒真に関しても、命題論理ではその考え方でOK。

>述語論理でこれと同じような話を展開しようとすると、
>付値の考えを大幅に拡張する必要がある。

真理関数、
付値関数、
命題論理、
述語論理、
恒真、
真理値割り当て、

たぶん、そこいらへんのことだと思うんですが、
どなたか、簡単に、解説していただけないでしょうか?

699 :690:04/02/27 18:52
命題論理の意味論的なそれが、真理関数ということですか。

「命題論理における、そのただの文字列とか、その真偽や恒真性とかってなんなんですか?」
「真理関数的にそうですよ。
真理表を見れば、それが正しいということがわかるでしょ。」
みたいな。


述語論理に「付値」を与えるのが付値関数?
述語論理と命題論理との関係は?
述語論理にとって、真理関数はどういった存在?


それは、違う、それは正しい、というかんじでもよいので、
どなたか、解説、よろしくおねがいします。


700 :132人目の素数さん:04/02/27 20:10
論理での恒真と、理論 (=論理+数学的公理) での恒真との
区別がついていないのが問題なのでしょうね。

701 :132人目の素数さん:04/02/28 04:58
>>697
とりあえず>>697最初10行ほどにレス。

何度も言うように、論理式単体では、それが恒真かどうかを
決めることはできないんだ。付値の決め方を定めて、初めて
「その付値の決め方に対し恒真か否か」が決まる。
たとえばある論理式Aは、付値の体系Vでは恒真だが、
別の体系Wでは恒真ではなくなることもある。

上の方で、「恒真式とは、どんな付値に対しても真になる論理式」
と書いたが、あれは書き方がまずかった。
正確には、「【付値の体系Vに従って】どのように付値を与えても、
真になる論理式」と書くべきだった。
このとき、その論理式は「付値体系Vに対して恒真である」という。

たとえば、集合{0,1}を考え、この集合に内部算法∩∪→¬を、
真理値表に従って入れる。この体系を「二値のブール代数」という。
ある論理式Aが、この体系上での任意の付値で1の値を取るとき、
「Aは二値ブール代数上で恒真である」という。それはすなわち
トートロジーのことである。

ところが、仮に{0,1,2}という集合上に、適当に内部算法∩∪→¬を
定義してやり、「俺代数」とでも名付けてみる。
Aは、俺代数の上では、もはや恒真になるとは限らないのだ。

702 :132人目の素数さん:04/02/29 00:44
ちょっと上の方で話題になってましたが、
ゲーデルの不完全性定理については、
田中一之編「数学基礎論講義」(日本評論社、品切れ?)が分かり易そうかなぁ、と。

ていうか、私自身、今これを読んでるワケですが…。

703 :132人目の素数さん:04/03/02 02:42

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

704 :132人目の素数さん:04/03/02 13:55
>>702
第一章がやたら適当にかかれてそうなのが気に
入らないわけですが。定理の証明を省略されても気になるし。

705 :132人目の素数さん:04/03/07 03:21
536

706 :690:04/03/08 15:18
とりあえず、ある体系において、真偽を言うには、
(結合子の意味論的なそれ(結合子の意味論的なそれは、大体の場合、最初の語彙の取り決めのところで、体系に取り込まれる。)と、論議領域と)
付値関数(論議領域と、付値関数は、モデルという形で、後から付与される。)、が必要、
ということ、なんとなく、わかりました。


もう少しだけ、質問させてください。

まだ、論理というものが、どういうものか、よくわかっていないのですが、
命題論理のモデル、もしくは、命題論理の公理系のモデルというような言い方はありますか?
命題論理の付値関数は、たぶん、ブール関数(真理関数)とか、そういう感じだと思うのですが。

あと、
論理とは、はじめに取り決めた、語彙、項・論理式の定義、でつくられるすべての記号列の集合である、という理解で合っていますか?


707 :132人目の素数さん:04/03/16 00:11

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

708 :132人目の素数さん:04/03/16 02:48
>>690(まだ居るかな?)
なんか、混乱してるようですが、取り敢えず、
〜みたいな。のような書き方を止めてどこが分からないのか
明確にすると、スムーズに行くようになりますよ。あと、
戸田山さんの本は(数理論理学の本の中では)どちらかと言うと
哲学系の人のための本なので、話の通じないかも知れません。
悪しからず。

真な文の集合をどう呼ぶかは、人によると思います。
初等ダイヤグラムなどと呼ぶ人も居るようです。
元々の質問に対しては、* 論理記号の性質を規定する公理と、
数学的なある主張を表す公理(例えば、任意のa,bに対し、
a+b=b=aなど)では性格が違う、と言っておけばいいでしょうか。
論理の公理、数学の公理などと言って区別する人も居ます。
* 命題論理は個々の命題の造りまで考えない時の論理、述語論理は
個々の命題を述語+変数(変項)に分けて考える時の論理です。
当然数学の在る理論は特定の言語、公理に基いた述語論理と言う
ことになります。

709 ::04/03/16 23:46
こいつはアッフォー(w

710 :708:04/03/19 11:28
俺のどこがアホなのか、言ってみろよこのタコ!

711 :132人目の素数さん:04/03/20 02:07
>>710

よこ(横)のタコ? 縦のタコってのもいるのか?(w

712 :132人目の素数さん:04/03/20 02:12
>>710
>俺のどこがアホなのか
人様に教えてもらわずに、自分で悟れ、ボケ!

713 :708:04/03/20 11:10
俺はアホじゃねぇ!
つうか俺は天才なんだよこのカス!!

714 :132人目の素数さん:04/03/20 22:06
もう608はいないみたいですな。
しかし、お前本当に708か?(w

715 :132人目の素数さん:04/03/21 14:48
>>709
煽り耐性のなさげな子供をそうやってからかうな。

716 : :04/03/22 23:23
数理物理学との関連は、

717 :132人目の素数さん:04/03/22 23:40
またやってるよエムシラw
            ∧_∧
     ∧_∧  (´<_`  ) 毎日毎日よく飽きねーよな、、、
     ( ´_ゝ`) /   ⌒i    ______________________
    /   \     | |  / 彡川川川三三三ミ〜 プゥ〜ン
    /    / ̄ ̄ ̄ ̄/ /   川|川/ M\|〜
  __(__ニつ/ I.I.I. Inc. / ∠    ‖|‖ ◎---◎ |〜  人様に教えてもらわずに、自分で悟れ、ボケ!
      \/____/  |   川川‖ /// 3///ヽ〜
                |   川川    ∴)д(∴)〜
                |   川川       〜 /〜           ___
                |  川川川‖    〜 /川〜 ピュッピュッ    .|  |   |\_
                |  / 川川    _/ ;|\〜      ρ  |  |LG | |  |\
                | /    /        ;| |   ρ      |  |   | |  |::::|
                |(     (;;  ・     ・;) ρ         |  |   | |  |::::|
                | \    \    亠 ρ);;   ̄ ̄\    |  |   | |  |::::|
                |:  \   \   C)) ;) ̄ ̄\っ))))〜〜|  |   | |  |::::|
                |     \   ̄つ/ / ;)  | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
                |      \  (__/  _;)   ̄ ̄ ̄.| _________. |
                |       ;;\__/  ;)  シコシコ  | |           ..|.|
                |       (;;; );; )  \       | |   ヽ(^。^)ノ  ....|.|
                \________________________

718 :132人目の素数さん:04/04/04 16:13
37

719 :132人目の素数さん:04/04/04 17:14
636

720 :690:04/04/15 10:22

レス下さった方々。ありがとうございます。

(一階の理論で用いられるところの)述語論理の語彙、項・論理式の定義を用いてつくられる恒真な論理式の集合が完全である、
といった、論理の公理系の完全性、くらいまでは、わかるようになりました。

今、まだ、よくわからないのは、理論の完全性(不完全性)についてです。

また、ちょっと、質問させてください。

質問@
自然数論の公理系の要素をいっせいに(意味論的)真にする真理値割り当て・モデルが存在するかどうか(自然数論の公理系の要素の集合は、充足可能かどうか)

質問A
理論の公理系の完全性について
・いかに語彙、項・論理式の定義、モデルを設定しようとも、それらからつくられる集合は、完全ではありえない。
のか、
・語彙、項・論理式の定義、モデルの設定しだいで、完全な理論をつくることは可能である。
なのか、
ということについて


おまけ
質問B

自然数論の公理系は不完全であるらしいですが、
健全性についてはどうですか?



よろしく、おねがいします。


721 :132人目の素数さん:04/04/15 11:01
>>720
完全性と不完全性という言葉は誤解のもとのように思います。
ゲーデルの不完全性定理の論文では、「不完全」という言葉が使われていま
せん。ゲーデルの完全性定理と不完全性定理の両方に通用する「完全」と
いう概念は公理化可能という概念を考慮しないとできないようです。しかし
公理化可能という概念は必ずしも簡単ではありません。それで、「完全」
というは使わずに説明します。

1.数学で使われている自然数全体集合と和積の組がそのようなモデルです.
これから公理を作ったのですから.(つまり,この質問は公理とは何故つく
るのかわかっていない人の質問です.)

2.ひとつモデルを決めればすべての閉論理式の肯定か否定かが決まります.
(その成立しているもの全体を公理化できるか? というのが上記のことです.)

3.健全性というのは述語論理に公理を付け加えている体系では必ず成立
するとで,この質問をするということは,述語論理が健全であるということ
が分かっていないということです.

722 :690:04/04/15 13:25

言葉の使い方について。

論理式Aがその集合内で証明可能である。 → 論理式Aがその集合のモデルのもとで(意味論的)真である。(健全性)
論理式Aがその集合のモデルのもとで(意味論的)真である。 → 論理式Aがその集合内で証明可能である。
がなりたつとき、その集合は完全であるという。

俗に意味論的完全性とよばれるものですが、以下、混乱のないように、この意味でしか、完全という言葉は用いません。


この意味における、自然数論の公理系は完全ではない、ということについてですが、

よくわからないのが、
自然数論の公理系は完全ではない、ということが確かであるなら、

論理式Aがその集合内で証明可能である。 → 論理式Aがその集合のモデルのもとで(意味論的)真である。(健全性)
論理式Aがその集合のモデルのもとで(意味論的)真である。 → 論理式Aがその集合内で証明可能である。(もしくは、これと同値な結果の ヘンキンの定理 論理式の集合Γが無矛盾 → Γは充足可能)

が、なりたってはいけないはずなのに、

>3.健全性というのは述語論理に公理を付け加えている体系では必ず成立
>する

>1.数学で使われている自然数全体集合と和積の組がそのようなモデルです.
自然数論の公理系は、その要素をいっせいに(意味論的)真にする真理値割り当て・モデルを持っているように読めてしまいます。(自然数論の公理系の要素の集合は、充足可能である)


これでは、どこが、問題(完全であるための障害)になっているのか、わからなくなってしまいます。



どっかに、概念の行き違いがあると思うのだけれども。

723 :690:04/04/15 13:26
ちなみに、

戸田山和久 論理学をつくる
清水義男 記号論理学
という2冊で勉強しています。
公理というものが、どういうものか、ということについてはあまりページを割いていないようで

私自身、

公理系、
ある分野の知識はすべて、いくつかの公理と推論規則から、引き出すことができるということから、理屈の上では、その分野の知識の全体を手中に収めている、ということができる。

という程度のことしか、公理や公理系についての知識はありません。


公理化可能という概念について、少し、興味を持ちました。
もし、よろしかったら、勉強するのに適当な本を教えていただけたら、幸いなのですが。



724 :132人目の素数さん:04/04/15 20:46
>>722
自然数論(ペアノの公理系)が完全でない、というのは肯定も否定も
証明できない閉論理式があるということです。ですから、完全という
言葉は混乱のもとであるといったのです。たぶん、本を読んでもわか
るようにはならないと思います。大学でもいってよくわかっている人
の説明を受けるのがよいと思います。

725 :690:04/04/16 00:14

清水義夫 記号論理学
のなかで、

ゲーデルの第一不完全性定理自体は、(自然数論の)意味論的完全性の否定ではないが、
しかし一方で、ゲーデル文(その肯定形も否定形も、自然数論では証明できないような閉じた論理式)が、自然数論において、意味論的真な論理式と解釈することができることから、結局は意味論的な完全性の否定も主張してくることになる。
(ゲーデル文が、自然数論において意味論的真な論理式であるなら、意味論的完全性の条件である「論理式Aが意味論的真 → 論理式Aは集合のなかで証明可能」 が崩れるため、自然数論は意味論的に完全ではない、ということになる)
というようなことが最後のほうに、書いてあって、

ところが、
ゲーデル文が、自然数論において、意味論的真な論理式と解釈することができることから
というところの説明が少ないために、

一連の内容が、よくわからないでいる、という次第です。

それに関する質問なのですが、
ここでいう、ゲーデル文が、自然数論において、意味論的真な論理式と解釈できるということは、
ゲーデル文が、
>>720
>1.数学で使われている自然数全体集合と和積の組がそのようなモデルです.
でいうところの、自然数論のモデルのもとで、意味論的真になる、ということですか?

証明の部分にはまったく手をつけていないので、そこらへんのところが、具体的にはよくわからないのです。



726 :132人目の素数さん:04/04/16 05:29
>>725
清水義夫著「記号論理学」という本を読んだことがないのでよくわからない
のですが、もし以下の記述があるならそれは数学の本でないことは確かです。
「、、、の否定ではないが、結局、否定も主張してくることになる」
というようなことは、要するに矛盾しているということですから。
ともかく本を読んでわかるようなことではないので、もうお答えしません。

727 :132人目の素数さん:04/04/16 09:45
>>725
「意味論的完全性の否定」とは「意味論的に真ではあるが
証明できない閉論理式が存在する」という事かな。
それなら「 ゲーデルの第一不完全性定理自体は、
(自然数論の)意味論的完全性の否定ではない」という部分は、
直接「意味論的完全性の否定」を証明しているんではなくて
肯定形も否定形も証明できないような閉論理式の存在を
証明している定理だという事を言ってるのだと思います。

ただし、ゲーデル文は「この論理式は証明できない」と解釈できて
実際、ゲーデル文は証明できないので、意味論的に真になる。
つまり、ゲーデル文は(標準的な解釈では)
意味論的に真だが証明できない論理式である。
「結局は意味論的な完全性の否定も主張してくることになる」
という部分は、この事を指摘しているんでしょう。

ここで言っているゲーデル文の解釈は直観的なものだけど、
定理の証明に使われているゲーデル数や原始帰納関数などを
標準的な自然数論のモデルのもとでの演算として解釈すれば、
その自然数論のモデルのもとで意味論的真になりますね。

それから、証明には手をつけてないとの事だけど
こういう教科書は説明の所だけ読んでも分からないと思いますよ。
まあ、この辺は迷路に入り込みやすい所だから、
独学はある意味危険なんですが……

728 :132人目の素数さん:04/04/16 12:03
>>727
>標準的な解釈
>標準的な自然数論

実はこの「標準的」というのが一階論理では公理化できない。
戸田山の「論理学をつくる」の二階論理のところまで読めば
そのことが書いてある筈。

ところで戸田山自身は哲学者かもしれんけど、あの本は
結構キッチリ書いてあるのでちゃんと読めばわかりますよ。


729 :132人目の素数さん:04/04/16 12:11
ところで一階論理上の自然数論の意味論は奇怪だよ。

例えばゲーデル命題の「この命題が証明できない」が
証明できないということは、一階述語論理上では
「この命題が証明できない」が偽になる解釈がある
ということになる。つまりその解釈のなかでは
「この命題が証明できない」の証明があることになる。

それどころか「無矛盾性」が証明できないということは
どの命題も証明があるような解釈が存在することになる。
(命題すべてに証明があっても、命題自身の真偽が
矛盾なく定まっていれば、解釈自体は無矛盾である
ことに注意)

730 :132人目の素数さん:04/04/16 12:19
>>729
なぜこういう奇怪なことが起きるかというと
我々が素朴に考える「証明できる」と
実際に算術として表現された「証明できる」が
違うから。
さらにいうと、これは証明の定義をいくら
いじっても無駄で、もともとの数学的帰納法を
一階論理のものから二階論理で述語全体を全称化
したものに変えないとダメ。
でも、そうすると今度は論理が完全でなくなる。

731 :132人目の素数さん:04/04/17 08:19
>>730
二階論理では完全性が成り立たないような印象を与えますが、「論理が
完全でなくなる」というのはどういう意味ですか?


732 :132人目の素数さん:04/04/17 16:47
>二階論理では完全性が成り立たないような印象を与えますが
二階論理でも完全性が成り立っているような口ぶりですが
戸田山の本のp343-344はことごとく間違ってるということかな?

733 :132人目の素数さん:04/04/17 20:21
>>732
その本はしらないのですが、たぶん2階論理で2階の変数の変域を
部分集合すべて解釈する principal model しか考えていないから
だろうと思います。以前、誰かが別のスレッドで書いていましたが
Henkin の論文があります。戸田山さんの本はそれには触れていな
いのでしょうか?

734 :132人目の素数さん:04/04/18 16:14
>>733
Henkinのmodelでは自然数論のmodelの範疇性は示せない。
範疇性を示すには君のいうprincipal modelでないと。


735 :132人目の素数さん:04/04/18 21:31
一階の古典述語論理のような標準的なものを扱うときならともかく、
syntax と semantics の両方を指定しなければ、完全性について議論
するときに無用な混乱を招くのはあたり前ではないかと。

736 :132人目の素数さん:04/04/18 23:16
>>735
一階の古典述語論理が標準だって?冗談だろ?
二階論理の完全性って言う場合にprincipal modelで考えるのは当然で
むしろHenkin modelなんて考えるほうが無用な混乱を招くだろ。
もっとも最近は一階述語論理しか知らない不勉強な奴が多いらしいが。

737 :132人目の素数さん:04/04/18 23:57
>>736
標準という単語の使いまわしの問題じゃない?

738 :132人目の素数さん:04/04/19 10:06
相変わらず、わかってない人の方がいばってるね。
わかりたい人は、大学にいって専門家にきくこと。

739 :132人目の素数さん:04/04/19 10:29
>>738
相変わらず、知ったかぶりの人がいるね。
大学で専門家に聞いたら君が間違ってるってさ

740 :132人目の素数さん:04/04/19 11:23
>>739
あなた、有名なマツシンさんでしょ。

741 :132人目の素数さん:04/04/19 16:16
>>740
マジレスしたらマツシンにされちったよ。

742 :132人目の素数さん:04/04/19 16:29
>以前、誰かが別のスレッドで書いていましたがHenkin の論文があります。
>戸田山さんの本はそれには触れていないのでしょうか?

戸田山の本では触れてないね。


743 :132人目の素数さん:04/04/19 17:48
マツシンさんだとするとどうせわかんないだろうから書かない
つもりだったが、そうでないならまあ書いておきましょう。
範疇性というのは、唯一であるということであろうと思いますが、
一階の自然数論のモデルの範疇性は二階算術で導かれる。つまり、
二階算術のモデルであれば必ず成立するので、principal model
に限ったことではない。>>735 の指摘のとおりで 734 および
736 は syntax と semantics の違いがわからない人の書き込み
となっている。まあ、とても頭はいいんでしょうが。

744 :132人目の素数さん:04/04/19 18:25
>>743=>>735なら指摘のとおりというのは自画自賛だな。
まあ、同一人物だとしても別人だと言い張るんだろうけど。
>一階の自然数論のモデルの範疇性は二階算術で導かれる。
>つまり、二階算術のモデルであれば必ず成立するので、
>principal modelに限ったことではない。
それは単に二階算術の中でのモデルを考えることで
範疇性を実現してみせただけで、当の二階算術それ自身
のモデルを一階述語論理上の公理系として考えたら
範疇性がないわけだから意味がないな。
まあ、とても頭はいいんでしょうが。

745 :132人目の素数さん:04/04/19 18:29
>>744
やっぱりマツシンじゃないか!
お前馬鹿だなぁー。えっ、マツシンじゃないの?
うーん、まあ、オウム返しと威張りたいのはマツシン
のオハコってわけじゃないってことか。

746 :132人目の素数さん:04/04/19 18:31
つまらないところで揚げ足とられないように

×「当の二階算術それ自身のモデルを
 一階述語論理上の公理系として考えたら」

○「当の二階算術自身を一階述語論理上の公理系として
  そのモデルを考えたら」

747 :132人目の素数さん:04/04/19 18:36
>>745
マジでマツシンじゃないよ。
てゆーか、>>743はSimpsonマンセーなんだろうけど
漏れはShapiroの本からSOLに入ったからちょっと違うんだよなぁ。


748 :132人目の素数さん:04/04/19 18:44
ところで>>745はマツシンを目の敵にしてるところみると
T北大のT中研の関係者かい?

749 :132人目の素数さん:04/04/19 19:02
>>747
違うんだ。ふーん。大丈夫だよ、揚げ足なんかとらないから。
別に Simpson どうのではないけど、744の主張は哲学なんだよ!
数学として面白いことがないってことさ。
でも、マツシンでなくて残念というか、よかったっていうか。

750 :132人目の素数さん:04/04/19 19:57
>>736 の答え方でもわかりますが、他人と自分の間での定義や
状況設定が異なるのを知りながら、その違いを説明しようとし
ないのだから、正しい情報伝達ができることを期待する方が間
違っています。

>>732 も、引きあいに出された著者が迷惑でしょう。
この本は、高階論理の解説がメインではないので、本当に導入
部分だけを証明抜きで数ページにまとめてあり、Henkin の
general model について解説するような紙数はありません。
しかし、完全性の件については「標準的なセマンティクスで完
全ではない」と書いてあり、他のセマンティクスの存在を示唆
しています。

>>732>>742 は、そのあたりの事情がわからないような書き
方を選んでいるわけです。

751 :132人目の素数さん:04/04/19 21:21
>>749
>744の主張は哲学なんだよ!
うん、これは数学じゃなくて数理哲学だよ。
集合論を一階述語論理の公理系として考えた場合
集合の全体という存在論はそっくり抜け落ちるだろ。
数学者のSimpsonが考えるような二階算術でも
同じことが起きるのさ。
Shapiroは数理哲学者だから、そこが哲学的に興味あるわけ。

752 :132人目の素数さん:04/04/19 21:37
>>750
数学的帰納法の定義ってどう理解してる?
普通は、任意の述語について・・・と考えるんじゃない?
デデキントの自然数は皆同型っていう定理ってあるよね
あれって一階述語論理上の公理系ではできないよ

戸田山はジェフリーの本も翻訳してるけど、そこでは
「第2階の論証の妥当性を認識するための
 健全で完全なルーチンを設計するという
 決定問題は非可解である」(p185)
とはっきりいってるよ。
この本もヘンキンのモデルなんて紹介してない。
多分、”不自然な人工物”だと思ってるんじゃない?

753 :132人目の素数さん:04/04/19 21:50
例えば戸田山の本p342で
第2階のペアノ算術PA2の数学的帰納法
∀X((X0∧∀x(Xx→XSx))→∀xXx)
と、第1階のペアノ算術PA1の数学的帰納法
"xを自由変項としてもつPA1の任意の論理式Axについて
 (A0∧∀x(Ax→XSx))→∀xAx"
の違いを説明してるよね。で2階の方では
”PA1で表せないような述語についても成り立つ”
とまで言ってるよね。これって重大な違いだよね。

754 :132人目の素数さん:04/04/19 21:55
>>752
ともかく 743 と 735 は違う人なんだな、言い張るつもりもないが。
752 = 751 = 744 = ... だと思うが、735 = 750 ?
750 と 751 は違うみたいだけど、って750 って理解力抜群?

755 :132人目の素数さん:04/04/19 21:58
例えばゲーデル命題は第1階のペアノ算術では偽という解釈もありえるけど
第2階のペアノ算術では明らかに真という解釈しかないよね。
だって第2階のペアノ算術では数学的帰納法は任意の述語に対して
成り立つといっているんだから。
で、我々が数学的帰納法として考えているのが、第1階のような
唯名論的なものではなくて、第2階のように存在論にコミット
したものならば、やっぱりゲーデルの結果は、数学の不完全性
を示しているってことになるんじゃない?
ゲーデル以降、数学の人は、形式主義者=唯名論者だって
顔をしたいみたいだけど。それって結局"逃げ"じゃないかな?

756 :132人目の素数さん:04/04/19 22:02
>750 って理解力抜群?

743と違って何も中身について述べてないのに
そう考えるのは実は735=743=750だから?

757 :132人目の素数さん:04/04/19 22:11
>>755
何がいいたいのかわからないが、数学の人ってのは数理論理学とか
数学基礎論の人っていうことなのだろうね。普通の数学の人はそんな
ことに興味をしめさないし、わからないから。「逃げ」っていうなら
哲学の人は集合論はどう総括するわけ? 2階っていっても集合概念
がはっきりしないとなれば「逃げ」ないけど「野たれ死に」って
ことじゃない?

758 :132人目の素数さん:04/04/19 22:17
>>757
本当に分からないの?それって思考停止じゃない?
数学者は集合について全く興味を示さないの?

>哲学の人は集合論はどう総括するわけ?
なぜ、いきなり総括なの?
これって数理哲学の難問なんだけどな。

>2階っていっても集合概念がはっきりしないとなれば
>「逃げ」ないけど「野たれ死に」ってことじゃない?
マジで1階論理で書かれていることだけ取り扱うのが
数学だって信じてるわけ?それってかなり異常な態度
だと思うんだけどなあ。違う?

759 :132人目の素数さん:04/04/19 22:23
ところで君はプラトニストではなくて形式主義者なの?
数学板を見る限り、数学やってる人って大抵プラトニストで
本当の形式主義者ってそれこそ数理論理学だけしかやってない人
に見られるかなり不自然な態度だって感じがするんだけど。


760 :132人目の素数さん:04/04/19 22:24
>>758
集合論の成果は無限集合ってのは「難しい」ってことなんじゃないの?
哲学志向の人はわかるんじゃないか?なんて考えるかもしれないけど
数学的にはそんな夢みたいなこと考えないんだと思うよ。

761 :132人目の素数さん:04/04/19 22:35
>>760
>集合論の成果は無限集合ってのは「難しい」ってことなんじゃないの?
なんかガクッと格調が落ちたね。

>哲学志向の人はわかるんじゃないか?なんて考えるかもしれないけど
そうじゃないよ。
哲学でも「無限」はもちろん分からないことだらけだよ。
だいたい分かってることなんて哲学するに値しないよ。

>数学的にはそんな夢みたいなこと考えないんだと思うよ。
夢は考えないけど、論文書くための”虚構”は考えるわけだ。
そりゃそうだよね。論文書いて評価されないと
大学で職にありつけなくって御飯の食い上げ
だもんね。

762 :132人目の素数さん:04/04/19 22:42
コーエンのフォーシングなんていうのも一種の”虚構”だよね。
連続体仮説etcが決定不能問題だって示すための道具としては
いいけど、実際、決定不能性が明らかになったところで、集合
についてなんか分かったっていえるのかどうか難しいよね。
最近、数学関係で、集合論の評価が低いのもそんなところに
あるのかも。多分ポジティブな感じがしないんだろうね。

763 :132人目の素数さん:04/04/19 22:46
例えば、ヒルベルトの第10問題で、集合論でも解の無いことが
証明できない不定方程式があるっていうけど、これって形式主義の
立場では、解があるようなモデルもあるってことになるよね。

でも実際にはこういう場合についても解は存在しないって考えると
思うんだ。そう考えると形式主義ってかなりヘンだよね。

764 :132人目の素数さん:04/04/19 22:56
>>761 >>762
なんかマツシン相手にしてる雰囲気なんだけど、まあいいか。
要するに、「無限」を対象とするなら、哲学でやるなら乞食を
するしかないが、数学ですれば、少しは食える可能性があるって
違いだろう。それと全然違うのは、現在、集合論の研究者は数学者と
して飛び切りのが何人かいるってとこだろう。

765 :132人目の素数さん:04/04/20 10:40
>>764
>現在、集合論の研究者は数学者として飛び切りのが何人かいる
集合論研究者の仲間内で褒めあっても意味ないんじゃない?
一歩外に出ると集合論って何やってんだ?って感じらしいし。
そんな状況じゃあんまりおいしい仕事じゃないんじゃないかな。
ちなみに哲学者でも食っていける人はいるよ。
とにかく一度Shapiroとか読んでみろって。世界観変わるよ。

766 :132人目の素数さん:04/04/20 14:42
久しぶりにこの板来たが
基礎論スレは消えたのか?

767 :132人目の素数さん:04/04/20 15:04
{φ,{φ},{φ,{φ}}}が落ちて以来、立ってないようだ。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/

768 :132人目の素数さん:04/04/20 16:05
集合論なぜなにスレッドはこちら
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/

769 :690:04/04/20 16:11



@ある一階の算術の理論の公理系Kの語彙
AKの項・論理式の定義
BKの公理、推論規則
C意図されたモデルM
からつくられるある一階の算術の理論の公理系Kがあって、
そこで、意味論的真(@ACのもとで意味論的真)だが、その理論の公理系の中で証明可能ではない論理式Aをつくることができる。と、
Aは意味論的真である → Aは証明可能である が崩れるため、Kは意味論的完全ではない

が、
論理式Aを意味論的真ではなくする@ABC’(超準モデル)からなるある一階の算術の理論の公理系K’というものをつくることができるらしい。と、
そこでは、論理式Aは、意味論的真(@AC’のもとで意味論的真)ではないし、証明可能でもない、ということになる。(少なくとも、論理式AはK’においては、意味論的完全性をいうときの障害にはならない)


よくわからないのは、
(1)
K’は、意味論的完全であるか、という点(例えば、Kのときのように、そこで、意味論的真(@AC’のもとで意味論的真)だが、その理論の公理系の中で証明可能ではない論理式をつくることができるというようなことはないか、という点)

(2)
KとK’は、なんらかの集合の部分集合なのだと思うのですが(間違ってますか?)
そのなんらかの集合自体は、意味論的完全であるか、という点、

(3)おまけ
戸田山和久 論理学をつくる P336
Q(ある一階の算術の理論)は第一階の理論だから完全性定理が適用できる。
ここのところがよくわかりません。

です。

お手すきの方、どなたか、お教え願えませんか。

770 :DQN:04/04/20 16:29
中学レベルなんですけど、さっき、ふと 

y = x^2 は、単調増加だよなぁとか…思いながら、とりあえず自乗してた。
1の2乗は1
3の2乗は9
4の2乗は16
0.1の2乗は0.01
1/2の2乗は1/4 …………
あ。へってる。?。単調増加のはずだよな。

…………。
あたりまえやん。

しばらく考えてた(←マジで馬鹿というかアホだよ。こりゃ)。定義域は略。



771 :770:04/04/20 16:30
>>770
アホすぎてわらえる(汗)

772 :132人目の素数さん:04/04/20 16:59
>>769

>>722の言い方でいえば
「ゲーデル文は、一階の自然数論では意味論的真ではない」
なぜなら、ゲーデル文を真とする一階の自然数論のモデルもあれば
偽とする一階の自然数論のモデルもあるから。
「ゲーデル文は、二階の自然数論では意味論的真である」
なぜなら、ゲーデル文を偽とする一階の自然数論のモデルは
皆二階の自然数論の数学的帰納法を満足しないから。

これで、>>735がいった
「syntax と semantics の両方を指定せよ」
というクレームに対する義務を果たした。

773 :132人目の素数さん:04/04/20 17:04
>>769
さらにダメ押ししておくと
一階の公理系としては無矛盾でも、
述語の全称のところを二階の限量子で
解釈した二階の公理系として考えた場合
矛盾するようなものがある。
例えばゲーデル文の否定を付け加えた公理系は
二階の公理系としては矛盾する。

774 :132人目の素数さん:04/04/20 20:24
>>772
> これで、>>735がいった
> 「syntax と semantics の両方を指定せよ」
> というクレームに対する義務を果たした。

そんな要求はしていない。
syntax や semantics が何かを聞いていたのは >>731.
>>735 は、その質問に >>732 のような答をする奴と議論は
成立しないだろうという指摘。

775 :132人目の素数さん:04/04/21 11:54
>syntax や semantics が何かを聞いていたのは >>731.

いやそんなことは聞いていないよ。
一階も二階も意味論は同じと決め付けた上で
誤りを口にさせようとしただけ
732はその思い込みを思いっきり突いただけで
議論を否定したのは間違いを認められない
誰かさんの脆いプライドのせい。

776 :132人目の素数さん:04/04/21 21:56
>>775
なんで、他人がきいたことについて、きいているかどうか
わかるのかな? まあ「頭」がいいからなんでもわかるのか?
まあ、やっぱりマツシンと似たかよったの「頭」だよ!

777 :132人目の素数さん:04/04/21 22:34
>>776
ん?君は>>731なの?それじゃ意味論意味論って騒ぐの無理ないな
要するに意味論が全然分からないから教えてっていうんだろ?
マツシンでもだれでもいいから

778 :132人目の素数さん:04/04/23 23:16
今日図書館でJon BarwiseとJohn Etchemendyの
面白い本を見つけたのでとりあえずage
外国のロジシャンは気合が入ってるなあ。
たかが嘘つきパラドックスに。いつか読みたいが
いつになるだろうか?今は再帰的函数論の勉強の
最中だし、最近基礎論は食傷気味だし。

779 :132人目の素数さん:04/04/23 23:55
ときに、論理学、基礎論関係のスレって
二階述語論理が話題に出る→荒れるの法則が
成り立っていませんか?

780 :132人目の素数さん:04/04/24 00:17
後悔論理イラネ

781 :132人目の素数さん:04/04/24 00:19
多分、騒ぎの中心は同一人物ではないかと思う。

782 : ◆QWv3R1XL8M :04/04/24 00:23
それは誰のこと

783 :132人目の素数さん:04/04/24 00:30
778=779です。
まあ二階述語論理を絶対視する変な人が居るのも、
竹内先生の祖国っぽくて良いんでしょうけどね(w
『証明論入門』もいずれは読みたいんですが
アレを読む暇なんてくるんだろうか。

784 :132人目の素数さん:04/04/24 00:34
>>783
そういうことを書くと、「THE 二階論理」の人にからまれます。

785 :132人目の素数さん:04/04/24 07:39
>>784
「THE 二階論理」って、以前、基礎論、、、のスレッドで二階論理大王
っていわれていた人? あそこでもマツシン? っていわれていたけど違う
人なのかな? ネットで有名なH先生のBBSでH先生に二階論理をたたき込
まれたマツシンが二階論理大王だと思っていたのだけど、どうなんだろう?


786 :132人目の素数さん:04/04/24 19:58
>二階述語論理が話題に出る→荒れる

正確には
「二階論理は不完全だというと
 必ずヘンキンモデルは違うと
 いいはる奴が荒らす」
っていったほうがいいかな。

なんかもってまわった口の聞き方といい
なにかというと「マツシン」といいだす
ところといいdデモっぽい人なんだけど。



787 :132人目の素数さん:04/04/24 20:06
>>783
漏れにはむしろヘンキンモデルとかいってるヤシのほうが
竹内ファソのような気がするなぁ。

>たかが嘘つきパラドックス
されど嘘つきパラドックス

公理的集合論って結局何も解決せずに棚上げしちゃったって感じ。
でもバーワイズの理論も、肝心のラッセル・パラドックスは
解決できないんだよね。てゆーか、「解決」するって態度が
そもそも根本的にマチガッテルわけだが…

788 :132人目の素数さん:04/04/24 22:56
>>787
「ヘンキンモデルとか」いってるのは「あなた」つまり「THE 二階論理」
なんだよ。Henkin の論文の話しは 750 にあるように general model って
いわれるのが普通なわけ。ね、これわからないでしょ。
気がついたんだけど、あなた記述集合論の結果ってしらないでしょ。
だから、お馬鹿さんっていったるわけさ、マツシンと同じ程度の。


789 :132人目の素数さん:04/04/24 23:04
>>788
ヘンキンは自分でヘンキンモデルとはいわないだろ。
てか、ヘンキンがゼネラルモデルっていったからって
それを鵜呑みにするヤシはいないよ。
ところで直接関係ない記述集合論を持ち出すのは
自分がオリコウさんだっていいたいのかな?
君が大好きなマツシンと同じようにさ(藁

790 :132人目の素数さん:04/04/24 23:20
あんねぇー、ヘンキンモデルっていうのは普通違う意味で使われる
んだよ。「頭」のいいマツシンのご親戚の方!ね、だからーあなたは
きっとわかってないんだろうなぁーって、わかちゃうわけさ。で、
記述集合論を持ち出すわけは、ちょっと別なとこにあるんだけど、
マツシン=「THE 二階論理」の否定が明確になった後にしたいんだよ。

791 :132人目の素数さん:04/04/25 10:37
>>790
なに知ったかぶってるの?マツシンファン君。
ああ、大好きなマツシンのマネしてるんだ(哂
うん、その無知っぷりは完全にマツシンを超えたね。
で、君、一階論理の完全性の証明全く知らないでしょ(プ
ここで議論するのは、君が一階論理の完全性の証明を
勉強した後にしようね(哂

792 :132人目の素数さん:04/04/25 11:46
また荒れだした(w

793 :132人目の素数さん:04/04/25 14:47
788=790=荒し
マツシンもどきは他所いけよ。

794 :132人目の素数さん:04/04/25 15:17
>>789
関係ないが、自分が考えた概念を自分の名前で
呼んでもらうためには、出来るだけ長くて呼びにくい名前を
つけることだ、とどこかで聞いたような。


795 :132人目の素数さん:04/04/25 20:47
荒らし去ったね。もうこないでね

796 :132人目の素数さん:04/04/27 13:54
なんで名前欄に自分の発言番号すら入れられないんですか?>ここの人達
それだけで議論の流れもはっきりするし,
「おまえは○○だな!」「いやお前こそ○○だろ!?」みたいな
数学板とも思えぬようなレベルのひくーいやりとりも排除できるのに

797 :132人目の素数さん:04/04/28 14:17
>>796
ワラタ

798 :132人目の素数さん:04/05/05 23:59
735

799 :132人目の素数さん:04/05/21 03:46
ロジックの述語ってrecursive、r.e.やquantifierなど
訳語が定まっていない言葉が結構あると思うんですけど
皆さんは何を使われますか?

800 :こここ:04/05/21 09:49
すみません。どなたか教えてください。
今、戸田山和久「論理学をつくる」をp.180まで読んだところですが、タブロー法
のことで、わからないことがあります。存在例化(EI:existential instantiation)
では、∃ξAから、A[α/ξ]にするときに
「ただし、αはその経路にこれまでに現れていない個体定項とする。」
と但し書きがつきますが、ということは、タブロー法をするときは個体変項だけでなく
個体定項も(可算)無限個あるという前提を取るのでしょうか。戸田山和久の本では
今のところ関数記号は出てきてないので、例えば個体定項を"a"のみということにして
しまうと
  ¬Pa,∀x¬Px,∃xPx
から出発してタブロー法を使おうとしても、この時点ですべての個体定項は現れて
しまいましたから、∃xPxを使用できなくなります。
実は、それで小松寿「記号論理学入門」(森北出版)をひっくり返してみると、
「分枝θで、その中のいかなる原子記号もθ中に現れていない任意の定常項」
となっています。(定常項というのは、個体変項を含まない項のことです)
すると、これも個体定項と関数記号が1つずつしかない場合は同じように困ってしま
います。
ただ、小松の本のほうは、よく読んでみると、個体定項も関数記号もそれぞれ
可算無限個ある前提のようです。なぜなら、関数記号は
 f^j_i(i,j≧0)
というふうに用意されていますから、これは可算個あるということですよね。
でも、そうすると、個体定項や関数記号がそれぞれ有限個しかない場合って、
タブロー法はどうするんでしょうか。もしかして、上記のαとして個体変項も
許すのでしょうか。
常識を知らない、と叱られそうですが、となたかご教授お願いいたします。


801 :132人目の素数さん:04/05/21 10:50
>>800
>タブロー法をするときは個体変項だけでなく
>個体定項も(可算)無限個あるという前提を
>取るのでしょうか。

タブロー法に限らず、述語論理では
個体定項の個数を制限できません。

個数を論じたい場合、等号とそれに関する公理を
導入する必要があります。

ということで、タブロー法でもその他の推論でも
個体定項はバンバン使ってください。

802 :132人目の素数さん:04/05/21 11:00
例えばPを満たすxが一つしかない場合を論理で表す場合

∃xP(x) Pをみたすxがいる。
∀x,y.(P(x)∧P(y)⇒x=y) 
任意のx,yについて、Pを満たすなら、xとyは同じ

2人の場合は、どう書けるでしょう?>>>800

803 :こここ:04/05/21 12:06
ありがたや、ありがたや>>801 >>802
もう少し質問させてください。

>>801さん
>タブロー法に限らず、述語論理では
>個体定項の個数を制限できません。

>個数を論じたい場合、等号とそれに関する公理を
>導入する必要があります。
では、例えば形式化された自然数論を念頭に置いたとして、今手元にある
福山克「数理論理学」(培風館)(この本って古いんでしょうか)
では、(本によって術語が違ってスマソ。でもわかりますよね。)
個体定数:0
関数記号:S,+,・
述語記号:=
となっていますが、こういった具体的に形式化された理論ではタブロー法は
使えるのでしょうか?

>>802さん
それは今の私の疑問と関係あるんでしょうか。何とでもできそうな気もしますし、
実は今手元に(田舎なもんで、都会に出たときに手当たりしだいに本買っちゃうんです。)
前原昭二「数学基礎論入門」(朝倉書店)
があるんですが、その59ページの問3にのってるんで、どう書けばいいかは
もう知っています。


804 :132人目の素数さん:04/05/21 14:28
>>800
個体定項と個体変項は形式的にはほとんど違いはないので、
> 「ただし、αはその経路にこれまでに現れていない個体定項とする。」
を次のように読みかえてしまってください。
> 「ただし、αはその経路にこれまでに現れていない個体変項とする。」

805 :こここ:04/05/21 17:35
>>804
>を次のように読みかえてしまってください。
>> 「ただし、αはその経路にこれまでに現れていない個体変項とする。」
やはりそうですか。ありがとうございます。

いやあ、それにしてもタブロー法にしても、LKの証明の探索列にしても、
ここまで機械的な方法があるというのは、やはり素人の私にとっては驚きです。
すごいんだなあ。

ただそれにしても、述語論理で、個体定数や、関数記号、述語記号の個数が
有限個のままで項や論理式を定義して、どういう不都合が起きるのか少し
気になってきたなあ。林晋の数理論理学では関数変数に述語変数だし、
なにかあるのかなあ。
ふつごうなんてなかったりして....(^^;)


806 :132人目の素数さん:04/05/21 21:04
自由変数記号といっても定数記号といってもただの記号にすぎないから
自由変数記号のうち奇数番目は定数記号として使うつもりになればよい。
ただし自由変数記号が無限個あることは決定的で、これがないと述語
論理はうまくいかない。

807 :132人目の素数さん:04/05/21 21:31
個体定項individual constantっていわゆる対象定数とか
定数記号とかのこと、という理解で良いんだっけ。
だったら無限個使う必要は無いと思うけど。
そもそも通常のZFCには定数は述語定数しかないだろ。

哲学よりの訳語は良く分からない……

808 :132人目の素数さん:04/05/21 23:14
完全性の証明でHenkin constant使うときは
constantが無限個あるという想定が必要だよね?

809 :132人目の素数さん:04/05/22 00:20
それは元からあるものじゃなくて後で付け加えるんでしょう

810 :132人目の素数さん:04/05/22 00:32
そういえば完全性定理(あるいはLS下降定理)の証明って
どうしても選択公理が必要なんだっけ?それとも使わない
証明もあるんだっけ?

以前勉強したときに、メタで選択公理をさも当たり前のように
使ってZF+ACの相対無矛盾性を証明されてもなあ、もしACが
矛盾してたら元も子もないじゃないか、とげんなりした
記憶があるようなないような……

811 :132人目の素数さん:04/05/22 01:33
>>810
> 選択公理が必要なんだっけ?
言語による。

> 以前勉強したときに、
そこがあやふやでは、勉強したとは言えないと思う。

812 :こここ:04/05/22 17:33
いやあ、こんなにいろいろ教えていただいてうれしい限りです。
>>805
>>804
>>を次のように読みかえてしまってください。
>>> 「ただし、αはその経路にこれまでに現れていない個体変項とする。」
>やはりそうですか。ありがとうございます。
この方向で試してみようと思ったんですが、Hintikka集合を作るとき、
論理式∃ξAや∀ξAから、A[α/ξ]にするときにαとして任意の項を許しちゃうと
項を代入するときの条件(新たに束縛されないってやつ)を気にしなきゃいけないんで

>>808
>完全性の証明でHenkin constant使うときは
>constantが無限個あるという想定が必要だよね?

>>809
>それは元からあるものじゃなくて後で付け加えるんでしょう
の方向で今考えてます。(^^;)
林晋の数理論理学みたいに、アルファ同値な論理式を同一視しちゃって論理式への
項の代入はいつでもOKってな具合にしてもいいですけど...

ついでに、上記の事とは関係ないし、私はまだ低レベルですけど...
福山克「数理論理学」(培風館)の本では、相等関係を持つ理論がモデルMを持つとき
正規モデルM'も持つ事の証明で、M'上の付置から、M上の付置の存在を言うところで
選択公理つかってますね。(って、もしかしてどうでもいい?(^^;))


813 :こここ:04/05/22 17:57
あ、!!(OoO)!!
なんか、HenkinとHintikkaを混同して読んじゃったみたい。
だけどでも
Hintikkaのほうで、無限個のconstantを付け加えてやってみます。
(もしかして、今回は勘違いしたおかげで解決しちゃうかもってこと?)


814 :132人目の素数さん:04/05/22 18:05
>>812
同値類から代表元を選ぶときも、その他なにをするときも、選ぶ対象が
整列されていれば、選択公理はいらない。
完全性定理の証明に関していえば、相等関係があろうがあるまいが、
初めに与えられた述語記号、関数記号、定数記号などが整列されてい
れば、途中、定数記号を増やしたり、極大無矛盾系に拡げるときに
整列性を保存するように定義していけば選択公理は不必要である。

815 :132人目の素数さん:04/05/22 20:58
論理学をつくるを買いますた。

816 :132人目の素数さん:04/05/22 20:59
>>805
>述語論理で、個体定数や、関数記号、述語記号の個数が
>有限個のままで項や論理式を定義して、どういう不都合が
>起きるのか少し気になってきたなあ。

そもそも、なんで個数を有限個にしたがるんだ?
いっとくけど、違う名前だから同じ対象じゃないとは
いえないわけだぞ。

例えば 
白石美帆は戸籍上の名前も白石美帆だが、
伊東美咲は戸籍上の名前は安斉智子なわけで
(なんちゅう例だ)

817 :132人目の素数さん:04/05/22 21:04
まあ、別の例では
深田恭子は本名だが、優香の本名は岡部広子とか
吉岡美穂は本名だが、乙葉の本名は吉田和代とか
(笑)
極めつけは
小池栄子は本名だが、MEGUMIの本名は山野仁(←めぐみ)とか

818 :132人目の素数さん:04/05/22 21:47
>>816
等号を持つ Kripke モデルの話をするときには、
Dr. Jekyll と Mr. Hyde を例にできます。


819 :こここ:04/05/23 17:35
いやあ、勉強になります。ここんとこ濃い日が続くなあ。(^^;)

>>814
>>812
>同値類から代表元を選ぶときも、その他なにをするときも、選ぶ対象が
>整列されていれば、選択公理はいらない。
なるほどなるほど。でもモデルってあんまり作ったことない(^^;)んですけど
たいていの場合整列されてるんですか?(^^;)

>>816
>そもそも、なんで個数を有限個にしたがるんだ?
そういう見方もありますか。なるほど。

>いっとくけど、違う名前だから同じ対象じゃないとは
>いえないわけだぞ。
でもそれはsyntaxの段階でそう言えるんですか?それともどうせモデルを考えるから
ってことですか?

いずれにしても私素人なもんで、おそらく自分勝手に変なところにこだわってるん
です。

あ、それから、>>813
>Hintikkaのほうで、無限個のconstantを付け加えてやってみます。
で解決しました。しかも簡単に!
ノーと作るのに時間かかったけど、無限個のconstantを付け加えてみてから解決まで
はすぐでした。この件に関して本当にありがとうございました。

>>816さんの指摘がすごく気になってきたなあ...


820 :こここ:04/05/23 17:40
>>816
>いっとくけど、違う名前だから同じ対象じゃないとは
>いえないわけだぞ。
あ、でもHintakkaの証明のモデルを作るときは、違うものを割り当てないといけない
ですよね?......違ったかな(^^;)


821 :132人目の素数さん:04/05/23 20:09
こここは、戸田山の「論理学をつくる」を読んでるんだよな。
>>816がいってるようなことは第8章(p202〜)で出てくるゾ。

822 :132人目の素数さん:04/05/23 21:14
数学って、暗記だけで高得点狙えますか?

823 :こここ:04/05/23 21:36
なんか目からウロコが落ちかけてる気がするなあ。

>>816
>そもそも、なんで個数を有限個にしたがるんだ?
なんかそのとおりの気がしてきました。でも、私の理解の仕方ではむしろ

>いっとくけど、違う名前だから同じ対象じゃないとは
>いえないわけだぞ。
はあまり関係ないです。
例えば、(わざと)個体定項の個数が制限された言語(と言っていいのかな)L
の論理式Xに、タブロー法を使って恒真であると結論したとして、しかもその
タブローを作るときに、Lに存在しない個体定項aを用いたとしても、それは
Lに個体定項を付け加えたL'で考えていたのだと思えば何も悪いことはしていないし、
あるモデルMのある割り当て(アサイン)sでXが真になったとして、Xの中には
現れない個体定項や、個体変項に何が割り当てられていてもXの真偽には関係
ない(あたりまえ(^^;))んですよね。だから、Xだけの真偽を言うには
個体定項aに何が割り当てられようと関係ない。

おかげさまで、ここまで気がつきました。そしてここまで気がつくとやっぱり
>>816
>そもそも、なんで個数を有限個にしたがるんだ?
なんですよね。私はそう理解しました。

勝手に自己満足してるんでしょうけど、でもありがとうございました。


824 :132人目の素数さん:04/05/23 22:36
英語読めるんだったらSmullyanのFirst Order Logicを読めば、
タブローでHintikka集合を極大無矛盾に拡げる方法で完全性の
証明をしているから、参考になると思うよ

825 :132人目の素数さん:04/05/24 16:49
>>823
つーか、第7章の段階では、そもそも個体定項a,bに対して
同じとか違うとかいう区別はできないから、個数を制限しても無意味。

で、第8章までいくと、今度は等号で同じとか違うとかの区別をやるから
やっぱり見た目上の個数を制限しても無意味。
つまり、安斉智子=伊東美咲みたいなことがあり得るわけ。

826 :こここ:04/05/24 23:31
>>825
多分私が理解していないせいなので、とんちんかんなんだろうとは思いますが
次の質問をさせてください。
例えば、福山克「数理論理学」(培風館)には
形式化された自然数論が出てきますが、そこでは個体定項は0しかありません。
関数記号もS、+、・の3つしか出てきません。
私のはじめの疑問は(今は自分の中で解決していますが)そのような理論の中でも
個体定項を自由に使って示された普遍妥当式を、普遍妥当式として用いてよいのか、
というものでした。
このことと確定記述に関することは関係あるのですか?

もしかして私の疑問は>>825さんの想定しているのよりずっとレベルの低いこと
なのかな。


827 :132人目の素数さん:04/05/25 10:28
>>826
>形式化された自然数論が出てきますが、
>そこでは個体定項は0しかありません。

その言い方では、「述語論理では個体定項はない」ってことになるね。
だって自然数論では、公理で0の存在を直接書いてるでしょ。
でも述語論理では、そういう形で示される個体定項はないよね。

あと、自然数論は等号つかってるのは分かってるよね。
つまり、等号使わない理論に対する理解で語っても意味ないよ。

828 :132人目の素数さん:04/05/25 12:27
>>827
> その言い方では、「述語論理では個体定項はない」ってことになるね。
> だって自然数論では、公理で0の存在を直接書いてるでしょ。
> でも述語論理では、そういう形で示される個体定項はないよね。

意味不明。
そんなことは、>>826 にもそこで引用されている本にも書いてないのですが。

829 :132人目の素数さん:04/05/25 12:34
じゃあ、どう書いてあるんだい?
お前こそ意味不明。わからないなら口だすな

830 :132人目の素数さん:04/05/25 12:36
個体定項であるかどうかと、それを規定する公理があるかどうかは無関係。

831 :132人目の素数さん:04/05/25 12:40
そう思い込むのは君の誤り

832 :132人目の素数さん:04/05/25 13:00
普通の教科書では、個体定項であるかどうかは言語のレベルの話として書いてある。
そうでない標準的な本を挙げられますか。

833 :132人目の素数さん:04/05/25 13:14
ではその普通の教科書の題名とその記述箇所を挙げてください。
私が、貴方の読み間違いをズバリ指摘して差し上げましょう。
さあ、どうぞ。

834 :132人目の素数さん:04/05/25 13:16
もちろん、文章をここに一字一句もらさずに書くんですよ。

835 :こここ:04/05/25 14:40
ありゃりゃいろんな人が...
まあ、私の最初の疑問は次の通りです。

∃y(y=x)をP(x)と略記することにします。そこで、
  P(0),∀xP(x),∃x¬P(x)
が、どのようなモデルのどのような変項割り当てにおいても充足できない(*)
という証明は、タブロー法で、0とは違う文字aを用いて
1:P(0)
2:∀xP(x)
3:∃x¬P(x)
4:¬P(a)   3:の存在例化(これまでに現れていない個体変項aを用いなくてはならない)
5:P(a)    2:の普遍例化
×
とできるが、>>826で述べた形式化された自然数論の中ではそもそも
P(a)つまり∃y(y=a)なる論理式が存在しない(語彙の中にaなるものはない)
ので、(*)という結果が形式化された自然数論でも正しいとしても
タブロー法を用いた上記の証明そのものは(形式化された自然数論の中では)無効
である。

と考えてしまうと、なんかタブロー法のありがたみが減ってしまってそんなこと
ないんじゃないかなあと思ったことです。ですから、形式化された自然数論固有の
公理が何であるかと言うこととは無関係のつもりです。

また、また、小松寿「記号論理学入門」(森北出版)には、理論の語彙については
関数記号と述語記号に制限のある場合があり、ゼロ価関数(すなわち個体定項)を
欠くもの、1価述語が一つだけのもの、述語が数個だけのものなどがあったりする
ということが書いてありましたので、ますます上記のように思っちゃったわけです。
(つづく)


836 :こここ:04/05/25 14:40
(つづき)
まあ、独学してるとわかんないことがいっぱいあるんでしょうねえ。
私の疑問を解くには、>>827さんが、等号のある理論で何を言いたかったのかを
教えてもらうといいのかもしれませんね。(私のレベルが低すぎてなんにもわから
ん可能性大ですが、)

一応数理論理学関係で私が最初から最後まで読んだ本は
前原昭二「記号論理入門」(日本評論社)
前原昭二「数理論理学序説」(共立)
福山克「数理論理学」(培風館)
小松寿「記号論理学入門」(森北出版)
林晋「数理論理学」(コロナ)

こんだけ入門ばっかり読んでどうすんだって感じ(;o;)
戸田山の本は、上記の本には載ってないような論理学者の気持ちや常識を求めて
最初は1週間計画(1日60ページ)で読み始めました。大幅に遅れましたが
今は第W部に入ったばかりです。(ほんとは前原の数学基礎論入門を読んでる
最中だったのに(;_;)。何か気になってしょうがなかったんだよなあ。)


837 :こここ:04/05/25 15:03
まちがえました(^^;)
>>835
(誤)(これまでに現れていない個体変項aを用いなくてはならない)
(正)(これまでに現れていない個体定項aを用いなくてはならない)


838 :132人目の素数さん:04/05/25 15:18
>>835

>>804 でも書きましたが、個体定項と個体変項の違いは形式的には
ほとんどありません。タブロー法で個体定項とあるところをすべて
個体変項で読みかえればうまくいきます。その場合 >>812 で書いて
いるように代入について注意しなければなりませんが、それはいろ
いろな場所で必要なことなので。

もう一つの方法としては、個体定項を増やしてもそれに関する公理
を追加しない限り恒真式は変わらないという定理を証明してしまう
手もあります。

839 :132人目の素数さん:04/05/25 15:19
>>835
> >>826で述べた形式化された自然数論の中では
>そもそもP(a)つまり∃y(y=a)なる論理式が存在しない
>(語彙の中にaなるものはない)ので、

この件については、はっきりと、こここ氏の誤解でしょう。


840 :132人目の素数さん:04/05/25 15:26
>>838

>>804 でも書きましたが、個体定項と個体変項の違いは
>形式的にはほとんどありません。

その通り。問題は>>804にある

> 「αはその経路にこれまでに現れていない」

というところ。

述語論理オンリーで、=を用いていない場合、同一の対象が
異なる名前を持っているかどうか気にする必要はない。
また、=を用いているばあい、矛盾があれば、=に関する
規則のところでわかるからやはりそのままやればよい。

ところで、どうしてこここは戸田山の第8章を読まないんだ?

841 :こここ:04/05/26 00:21
どうもどうも(^^;)

>>839
>>837の訂正をした上でも誤解と言うことですか?
今の私の立場は、あくまでタブロー法の存在例化や普遍例化のときは
個体変項ではなく個体定項しか代入しないという立場ですが、それでも
誤解ですか?

>>840
>述語論理オンリーで、=を用いていない場合、同一の対象が
>異なる名前を持っているかどうか気にする必要はない。
同一の対象が異なる名前を持っているかどうかなんて私は気にしてない気がするん
だけどなあ。

>ところで、どうしてこここは戸田山の第8章を読まないんだ?
じつは、とうの昔にそこは読んでるんです。>>836でも第W部まで読んだと言った
つもりなんですけどね。というか、もう読んでるのに私がまだこんなにわからずや
になってるので恥ずかしいと言うか、言いづらいと言うか...(^^;)

もしかして、論理的公理しかない段階では個体定項と個体変数には区別がなくて
形式化しようとしている理論特有の公理のなかの束縛されていない文字が個体定項
と解釈されるって言う立場なんですか?(全然違うか(^^:))


842 :132人目の素数さん:04/05/27 11:29
>>841
>今の私の立場は、あくまでタブロー法の存在例化や普遍例化のときは
>個体変項ではなく個体定項しか代入しないという立場ですが、それでも
>誤解ですか?

それでも、じゃなくて、それこそ誤解だが。

>同一の対象が異なる名前を持っているかどうかなんて
>私は気にしてない気がするんだけどなあ。

もしかして福山の本の記述にこだわってるならキレイさっぱり忘れろ
違う本の記述を強引に当てはめるから間違うんだ。


843 :132人目の素数さん:04/05/27 11:33
>>ところで、どうしてこここは戸田山の第8章を読まないんだ?
>じつは、とうの昔にそこは読んでるんです。

読んだら分かるだろう。何が分からないんだ。

>もう読んでるのに私がまだこんなにわからずやになってるので

だから何がわからないんだ?!

>もしかして、論理的公理しかない段階では個体定項と個体変数には区別がなくて
>形式化しようとしている理論特有の公理のなかの束縛されていない文字が
>個体定項と解釈されるって言う立場なんですか?

福山の本の「0だけが個体定項」という記述は
「形式化しようとしている理論特有の公理のなかの
 束縛されていない文字が個体定項と解釈されるって言う立場」
によるものなんだが。

844 :132人目の素数さん:04/05/27 11:39
>>842
>論理的公理しかない段階では個体定項と個体変数には区別がなくて

というか、論理的には。「以前に出てこない個体変数」を
「個体定項」と考えてよいってこと。

そういう意味では、自然数論の中の公理に現われる0も
同じように解釈できる。


845 :こここ:04/05/27 15:48
ううむ。怒っちゃいましたか。

>>843
>だから何がわからないんだ?!
話が複雑にならないように、もう私の中で解決したことは置いといて今本当に
疑問に思っていることを書きます。

(1)なぜ、理論固有の公理を記述する前から、個体定項として使う文字と個体変項
として使う文字を区別しておくことがいけないのか?それとも無意味なのか?

私は区別しておいて全然かまわないと思っています。というより、区別しといた方が
話がすっきりするんでないかなあ。個体定項は決して束縛されないし、モデルを
考えるときも、論議領域の元を割り当てるタイミングは個体定項と個体変項では
ちがうし。

個体定項と、個体変項...(1)をどう考えるかによって今後の疑問も変わって
くると思いますので、まずはこれだけにしとくかな。

あ、今気がついたんですけど、この(1)に関連してなんですが、

>>844
>というか、論理的には。「以前に出てこない個体変数」を
>「個体定項」と考えてよいってこと。
推論(演繹?)の進め方にしたがって個体定項と個体変項の区別がついていく
ってことですか?


846 :132人目の素数さん:04/05/27 18:38
>>845
区別してはいけないなどとは誰も言ってませんよ。

区別してもかまわないけれども、その文字の使い分けを知らない
者にとっては、演繹の中に現れる文字が、束縛されることのない
個体変数なのか個体定数なのかは区別できないということです。

多くの完全性定理の証明はこの事実を利用しているわけで、この
ことさえわかっていれば、これらを区別するかどうかはどうでも
よいことです。

そして、その文字の使い分けをするかどうかの違いで何らかの不
都合が起きたとしても、それは見かけだけのことで容易に修正が
可能なのです。

847 :こここ:04/05/27 23:36
さて、>>846さんのご意見では、個体定項と個体変項は区別しておかないほうが、
都合がいいような感じですが、それはなぜなのでしょうか。私は>>845の中ほどに述
べたような理由で、区別して議論を進めていったほうがやりやすいと思っています。
完全性定理の証明のときに個体定項と個体変項の読み替えをするにしても、それは
そのときそうすればいいんでない?という感じです。
まあ、これは単なる気持ちですから、私の大変短い(数理論理学に関する)経験
から出てきているものです。

だからこそいろいろな人のご意見を伺いたいのです。
そして、今心配しているのは、個体定項と個体変項の区別については、もしかして
本当に区別しないほうが、後々いいのかもしれない、と言う気持ちがぬぐえないの
です。ここがはっきりしないので、>>841の私の最初の疑問にご意見をしてくださっ
た方はお一人だけいらっしゃいますが、私自身はまだ自分の考えをあらためるに
いたれないのです。









(^^;ゞ..(^^;ゞ..(^^;ゞ..(^^;ゞ..
えーーーと。私にレスしてくださって、なおかつ有益なご意見をしてくださっている
方は複数いらっしゃると思うんですが、その方々のご意見は全体としては一貫してい
ない気もするんです。どうしても、私の疑問を誤解なさっている人がいるかもしれな
いという気持ちをぬぐえないのです。大変申し訳ないんですが、なにか識別できるよ
うな番号か何かを名前欄に示してもらうと助かります。


848 :132人目の素数さん:04/05/28 07:40
>>847

どうしても、
「自然数論の個体定項は0しかない!!!」
という明らかな誤りに固執したいなら勝手にすればいい。
証明が出来なくなって困るのは君であって、私ではないからね。

849 :132人目の素数さん:04/05/28 15:02
もうや〜めた。
バカはどうせリコウになれないんだから
いくらおしえても無駄だし。

そうそうそうだよ。君の言うとおり
自然数論の個体定項は0だけ。
タブローは自然数論には使えない。
だって実際君はそう思っていて、使えないんでしょ。
使うのは間違いだって思い込んじゃって改められないんでしょ。
じゃ、いいじゃん。自分だけを信じ続ければいいじゃん。

850 :132人目の素数さん:04/05/29 07:46
誰も彼もが少しずつ間違っていて寒風吹きすさぶスレ

851 :こここ:04/05/29 16:41
残念だなあ。
>>848,849
まだ私はその疑問を解決できていないと思っていたのですね。私なりではあります
が、その疑問は解決済みなのです。
>>819
>あ、それから、>>813
>>Hintikkaのほうで、無限個のconstantを付け加えてやってみます。
>で解決しました。しかも簡単に!
と書いてたつもりだったんですけどね。つまり、個体定項が有限個しか用意されて
いない場合でもタブロー法は正当化できました。

私が今でも疑問なのは、なぜ、理論固有の公理を定める前の言語の段階で、個体定項
と個体変項の区別をしないのかと言うことです。例えば述語論理の完全性の証明の
ときなんかにも項全体の集合(以下Term)を考えますけど、
個体定項と個体変項の区別をつけてないのにどうやってTermを考えるんですか?
まあ、述語論理の完全性の証明の場合はΓ├AのΓを使って個体定項と個体変項を
区別することにすればいいわけですが...
また、論理式Aを取り出したとき、それが閉じているか閉じていないかをどう判断
するんでしょう?それまでの議論に出てきたとか出てこないなんて言ったら、
議論が進むにつれて個体定項だったものが個体変項になったりコロコロ変わるんで
すか?
これもやってやれない気もしますが、記憶力の悪い私としては、そんなにコロコロ
変えていたら、今やってる議論が、三日前の議論ときちんと整合性が取れているか
どうかをチェックしまくりで大変でしょうねえ。
(つづく)


852 :こここ:04/05/29 16:42
(つづき)
やっぱり、個体定項と個体変項はきちんと区別しといた方がやりやすいと思うなあ。
まあとにかく私の立場は
・個体定項と個体変数は言語の段階で区別する。
・個体定項を何個用意するかはあいまいなままで議論する。今回の私の疑問のように
 有限個だったら困ると思ったら、解決法がないか考える。
です。
あ、今ふと思ったんだけど、個体定項と個体変項を区別しない考え方で、不完全性
定理考えるときの、ゲーデル数の割り当てやその後はどうすんだろ。
うーーむ。いずれにしても絶対区別しておかなくちゃだめって結論が出たわけでは
ないなあ。

ほんと言うと、最初から区別してると〜〜〜と言う風に困るんだよ、と言う感じで
納得させられる方がうれしかったんだけどなあ。


853 :846:04/05/29 17:57
>>847
区別しない方が都合がよいとは書いていないと思うのですが。

普通は言語の段階で記号を区別します。しかし、個々の演繹に
着目した場合に、個体定数と束縛されていない自由変数とは読
みかえが可能であり、そのことが重要なわけです。

854 :132人目の素数さん:04/05/29 20:26
>>>Hintikkaのほうで、無限個のconstantを付け加えてやってみます。
>>で解決しました。しかも簡単に!
>と書いてたつもりだったんですけどね。
>つまり、個体定項が有限個しか用意されて
>いない場合でもタブロー法は正当化できました。

個体定項じゃない、無限個のconstant?

こここ、正気か?

855 :こここ:04/05/29 21:32
>>854
有限個の個体定項しか用意されていない場合、そのままではタブロー法
がうまくいかないので、新たに無限個の個体定項を付け加える
という意味なんですが、だめなんでしょうか。

やっぱ、個体定項が有限個しかない述語論理って変なんですかね。
それがどう変なんだか具体的に言ってもらうと助かるんだがなあ。


856 :132人目の素数さん:04/05/29 21:52
>>855
ん?じゃ
>個体定項が有限個しか用意されていない場合でも
>タブロー法は正当化できました。
はウソじゃん。「新たに無限個の個体定項を付け加える」
なら、有限個しか用意してないことを否定し去ったわけだから。

857 :こここ:04/05/29 21:54
>>853
>>847
>区別しない方が都合がよいとは書いていないと思うのですが。
ああ、どうもすみません。私は区別する派なんですが、それに反論されているかの
ように感じてしまったもので。どうもすいません。(^^;)

>普通は言語の段階で記号を区別します。しかし、個々の演繹に
>着目した場合に、個体定数と束縛されていない自由変数とは読
>みかえが可能であり、そのことが重要なわけです。
ああ、これは理解できます。ただ、私が読んだ本では、読みかえすると言うよりも
その証明に現れていない個体変項で置き換えちゃってましたけど。

あと、まだ気になってるのは>>839の指摘だなあ。やはり
>>837の訂正をした上でも誤解と言うことでしょうか?
私の立場は、あくまでタブロー法の存在例化や普遍例化のときは
個体変項ではなく個体定項しか代入しないという立場ですが、
それでも誤解なのでしょうか?
ヤッパゴカイナノカナーーーーー(・o・;)


858 :846:04/05/29 22:46
>>855
個体定項が無限個必要かどうかというのは、タブロー法をあの形で
記述しているから問題になることであり、846 で書いた「どうでも
よいこと」の部類に入っていると思っています。

あらかじめ個体定項を無限個用意してあるというのも、論理の完全
性を証明するには十分ですが、理論の完全性(論理の強完全性)に拡
張しようとすると、個体定項が足りなくなる可能性があるわけで、
個体定項による言語の拡大は避けられません。

どちらかというと、そのあたりの特殊事情に悩むよりは、そういう
問題を考える必要のない体系の話に進んだ方がよほど生産的でしょう。

859 :132人目の素数さん:04/05/30 00:38
>>858
>理論の完全性(論理の強完全性)

いきなりこんな言葉持ち出しても
こここは分からんと思うので
説明してクレ!

860 :132人目の素数さん:04/05/30 00:42
こここ、>>856に反論できず、やむなく無視・・・ダメじゃん。

861 :こここ:04/05/30 13:39
>>858
>理論の完全性(論理の強完全性)
ぜひ説明してほしいです。

あと、
>あらかじめ個体定項を無限個用意してあるというのも、論理の完全
>性を証明するには十分ですが、理論の完全性(論理の強完全性)に拡
>張しようとすると、個体定項が足りなくなる可能性があるわけで、
>個体定項による言語の拡大は避けられません。
これを読むと、個体定項を無限個用意しておいても個体定項が足りなくなって
拡大しなくてはならないと読めちゃうんですが、そういうことですか?
話の流れからして違うことを期待しちゃってたんですが(^^;)

とにかく個体定項による言語の拡大が避けられない状況を知りたいなあ。
わくわくするなあ。


862 :132人目の素数さん:04/05/30 17:18
>>861
>理論の完全性(論理の強完全性)

多分集合論的レベルの話だろうな。


863 :846:04/05/31 16:17
数学の理論を展開するためには論理だけでは不十分で、数学的な
公理を考える必要があります。理論の完全性というのは、与えら
れた論理式が、ある公理系で証明できることと、その公理がすべ
て真になるモデルの下で真になることが同値になるという主張で
す。

ところが、理論によっては無限個の公理が必要になる可能性があ
ります。もし、あらかじめ用意しておいた個体定数がこの無限個
の公理に現れてしまっている場合には、個体定数の追加が必要に
なるということです。

864 :こここ:04/06/01 00:25
オソルオソル..........

>>863
ああ、論理の強完全性ってそのことですか。それは知ってます。リンデンバウム
拡張とかヘンキン例化(Henkin instantiation)なんかを使って証明できる
やつのことですよね。

>ところが、理論によっては無限個の公理が必要になる可能性があ
>ります。もし、あらかじめ用意しておいた個体定数がこの無限個
>の公理に現れてしまっている場合には、個体定数の追加が必要に
>なるということです。
そういうことでしたか。でも、理論に必要な公理を書き下す時に無限個の個体定項
が必要なのに、それを記述しようとする言語にわざわざ個体定項が足りなくなるよ
うにしておくのは私には不自然に聞こえます。ですから、その時は個体定項を追加
するというよりも、最初から用意しておくんです。(もちろんヘンキン例化のときに
付け加えるような文字は別として。)
(つづく)


865 :こここ:04/06/01 00:26
(つづき)
もしかしてここら辺が私の理解のいびつなところなんでしょうか。もしかして
普通に記号論理学をする場合は、例えば1階の(古典)述語論理といったら、たった1つ
のものが想定されているのでしょうか。私が今まで記号論理学関係の本を読んで
きたときはどういう想定で読んできたかというと>>852にも触れてありますが、
例えば、個体定項や、関数記号や、述語記号の個数などはあいまいなままのつもり
でした。つまり、頭の中には、個体定項が有限個しかない言語L1、関数記号は
1変数のものが1個しかない言語L2、個体定項も関数記号も述語記号もそれぞれ
(可算)無限個ある言語L3、...などのようにたくさんのものが1度に頭の中に
あって、本を読んでいても、ほとんどいつも「どの言語だとしてもこの本の主張は
成り立つな」という感じで読んできました。
 そして、今回このスレで、質問をさせていただいた(>>800)ときは、そのたくさん
あるうちの、個体定項も関数記号もどちらも有限個しかない言語Lにはタブロー法
が適用できないかもしれない、と思っていたのです。ほどなくそれは解決しました
(ありがとうございます(^^))が、みなさんのレスを読んでいると、頭の中に
「個体定項や関数記号が有限個しかない言語L」
を入れておくのはそもそも無駄なことなのだと言われている気がして、その真偽を
確かめたかったのです。


866 :132人目の素数さん:04/06/01 02:29
こここの疑問は、

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
言語Lのもとで存在例化を適用したら、言語Lに属さない定項aを使うことになるかもしれない。
その場合、存在例化を適用した時点で言語Lの語彙を使った証明ではなくなっている。

したがって、存在例化は、言語L内部で意味を捉えきれないものを導入する可能性があるのだから、
言語L内部で捉えきれないものまで証明してしまう危険があるのではないか?
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

ということだと思う。

もっともな疑問だけど、存在例化は特定の言語Lに対してその妥当性を要請されているのではなく、
公理化できる理論に基づく証明に対してその妥当性を求められているのだから、言語Lで捉えきれない
式が証明されても、言語Lに定項aを加えた新しい言語L'ではその式の意味が捉えられる訳で、
別に気にすることではない。

867 :132人目の素数さん:04/06/01 15:29
>>865
>個体定項が有限個しかない言語L1、
>関数記号は1変数のものが1個しかない言語L2、
>個体定項も関数記号も述語記号もそれぞれ(可算)無限個ある言語L3、
>...などのようにたくさんのものが1度に頭の中にあって、
>本を読んでいても、ほとんどいつも
>「どの言語だとしてもこの本の主張は成り立つな」
>という感じで読んできました。

ほとんど、はいらない。
完全にいつも成り立つ。
それが完全性定理。


868 :132人目の素数さん:04/06/01 15:36
>>865
>個体定項も関数記号もどちらも有限個しかない言語Lには
>タブロー法が適用できないかもしれない

>>800では、こここは、自然数論の公理をタブローにいれるのを
サボったから分からないだろうけど、ちゃんと公理をいれてあれば、
そこから適当な項を作ることが出来た筈。

869 :132人目の素数さん:04/06/01 15:48
ということで、
・こここのはじめの質問に対して、皆肝心の
「自然数論の公理をタブローに入れてない」
というミスを指摘せずに、全く見当違いの
こと(新しい定項を入れれば良い)を吹き込んだ
・それをうのみにしたこここが全く見当違い
のことを解決だと思い込んでしまった。

要するにここにはエルブラン領域を知ってる奴が
一人もいなかったってことだな。

870 :132人目の素数さん:04/06/01 16:15
個体定項、の話が出てるようなので、便乗して、質問してよろしいでしょうか。

モデルのなかの付値関数で、

V(a)=2
は、個体定項aは2を指示しているということですよね、

V(P)=2
は、これも、述語記号Pは2である、という2を指示している表現ということでいいでしょうか

871 :132人目の素数さん:04/06/01 16:17
>>870
こちらでどうぞ↓
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/

872 :132人目の素数さん:04/06/01 16:58
>>869
>>800 は、自然数論に限らない一般的な質問なのだが。


873 :132人目の素数さん:04/06/01 19:22
>>872の命知らずが、>>868-869先生に盾つくなんて!
また一嵐きそうだぜ!

874 :132人目の素数さん:04/06/01 19:55

もうちょっとだけ質問させてください。

不思議に思ってたのは、

V(P)={0、2、4、6、・・・・}
V(P)={2}
みたいに、述語記号には、
2も、2の倍数のようなものも、割り当てることができるのに、
なぜ、個体定項には、
V(a)=2
のように、特定の個体しか、割り当てることができないのだろう、という点です。


たぶん、このことと関係があると思うのですが、


4の倍数の集合{0、4、8、・・・}の要素は、2の倍数の集合{0、2、4、・・・}の要素である、

これを、述語論理であらわすと、どういうことになりますか?



875 :132人目の素数さん:04/06/01 21:34
>>874
> なぜ、個体定項には、
> V(a)=2
> のように、特定の個体しか、割り当てることができないのだろう、という点です。
どうしてそんな制限があると思ったか教えて欲しい。

> たぶん、このことと関係があると思うのですが、
> 4の倍数の集合{0、4、8、・・・}の要素は、2の倍数の集合{0、2、4、・・・}の要素である、
> これを、述語論理であらわすと、どういうことになりますか?
論理式∀x. P(x)⊃Q(x)に対して解釈IをI(P) = 4の倍数の集合, I(Q) = 2の倍数の集合
と定義する。

876 :132人目の素数さん:04/06/01 22:03
>>874
> V(P)={0、2、4、6、・・・・}
> V(P)={2}
> みたいに、述語記号には、
> 2も、2の倍数のようなものも、割り当てることができるのに、

2 と {2} (2 のみを要素とする集合) は違うもの。
P には集合を割り当てて、a には集合の元を割り当てている。

877 :132人目の素数さん:04/06/01 22:08
>>875
ごめんなさい
まだちょっと、よくわかっていないので、質問を重ねてしまいますが、

2は、2の倍数の集合{0、2、4、・・・}の要素である、
を同様に述語論理であらわすと、どういうことになりますか?










878 :132人目の素数さん:04/06/01 22:14
I(P)= {0,2,4,6,...}
I(a)= 2
という解釈の下で P(a).

879 :132人目の素数さん:04/06/01 22:22
>>876

876読む前に877書いてしまいました。

集合の元とは?

集合の要素のことでしょうか

>>878

そうなりますよね、

単純に思ったのが、

もし個体定項が4の倍数のようなものを指示することができれば、

4の倍数の集合{0、4、8、・・・}の要素は、2の倍数の集合{0、2、4、・・・}の要素である、といった内容も

878のようなかたちで、表現できるのに、

どうして、個体定項はそういうものを指示することができないのだろう、

ということと、

述語記号Pには、それができるのに、固体定項aには、それができない、

述語記号と個体定項には、なにか、特別な違いがあるのだろうか、ということです。

880 :こここ:04/06/01 23:26
おおーーたくさんの人が...でも私と関係ないのもあるんですね(アタリマエ)
>>866
おお、理解者が...でも最後の
>言語Lで捉えきれない
>式が証明されても、言語Lに定項aを加えた新しい言語L'ではその式の意味が捉えられる訳で、
>別に気にすることではない。
は私とは違う納得のしかたですね。

>>867
いえいえ、その引用部分は完全性定理についてのみ言っていることではないのです。

>>869
でもそれじゃあ自然数論の公理をタブローに入れたとして、>>800
>  ¬Pa,∀x¬Px,∃xPx
がいかなるモデルでも充足しないことをどのように示すのですか。
(考えの前提がまったく違う方のようですので、議論がいやな方向に行かなければいいのですが)
>要するにここにはエルブラン領域を知ってる奴が
>一人もいなかったってことだな。
タブローの完全性(という言い方していいのかな)示したことある人でエルブラン領域知らない
人いないんでないかな。

>>872
まさにそのつもりなんです。


881 :こここ:04/06/01 23:27
>>879
>>876
>2 と {2} (2 のみを要素とする集合) は違うもの。
は理解できますか。
それともモデル作るときに
「なぜ個体定項には個体領域の要素ばかりを割り当てて、個体領域の部分集合を割り当て
ないんだ?」
という疑問なのですか?
もしかして高尚な疑問なのかもしれませんが、思うに、素朴な集合論をいったん学習なさって
からのほうがいいのではないかと思います。というのは、もしかして写像も集合であるとか
関係も集合であるといわれてわかります?
(こう断言した言い方するとおまえは集合論至上主義だな、とか言われちゃうんだよなあ。)


882 :132人目の素数さん:04/06/02 09:11
図書館で戸田山さんの『論理学を作る』を借りて
眺めてみたのだけどなんか書いてあることに無駄な雑談と
それに近い例題が多すぎるような気が…
しかも自分で「優れた教科書は分厚い。そしてこの教科書も分厚い。
よってこの教科書は優れている。」という推論は正しくない、なんて
書いてるし。(^^;
たぶん150ページしかないSmullyanのFirst Order Logicの方がよっぽど
内容は濃いと思うんだけど……

883 :132人目の素数さん:04/06/02 09:13
>>881
集合論至上主義とはむしろ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/237-240
の238みたいな馬鹿なことを言う香具師のことをいうんでしょう。
多分。でもあなたも自分がなぜ普通の人がtrivialだと考えるような
ことをわざわざ問題としているかは説明するべきだと思いますよ。

884 :こここ:04/06/02 10:44
どうもどうも(^^;)...このスレって初心者が来てもいいんですよね。

>>883
>でもあなたも自分がなぜ普通の人がtrivialだと考えるような
>ことをわざわざ問題としているかは説明するべきだと思いますよ。
いやあ、それ言われると耳が痛いです。でも、>>800の時点では私には全然自明な
ことではありませんでした。自分の疑問が自分の中で完全解決したのは、かなり
初期の段階(>>819)でしたが、私は独学です(田舎でたった一人で本を読ん
でるだけ)から、普通に大学や研究室で学んでいる人達にはtrivialだが、私が気が
ついてないことがあるに違いない、という恐れが常にあります。
それで、私がずーっと気にしてたのは、
>>865
>みなさんのレスを読んでいると、頭の中に
>「個体定項や関数記号が有限個しかない言語L」
>を入れておくのはそもそも無駄なことなのだと言われている気がして、
の部分です。実際どうなんでしょうねえ。とにかく今は、その有限個しかない
言語Lは頭の中に入れておこうと思っています。

そして気になるのは、私の最初の疑問>>800が、理論固有の公理が関係するとか
確定記述が関係するとおっしゃっている人がいます。この方々が言いたいのは
何なのか?もしかしてそこに私が持っていない”常識”を見つけるかもしれない
という恐れがあって、無視できないでいます。できればその先の説明をしていた
だけると助かるのですが。


885 :132人目の素数さん:04/06/02 14:56
>>881

高尚な疑問ではないと思います。初学者の単純な質問です。

僕の抱いている疑問は、以下のそれ自体ではないのですが、

自分で学習する際のよい手がかりにもなると思うので、

>モデル作るときに
>「なぜ個体定項には個体領域の要素ばかりを割り当てて、個体領域の部分集合を割り当て
>ないんだ?」

について、よろしければ、

さわりだけでも、説明していただけないでしょうか、


886 :132人目の素数さん:04/06/02 15:14
>>880
>タブローの完全性(という言い方していいのかな)示したことある人で
>エルブラン領域知らない人いないんでないかな。

ただ言葉だけ知ってたって意味ないよ。君。

つまりね、エルブラン領域による完全性証明を一度でも読んで
納得したことがあるなら、

>自然数論の公理をタブローに入れたとして、>>800
>  ¬Pa,∀x¬Px,∃xPx
>がいかなるモデルでも充足しないことをどのように示すのですか。

なんて質問はしないってことさ。分かる?

>議論がいやな方向に行かなければいいのですが

議論をいやな方向に行かせてるのは君だよ、君。

887 :132人目の素数さん:04/06/02 15:18
>>880
>いえいえ、その引用部分は完全性定理についてのみ言っていることではないのです。

いえいえ、 完全性定理について言っていると思ってる君は大間違い。
「どの言語だとしてもこの本の主張は成り立つな」
というのが完全性定理だっていってるの。分かる?。

888 :132人目の素数さん:04/06/02 15:28
>>880
とにかく、君が省いた自然数論の公理を論理式をして書いてみろ
書いて、タブローを適用してみろ。

そうすれば、

>  ¬Pa,∀x¬Px,∃xPx
>から出発してタブロー法を使おうとしても、
>この時点ですべての個体定項は現れてしまいましたから、
>∃xPxを使用できなくなります。

は、ただ自然数論の公理を省いてしまったがために、
出来ないと思い込んでしまっただけだということが分かる。


889 :132人目の素数さん:04/06/02 20:28
>>885
疑問を持ったら定義に戻ればよい。

言語Lに対する構造<U,I>とは以下を満たすU,Iの組である
1. Uは空でない集合
2. Iは
  Lの定数に対しUの要素
  Lのn変数関数記号に対しU上のn変数関数U^n -> U、
  Lのn変数述語記号に対しU上のn変数述語(U^nの部分集合)
 を対応させる写像

ちなみに推測だが、あなたの疑問はおそらく二階述語論理を調べる
ことで解消すると思う。

890 :132人目の素数さん:04/06/02 21:29

はい、はい、はい、はい、


そういうことか、


Pa
ってのは、

a(要素について言及)はP(集合について言及できる)である、
という命題を表現するために、つくられた、表現方法で、

詳しいことはわからへんけど、

aのところで集合について言及できるようになったら、
集合を要素として使えるようになるわけで、
そりゃ、一階述語論理の表現したい、というか、するべきというか、
そういう範囲を越えるわな、と、

そういうことかな? (ちょっと不安)



高階に目を向けよ、というのは、そういうことを示唆してるのかな、なんて、思ったりして (これもちょい不安)



891 :132人目の素数さん:04/06/02 21:36
>>889
レスありがとうございました。

>モデル作るときに
>「なぜ個体定項には個体領域の要素ばかりを割り当てて、個体領域の部分集合を割り当て
>ないんだ?」

について、まだ、いまひとつ確信がもてないので、他の方の解説も聞いてみたいです。



892 :132人目の素数さん:04/06/02 22:11
>>891
えーと、>>889は理解したんだろうか?

個体定項に個体領域の要素を割り当てる、というのは定義であるから、
その定義をやぶって個体領域の部分集合を個体定項に割り当てる
ことはそもそも念頭にないこと。

もし、この定義に違反して、例えばI(a) = {0,2,4,...}という解釈を割り当てるなら、
何か理論的かつ/または哲学的に特別な理由あるいは動機がなければおかしい。
(ちなみに定項に解釈を割り当てるのはVよりIを使う方が混乱がなくていいと思う)

>>881

> 「なぜ個体定項には個体領域の要素ばかりを割り当てて、個体領域の部分集合を割り当て
> ないんだ?」

が高尚な疑問なのかとたずねられたのは、それが理由。

893 :132人目の素数さん:04/06/03 00:56
trivialって「自ずから明らか」じゃなくて
「些細な、詰らない」なんですけどね。
因みにNaive Set TheoryのNaiveも「素朴な、繊細な」じゃなくて
「世間知らずの、良く物を知らない、お人好しの」というあまり
良くない言葉ですね。こっちはロジック系の人は是非とも知っておくべき。

894 :132人目の素数さん:04/06/03 09:53
trivialという言葉は、中世の大学で教えられた
三つの教科 trivium すなわち文法と論理と修辞
から来てるんだな。これって実は>>893の意味では
trivialじゃないと思うが…

で、このスレは論理に関する話だから、もともとの
意味ではtrivialだと。ホントかよ

895 :132人目の素数さん:04/06/03 09:59
ところで>>893はNaive Set Theoryの何がNaiveか知ってるか?

>>885
>「なぜ個体定項には個体領域の要素ばかりを割り当てて、
> 個体領域の部分集合を割り当てないんだ?」

集合論では、集合すなわち要素である。
素朴集合論の素朴さは、要素に対する述語がみな集合という形で
要素に還元できると思い込んだ点にある。

896 :132人目の素数さん:04/06/03 19:43
「閉じてる」と盲信してたらそうじゃなかった、っていう意味すか?

しかしそういう視点からすると、>>885その他の疑問ってのはそれこそ
2階云々の基本的な問題意識であると考えて良いのかなかな??


897 :132人目の素数さん:04/06/04 04:42
>>885
あまりスタンダードでもエレガントでもないけど
集合ではないような要素も認めるような公理化の仕方も
あるんじゃなかったっけ?
まあそもそも>>885の言ってることが良く分からないんだけど

898 :132人目の素数さん:04/06/05 10:10
例えば自然数の集合Nについて(いや、本質的には何でも良いのかもしらんけど)。
べき集合P(N)ってのは、ZFの公理でも集合として認められてるよね。つうかこの
場合は、実数Rと思って良いのかな。
まあだから当然、べきのべきP(P(N))も集合ですよね。

で、...P(P(P(N)))...みたいに無限にとっても、集合になりまつか。

899 : :04/06/05 10:21
捕手安芸

900 :132人目の素数さん:04/06/06 17:57
>>898
このような書き方は不明瞭なので、答え方がいろいろあります。
P^n(N) の自然数 n についての和集合とすれば、集合となるということで
すが、定義が不明瞭で定義されないとすれば集合となりません。また、自
然数でなく順序数すべてということになると、これは定義はされますが、
集合ではなくなります。
一般に ... という書き方は常に不明瞭なものを含んでいます。

901 :132人目の素数さん:04/06/07 09:33
>このような書き方は不明瞭なので、答え方がいろいろあります。
すんません。
> P^n(N) の自然数 n についての和集合とすれば、集合となる
うほっ、集合になりますか。
「集合となる」ことの証明ができるってことですよね。すげー。
>自 然数でなく順序数すべてということになると、これは定義はされますが、
>集合ではなくなります。
どういう違いで、異なった結論になるですか。
>一般に ... という書き方は常に不明瞭なものを含んでいます。
ごめんなさい。単に質問者のレベルが低いだけなんで、許してつかあさい。

902 :132人目の素数さん:04/06/07 14:54

一階のペアノ算術の公理系において証明できない論理式Aが存在することは事実です。
そうして、その公理系の要素すべてと、Aを意味論的真にするモデルが存在することもまた、事実です。


一階のペアノ算術の公理系において、その要素だけを意味論的真にするモデルは存在しません。

だから、意図されたモデルをいくつもつくってみたり、ああ、範疇的でない、などと言っているわけです。


この状況において、

一階のペアノ算術は意味論的完全だから・・・・、

というように、話す人がいたら、その根拠は、どこからやってきているのでしょうか。


そこのところが、私には、よくわかりません。


だれか、詳しく解説できる方、解説のほうよろしくおねがいします。


903 :132人目の素数さん:04/06/07 15:54
>>902
>一階のペアノ算術は意味論的完全だから・・・・、

誰がいつどこで言ったの?
902が今ここでいったのを除いて

904 :132人目の素数さん:04/06/07 21:49
戸田山和久 論理学をつくる
を読んでいます。

P336
Q(ロビンソン算術)は第1階の理論だから完全性定理が適用できる。・・・

というような、
1階の理論ならば意味論的完全が言える、というような前提で書かれている部分について、
なぜそういうことが言えるのか、よくわからなかったため、
>>902
のような書き込みをしました。



905 :132人目の素数さん:04/06/07 23:57
>>904
>>一階のペアノ算術の公理系において証明できない論理式
ペアノ算術が無矛盾ならね。
>>一階のペアノ算術の公理系において、その要素だけを意味論的真にするモデルは存在しません。
仰っている事がおかしくないですか?

とりあえず参考までに(書評のページだけど)
http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic.html
完全性定理の証明は分かっていますか?

906 :132人目の素数さん:04/06/08 10:27
>>904
>P336
>Q(ロビンソン算術)は第1階の理論だから完全性定理が適用できる。・・・
>というような、
>1階の理論ならば意味論的完全が言える、というような前提で書かれている部分について、

ん、間違ってない?
君のいう「意味論的完全」って、真偽が決定できるって意味だとおもったけど違うの?
いっとくけど、「一階論理の完全性定理」って、
「一階論理の命題は、真偽が決定できる」って意味じゃないよ。
戸田山の本を読めばわかるはずだけど、もしかして一度も読んでない?

907 :132人目の素数さん:04/06/08 10:34
>>905
>>一階のペアノ算術の公理系において、その要素だけを意味論的真にするモデルは存在しません。
>仰っている事がおかしくないですか?

「その要素」ってのが分からないね。
「公理系の要素」っていいたいんだろうけど、これがそもそも分からない。
もしかして、公理系によって証明できる定理を、公理系の要素って言ってるのかな?

ま、それはそれでもいいけど、
その場合一階論理の完全性定理からいえるのは
「自然数論の公理を真とする任意のモデルにおいて、
 真となる命題は、自然数の定理と一致する」

908 :132人目の素数さん:04/06/08 11:56
>>906, 907
元の文章が定義を何も書いていないので、あてずっぽう。

意味論的完全性 = 完全性定理が成立する

これに対応して、次のような用語が裏にあるのでは?

構文論的完全性 = A か not A のどちらかが証明できる

>一階のペアノ算術の公理系において、その要素だけを意味論的真にするモデルは存在しません。

一階のペアノ算術は「構文論的完全」ではないので、モデルをひとつ固定すると
この公理系から証明できない論理式が真になる。

909 :132人目の素数さん:04/06/09 02:00
あと、細かい事をいうと、(あまり細かくないかもしれないけど)
ペアノ算術と、自然数論(もしくは算術)は分けて考えたほうが良いね

910 :132人目の素数さん:04/06/09 08:28
>>909
ん?いいたいことがわからんが
君のいう自然数論とはロビンソン算術のことか?

911 :132人目の素数さん:04/06/09 09:26
いやペアノ算術というのはあくまで
ロビンソンのQを含むようなある有限個の公理系
(立て方によって7個くらいになったり20個近くに
なったりするがどれも同値)を持った自然数に関する
体系のことであって、一つの自然数論に関する理論に過ぎないだろ。

まあ話者がそのことをわかって話していればあまり問題は無いのだが、
そうじゃないとパリス・ハーリントンの定理により
〜と言う命題は真なのに証明できない、と言われても
証明できないのになぜ真だといえるんだ、というちぐはぐなことになる。

912 :132人目の素数さん:04/06/09 15:03
>>911
ペアノ算術はいいよ。自然数論について説明してごらん。わかってるかい?

>パリス・ハーリントンの定理により
>〜と言う命題は真なのに証明できない、と言われても
>証明できないのになぜ真だといえるんだ、
>というちぐはぐなことになる。

ちぐはぐなんじゃなくて、単に君自身が
自然数論と、真について分かってないから
その質問に答えられないんじゃないのかい?


913 :132人目の素数さん:04/06/09 16:14
松本信号点灯中

914 :132人目の素数さん:04/06/10 05:56
自然数というのはまあZFベースのωだと
思っていれば間違いないでしょう。
ZFと両立しない集合論(例えばNF)に数学的に
自然なものは無いと思って間違いないのだから。
もちろんZFにいろんなオプションをつけることで
独立命題が真になったり偽になったりする。
(e.g.ある種のディオファントス的述語の真偽)

というか、基礎論スレで
君が〜とか〜なのかい?に類する言葉を使うと
人物が特定されてしまいますからもう少し普通の言葉で
レスなさったほうが良いのでは?


915 :132人目の素数さん:04/06/10 06:41
数学のたのしみ(最近季刊になってしまったらしい)に
対角線論法について田中先生が書いてるけどどう思う?
漏れは対角線論法を貶めすぎな気がしなくも無い


916 :132人目の素数さん:04/06/10 08:45
詳しく引用キボン

917 :132人目の素数さん:04/06/10 11:38
>>914
>自然数というのはまあZFベースのωだと
>思っていれば間違いないでしょう。

やっぱり全然わかってないんだね。チミぃ

>>909
>ペアノ算術と、自然数論(もしくは算術)は分けて考えたほうが良いね
といってるけど、
「ZFと、集合論は分けて考えたほうが良いね」
とはいわないのかい?チミぃ

>基礎論スレで
>君が〜とか〜なのかい?に類する言葉を使うと
>人物が特定されてしまいますから

そういう妄想家をからかって遊んでるんだよ。チミぃ(笑)

918 :132人目の素数さん:04/06/10 13:34
>>915
貶められたのは対角線論法じゃーなくて、
それしか知らんで分かったつもりになってる
厨房だと思うが、どうか?

919 :915:04/06/10 15:25
いや、「数学の楽しみ」はブルーバックスでしか
数学の本を読んだことが無いような人間は相手にしてないから
必ずしもそんなことは無いと思うけどな。
まあ個人的には対角線論法で証明されたことには
数学的な意味の分からんものが多いから嫌いではあるけど
ロジックで、非常に重要な証明法であることには間違いない。

920 :132人目の素数さん:04/06/10 16:00
いや、ロジックの専門家を除けば、数学専攻といえども
ブルーバックス程度の知識しかないから同じことだな。
それにしてもあの雑誌は高いな。2300円もしやがる。


921 :915:04/06/10 16:12
ああ、ロジックに関してのことですか?
まあそうだけど対角線論法もforcingも
アンチが多いからしようがない。
まあ実数と自然数の濃度が違うことの証明は
区間縮小法でやって欲しい気もする。そのほうが
実数に特有の性質を使っているのが明確だし。

でも不完全性定理での独立命題の構成も
アッケルマン函数が帰納的函数であることの証明も
対角線論法で行うんですけどね(w

922 :132人目の素数さん:04/06/10 16:27
>>921
ん、田中の文章、ちゃんと読んだか?
不完全性定理も対角線論法使わない証明があるって書いてあるぞ。
一つは、ブーロスのアレだが、もう一つ、パトナムが、ノンスタンダード
モデルとクリプキの証明…とかいう論文で、なんか書いてるらしい。

923 :915:04/06/10 16:35
いや、漏れが言いたいのは独立命題の
「具体的な」構成。不完全性定理の別証が
何通りか(何通りも)与えられているのは知っているけど。

というか生協書籍部で立ち読みしただけです。ごめんなさい(w

924 :132人目の素数さん:04/06/11 10:13
>>917
私はあなたが松本さんだなんて言ってないですよ。
あなたは騙りを行っているつもりなのかも知れませんが
そういう口調で喋るのが好きな人はロジック関係のスレに
そうはいない、というのは確かだと思います。

実際、ZFと両立しない集合論もあるにはありますから、
細かいことに拘るならそれらを黙殺しないためには
ZFと公理的集合論は分けて考えたほうが良いのは確かでしょう。
Peano Arithmeticの場合には我々に集合の場合よりも
遥かに確固とした「自然数」のイメージがありますから
PAと両立しない自然数論というのは考えられませんが
自然数論にも弱いもの(RobinsonのQだとかPresburgerだとかPeanoだとか)
から集合論なり高階論理なり二階算術なりベースに付け加えた上での
自然数に関する非常に強い理論まで色々あるわけですが、弱い理論に
関する議論を行ううえでは例えばZFCをベースに取って置けば
あまり困ることはおきないと思います。

925 :132人目の素数さん:04/06/11 10:25
>>924
ふふふ、完全に妄想に陥ってるね。面白い面白い(w

ZFとの両立にこだわってるみたいだけど完全に的外れ。
>ZFと公理的集合論は分けて考えたほうが良い
うわっ、無知丸だし。やっぱ全然わかってないじゃん。チミぃ(w

926 :132人目の素数さん:04/06/11 10:29
煽るしか能がないなら黙ってればいいのに

927 :132人目の素数さん:04/06/11 10:33
つか、>>909の自然数論って
>自然数論にも弱いもの(RobinsonのQだとかPresburgerだとかPeanoだとか)
>から集合論なり高階論理なり二階算術なりベースに付け加えた上での
>自然数に関する非常に強い理論まで色々あるわけですが
って素人の知識のひけらかし程度のことなら、まったくおヴァカなわけだが

928 :132人目の素数さん:04/06/11 11:09
煽られても何も言えないなら黙ってればいいのに

929 :132人目の素数さん:04/06/11 11:17
>>922
まあ、例のマツシンだか、2 階論理大王なんだろう?
形式化されない対象を振り回そうという、エムシラ−マツシン的
お馬鹿さんなんだよなぁ−。
大体、対角線論法なんて、関数空間じゃ始終でてくるし、それがどう
のこうのいうのは数学に向いてないってことだろう。

930 :132人目の素数さん:04/06/11 11:21
話は逸れるんだけどさ、オウム返しの松本さんって、今どこで働いてるの?

931 :132人目の素数さん:04/06/11 11:24
>>930
ここで働いてるんじゃない? って冗談。
鉄道総研じゃないの? 辞めたってうわさはあったけど。

932 :132人目の素数さん:04/06/11 11:37
ときにあまり関係ない話になるんだが、
ふと思って>>1に書いてあること見てみると
(特定の人物に関する批評をしないと言うのは当然として)
このスレは論理体系に関する議論しかしない、ということに
なってるらしいのだがやっぱり基礎論スレ誰か立てませんか?
もちろんスレで特定の人物の批評はしないetc.の約束は立てる事にして。

あと、チミぃはNGワードにすることを推奨します

933 :132人目の素数さん:04/06/11 16:16
隔離スレのタイトルなんてどうでもいい

934 :132人目の素数さん:04/06/11 16:30
>やっぱり基礎論スレ誰か立てませんか?

藻前みたいな無知なヤシが大口叩くスレなんか要らない

935 :915:04/06/11 16:54
>>929
いや、田中先生がそもそも
対角線論法なんて無くても良いのだ、みたいな
かなり極端なことを仰っているんですけどね。
まあ田中先生が函数空間のことにどれだけ詳しいかは
分かりませんが田中先生は数学に向いてないと仰るんですか?

ところでなんかかなり誰が誰だか錯綜してますね
まあ上のほうでもレス番つければいいのに、なんて
言ってた香具師が居るみたいだけど

936 :132人目の素数さん:04/06/11 16:54
以前は、3 連発、4 連発だったが、最近は、まとめ書きも覚えた
ようで、2 連発どまりだな。まあ、学習能力は多少あるってわけだ。
マツシンさん or 2 階論理大王さん!

937 :132人目の素数さん:04/06/11 17:32
なんか混乱してないか?

938 :132人目の素数さん:04/06/11 18:32
>>935
対角線論法は無限を扱う数学では、必須の考え方だから、田中先生が
無くても良いのだ、といわれるなら、まあ、数学には向いていないって
ことになりますね。

939 :132人目の素数さん:04/06/11 18:56
というか、>>929>>922をなぜ煽るのか良く分からん。
なんか>>922はおかしなこといったか?

940 :132人目の素数さん:04/06/11 19:30
>>939
なにが、どうなってるかわかりませんが、922 は田中先生の書いてる
ことを伝えているみたいだから、煽っているということは、先生を
煽っているってことでしょうか?

941 :132人目の素数さん:04/06/11 19:38
いや、それじゃ>>929が誰のことをさして大王だと
言ったか良く分からん。

942 :132人目の素数さん:04/06/11 20:49
きみたち、環状的になってはいけませんよ

基礎論スッドレは、>>932がたてたら

>藻前みたいな無知なヤシが大口叩くスレなんか要らない

大口叩くヤシを藻前が叩けば

943 :132人目の素数さん:04/06/11 21:48
>>929 妄想狂が暴れてますね。

944 :132人目の素数さん:04/06/12 12:22
変な人がきて急に雰囲気が悪くなりましたね。
「無知なヤシが大口叩くのが気に入らない」っていうなら
具体的に説明しなければならんだろう。
何一つ具体的なこと書かずに、思わせぶりな発言だけでは
何も知らないやつだと見られても仕方あるまい。
人の意見が間違っていると指摘するからには
正しいのはこうなのだと詳述するべきだろう。
何故できんのだ、その能力がないのではないのか?

945 :132人目の素数さん:04/06/12 14:58
ないのだろう

946 :132人目の素数さん:04/06/12 17:47
いや、あるのかもしれない

947 :132人目の素数さん:04/06/12 17:56
>>944 教えてクンですか?


948 :132人目の素数さん:04/06/13 02:17
やっぱりないんだ・・・

949 :132人目の素数さん:04/06/13 13:12
チミぃって言ってる人は、知ったかぶりで無学な煽り屋さんということでよろしいか?

950 :132人目の素数さん:04/06/13 13:54
1票

951 :132人目の素数さん:04/06/13 14:23
>>949=>>950が知ったかぶりで無学な厨房に1票

952 :132人目の素数さん:04/06/13 15:14
オウム返しのマツシンさんって今どこにいるのかなあ

953 :132人目の素数さん:04/06/13 15:32
数理論理学や基礎論の研究者って
学部のころは何を勉強してるの?
普通の学部生と同じ?

954 :132人目の素数さん:04/06/13 16:40
>>953 数学

955 :132人目の素数さん:04/06/17 02:40
喪前ら、揃いも揃って、程度低いな(爆笑

956 :132人目の素数さん:04/06/17 20:38
エムシラ一人で程度低いな(爆笑

957 :132人目の素数さん:04/06/17 22:18
まあ(極度に哲学的な議論、)特定の人物の批評、罵り合いで
スレの大部分が費やされている事を考えれば確かにレベルは高くないね

958 :132人目の素数さん:04/06/21 09:02
圏論が集合論の枠組みを超えるのならば、無矛盾性とかは大丈夫なのですか

959 :132人目の素数さん:04/06/22 14:35
このスレにマツシンとエムシラは来るな。

960 :132人目の素数さん:04/06/23 17:28
つーか、誰も来るな。

961 :132人目の素数さん:04/06/23 17:38
いや、来ないのはマツシンとエムシラだけでよい

962 :132人目の素数さん:04/06/23 17:39
「数学基礎論」があるのなら、「数学応用論」もあるのかな

963 :132人目の素数さん:04/06/24 02:49

喪前ら、揃いも揃って、程度低いな(爆笑

964 :132人目の素数さん:04/06/25 00:49
お、久しぶりにレスがある、と思ってきてみたら……
漏れ悲しくなってきたよ(w

965 :132人目の素数さん:04/06/25 04:38

不完全性定理は、2006年に潰されるらしいよ!

966 :132人目の素数さん:04/06/25 09:53

大丈夫、今年中にいいだしっぺのエムシラが潰れるから

967 :132人目の素数さん:04/06/25 18:23
マツシンは潰されたが、エムシラ御大を潰せる者はいない。(゚д゚)

968 :132人目の素数さん:04/06/25 18:30
>>966

喪毎のほうが先に潰されると思うよ(笑

969 :教えてください:04/06/30 20:54
以下の論理式の恒真性をタブロー法を用いて示してください。
(1)((P⊃Q)⊃Q)⊃((Q⊃P)⊃P)
(2)∃x∀yp(x,y)⊃∀y∃xp(x,y)
(3)∀x∃yq(x,y)⊃∀x∃y∃z[q(x,y)∧q(y,z)]

以下の定理の証明を与えよ
前提:
A≡∀x∀y∀z[x<y∧y<z⊃x<z]
結論:
B≡∀x∀y∀z∀w[w<x∧x<y∧y<z⊃w<z]
実際に非形式的な証明を与えてからタブローを作る

以下の定理の証明を与えよ
前提:
A≡∀x∀y[∀z(in(z,x)⊃in(z,y))⊃ subset(x,y)]
B≡∀x[empty(x)⊃¬∃yin(y,x)]
結論:
C≡∀x[empty(x)⊃∀y subset(x,y)]


以下の定理の証明を与えよ
前提:
A≡∀x∀y∀z[x≦y∧y≦z⊃x≦z]
B≡∀x∀y[x<y⊃x≦y∧¬(y≦x)]
C≡∀x∀y[x<yy∧¬(y≦x)⊃x<y]
結論:
D≡∀x∀y∀z[x<y∧y≦z⊃x<z]



970 :132人目の素数さん:04/07/01 01:46
>>969=アホ

971 :132人目の素数さん:04/07/01 02:53
どうでもいいけど、「ゲーデル」のアクセント語尾上げで読むな。女子高生みたいだ。
「カオス」を語尾上げで読む香具師もかんべんしてけれ。

972 :132人目の素数さん:04/07/01 09:46
数論における真と証明可能性の関係について話題になっていたようだけど、
「ペアノ数論において真」というのは、"A(0),A(1),A(2),...⇒∀x A(x)"
という(有限でない)ルールを付け加えたとき証明できる式だ、ということ
でいいんじゃないか?

だめ?

973 :132人目の素数さん:04/07/01 09:48
...が地味すぎる。"A(0),A(1),A(2),・・・・・・⇒∀x A(x)"でどうだ?

974 :132人目の素数さん:04/07/01 11:01
>>969
それ、数理論理学の授業の課題か何かなんじゃないの?
だったら、自分でやらなきゃダメでしょ。

975 :132人目の素数さん:04/07/01 11:43
>エムシラ御大を潰せる者はいない。(゚д゚)

自分から潰れちゃうもんね。エムシラは。(・∀・)

976 :132人目の素数さん:04/07/01 12:42
モデル理論のスレ教えてくれ

977 :132人目の素数さん:04/07/01 18:35
「AならばA」が恒真でないとか、そこらへんを勉強するには何を読めばいいですか?
一冊お薦めを教えてください。

978 :132人目の素数さん:04/07/01 23:38
「AならばA」は恒真である、というようなことなら、通常の命題論理の解説書
のどれでもいいと思うが、「・・・恒真でない」を探しているの?

979 :132人目の素数さん:04/07/02 00:54
今まで数学は30点↑↓で、いつも補習受ける羽目になってたんだけど
数学基礎のテスト受けたらなんと満点だった。
普通の数学で高得点取ってる奴でも80点前後。
数基礎って不思議だな…。

980 :132人目の素数さん:04/07/02 03:18
おまいら、揃いも揃って、程度低いな(笑

981 :132人目の素数さん:04/07/02 21:26
次スレでつ。

数理論理学・数学基礎論 4
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088771120/

982 :132人目の素数さん:04/07/03 22:20
982。


983 :132人目の素数さん:04/07/04 12:55
983。

984 :132人目の素数さん:04/07/04 18:50
984

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